Intégrale curviligne sur un arc continûment différentiable

INTEGRALES CURVILIGNES
I - Intégrale curviligne sur un arc continûment différentiable
a) Définition
Un arc AB d ’une courbe de R3 est dit continûment différentiable s ’il
existe un paramétrage x=x (t) t∈[a,b]
avec x (a)=OA et x (b)=OB
x
x (t) possède des dérivées continues sur [a,b]
Exemples
Cercle de centre O et de
rayon R x= Rcost
y= Rsint
t∈[0,2π]
R
Ellipse
x2 y2
+ 2 =1
2
a
b
b
x=a cos t
y=b sin t
t∈[0,2π]
a
4
y
Hyperbole
2
x
y²
− =1
a ² b²
x ² y²
− = −1
a ² b²
-3
-2
2
00
-1
1
x
2
3
-2
x=ε a ch t
y= b sh t
-4
4
y
asymptotes
y=±
b
x
a
-2
-1
2
00
-2
-4
Remarque : le paramétrage n ’est pas unique
1
x
2
x=a sh t
y=b cht
b) Champ de vecteurs
Un champ de vecteurs de R3 est une application d ’un domaine D de R3
dans R3
x
V (x)
c) Intégrale curviligne
On appelle intégrale curviligne de la forme différentielle ω= Pdx+Qdy+Rdz
r r
sur un arc continûment différentiable AB paramétré par x = x( t ) t∈[a,b]
l ’intégrale :
 x = x( t )
b
r
x
 y = y( t )
( P (t ) x' (t ) + Q (t ) y ' (t ) + R (t ) z ' (t ))dt = ω
a
 z = z( t )
AB

∫
∫
Si V(M) est le champ de composantes (P,Q,R)
r
r b
∫ ω = ∫ V (M )dM = ∫ ( Px'+Qy'+ Rz ' )dt
AB
AB
a
Est appelée la circulation de V sur AB
d) Propriétés
∫ω
= − ∫ω
AB
∫ω
AB
r r
r r
∫ VdM = − ∫ VdM
BA
1
AB
+ λω 2 = ∫ ω1 + λ ∫ ω 2
AB
∫ ω = ∫ω + ∫ω
AC
BA
AB
BC
AB
r r
r
r r
r r
∫ V1dM + λV2 dM = ∫ V1dM + λ ∫ V2 dM
AB
AB
r r
r r
r r
∫ VdM = ∫ VdM + ∫ VdM
AC
AB
BC
Les arcs AB et BC étant continûment différentiables
AB
II - Champs de gradients
a) Intégration des formes différentielles exactes
Soit ω une forme différentielle exacte sur D , il existe donc une fonction F
telle que dF= ω
∂F
∂F
P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy =
( x, y )dx +
( x, y )dy
∂x
∂y

 ∂F
∂F
∫ABω = ∫a  ∂x ( x(t ), y(t )) x' (t ) + ∂y ( x(t ), y(t )) y' (t )dt
Φ (t ) = F ( x(t ), y (t ))
b
b
∫ ω = ∫ Φ' (t )dt = Φ(b) − Φ(a)
AB
∫ω
a
= F (b) − F (a )
AB
Si ω est une forme différentielle exacte l ’intégrale curviligne de ω ne dépend
pas du chemin d ’intégration mais seulement de l ’origine et de l ’extrémité
Théorème : Une condition nécessaire et suffisante pour que l ’intégrale
curviligne d ’une forme différentielle ω ne dépende que des extrémités
du chemin d ’intégration est que ω soit la différentielle exacte d ’une
fonction possédant des dérivées partielles continues.
Conséquence : L ’intégrale curviligne d ’une forme différentielle
exacte le long d ’une courbe fermée est nulle.
b) Circulation d ’un champ de gradients
Si la forme différentielle ω=Pdx+Qdy+Rdz est exacte , pour le champ
de vecteurs V de composantes (P,Q,R) il existe une fonction U telle
que GradU=V , on dit que V est un champ de gradients.
La circulation d ’un champ de gradients sur un chemin ne dépend que
des extrémités, elle est nulle sur un chemin fermé
r
V = GradU
∫ VdM = ∫ GradUdM = U ( B) − U ( A)
AB
AB
III - Calcul de certaines aires planes
D
y2
B
A
y1
C
L ’aire du domaine plan limité par une courbe sans point double est donnée par
S = ∫ + α xdy − (1 − α ) ydx
Γ
∫ + xdy = −∫ + ydx =
Γ
Γ
S=
0 ≤α ≤1
1
xdy − ydx
+
∫
Γ
2
1
2
ρ
dθ
+
∫
Γ
2