x xx x x xx x xx x xg xf 2 2 112 2 1 1 2 )( )( − = − −+ − = − − −= − =

MAT-4109 – Fonction quadratique; formes canonique et générale
Parabole; lien entre la forme canonique et la forme générale
Ouvrez le fichier Fonction_quadratique et réalisez l’activité suivante :
Ce fichier représente deux paraboles; l’une en noire, représentée par une équation de
la forme générale et l’autre en rouge et représentée par une équation de la forme
canonique.
Comment représente-on ces équations?
Forme générale : _________________________
Forme canonique : _______________________
D’abord, assurez-vous que les paramètres sont fixés aux valeurs suivantes :
Quelles sont les équations des deux paraboles :
Parabole noire : ________________________________
Parabole rouge : _______________________________
Cette activité a pour but de vous amener à établir le lien qu’il existe entre les
paramètres b et c de l’équation générale et les paramètres h et k de l’équation
canonique.
Cas 1
Déplacement de la parabole noire
En modifiant le paramètre b, déplacez la parabole noire afin qu’elle soit exactement
sur la parabole rouge.
Quelle valeur avez-vous donnée au paramètre b? ________________
Quelle est l’équation de la parabole noire? ______________________
Est-ce que f(x) = g(x) ? _______________
Pouvez-vous le prouvez à l’aide des équations? (Cet exemple vous est donné)
f ( x ) = g ( x)
x 2 − 2 x = ( x − 1) − 1
2
x 2 − 2x = x 2 − 2x + 1 − 1
Louise Roy
x 2 − 2x = x 2 − 2x
-1-
8 juillet 2009
MAT-4109 – Fonction quadratique; formes canonique et générale
Cas 2
Donnez maintenant les valeurs suivantes aux paramètres de la parabole
rouge : h = -2 et k = 3
Quelle est l’équation de la parabole rouge? ____________________
Déplacement de la parabole noire
En modifiant les paramètres b et c, déplacez la parabole noire afin qu’elle soit
exactement sur la parabole rouge.
Quelle valeur avez-vous donnée au paramètre b? ________________
Quelle valeur avez-vous donnée au paramètre c? ________________
Quelle est l’équation de la parabole noire? ______________________
Est-ce que f(x) = g(x) ? _______________
Pouvez-vous le prouvez à l’aide des équations? (Aidez-vous de l’exemple précédent)
Louise Roy
-2-
8 juillet 2009
MAT-4109 – Fonction quadratique; formes canonique et générale
Cas 3
Donnez maintenant les valeurs suivantes aux paramètres de la parabole
rouge : h = 4 et k = -6
Quelle est l’équation de la parabole rouge? ____________________
Déplacement de la parabole noire
En modifiant les paramètres b et c, déplacez la parabole noire afin qu’elle soit
exactement sur la parabole rouge.
Quelle valeur avez-vous donnée au paramètre b? ________________
Quelle valeur avez-vous donnée au paramètre c? ________________
Quelle est l’équation de la parabole noire? ______________________
Est-ce que f(x) = g(x) ? _______________
Pouvez-vous le prouvez à l’aide des équations? (Aidez-vous des exemples précédents)
Louise Roy
-3-
8 juillet 2009
MAT-4109 – Fonction quadratique; formes canonique et générale
Lien entre le paramètre b et le paramètre h
Voici donc trois cas où vous avez présenté la même parabole sous deux formes
différentes. Nous allons nous attarder au paramètre b de l’équation présentée sous la
forme générale et au paramètre h de l’équation présentée sous la forme canonique.
Complétez le tableau suivant :
Lien entre b et h
f ( x) = x − 2 x
2
Cas 1
Cas 2
Cas 3
g ( x) = ( x − 1) − 1
2
f ( x) = x 2 + 4 x + 7
g ( x) = (x + 2) + 3
2
f ( x) = x 2 − 8 x + 10
g ( x) = (x − 4) − 6
2
Règle
b = ____
h = ____
b = ?× h
b = ____
h = ____
b = ____
h = ____
Lorsque le paramètre a est différent de 0, est-ce que cette règle est
toujours vérifiée?
f ( x) = x 2 − 2 x
Reprenons le cas 1 :
g ( x) = ( x − 1) − 1
2
Donnez la valeur de 2 au paramètre a; est-ce que les deux paraboles sont
toujours égales? _________________________
Quelles valeurs devez-vous donner aux paramètres b et c pour ramener la parabole
noire égale à la parabole rouge?
Valeur du paramètre b? _____________ Valeur du paramètre c? _____________
Quelle est l’équation de la parabole noire? ______________________
Quelle est l’équation de la parabole rouge? ______________________
Est-ce que f(x) = g(x) ? _______________
Pouvez-vous le prouvez à l’aide des équations? (Aidez-vous des exemples précédents)
Louise Roy
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8 juillet 2009
MAT-4109 – Fonction quadratique; formes canonique et générale
Lien entre le paramètre b de l’équation de forme générale et le paramètre h
de l’équation de forme canonique
Lien entre b et h
f ( x) = 2 x − 4 x + 1
2
a=2
a=3
a = -1,5
g ( x) = 2( x − 1) − 1
f ( x) = 3x 2 − 6 x + 2
2
g ( x) = 3( x − 1) − 1
2
f ( x) = −1,5 x 2 + 3 x − 2,5
g ( x) = −1,5( x − 1) − 1
2
Règle
b = ____
h = ____
b = ____
h = ____
b = ?× a × h
b = ____
h = ____
Utilisez cet espace pour faire vos calculs :
Louise Roy
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8 juillet 2009