1 Solution matlab

ENS Cachan
Antenne de Bretagne
Correction TP Agreg n◦ 1
Ce corrigé succint vous permettra de comparer les deux logiciels, en particulier en ce qui concerne
les graphiques.
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Solution matlab
Il nous faut définir deux fonctions pour les méthodes des rectangles et de Monte-Carlo :
function S=rect(f,n)
y=feval(f,1/n*[0:n-1]);
S=sum(y)/n;
function S=carlo(f,n)
y=feval(f,rand(n,1));
S=sum(y)/n;
Puis un script principal :
Sex=exp(1)-1;
ErrRect=[];ErrCarlo=[];
nn=100:100:10000;
aC=CoeffCarlo(1);bC=CoeffCarlo(2);
hold on
plot(lnn,aR*lnn+bR,’b--’,lnn,aC*lnn+bC,’r--’)
for n=nn
ErrRect=[ErrRect,abs(Sex-rect(’exp’,n))];
ErrCarlo=[ErrCarlo,abs(Sex-carlo(’exp’,n))]; title(’Graphique logarithmique des erreurs
end
pour l’’intgration numrique’)
xlabel(’n’)
clf
ylabel(’|erreur|’)
lnn=log(nn);
str1=[’Mthode des rectangles
plot(lnn,log(ErrRect),’b+’
(pente=’,num2str(aR),’)’];
,lnn,log(ErrCarlo),’ro’); str2=[’Mthode de Monte-Carlo
(pente=’,num2str(aC),’)’];
CoeffRect=polyfit(log(nn),log(ErrRect),1);
legend(str1,str2)
CoeffCarlo=polyfit(log(nn),log(ErrCarlo),1); grid on
aR=CoeffRect(1);bR=CoeffRect(2);
On obtient le résultat suivant :
Graphique logarithmique des erreurs pour l’intégration numérique
−3
Méthode des rectangles (pente=−0.99984)
Méthode de Monte−Carlo (pente=−0.52871)
−4
−5
|erreur|
−6
−7
−8
−9
−10
−11
4.5
5
5.5
6
6.5
7
n
1
7.5
8
8.5
9
9.5
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Solution scilab
On définit de même les deux méthodes :
function S=rect(f,n)
y=f(1/n*[0:n-1]);
S=sum(y)/n;
function S=carlo(f,n)
y=f(rand(n,1));
S=sum(y)/n;
et le script principal :
getf rect.sci
getf carlo.sci
deff(’y=g(x)’,’y=exp(x)’);
str1=[’Mthode des rectangles
(pente=’,string(aR),’)’];
str2=[’Mthode de Monte-Carlo
(pente=’,string(aC),’)’];
str=strcat([str1,’@’,str2]);
plot2d([lnn’,lnn’],[log(ErrRect’),log(ErrCarlo’)]
,[-1,-9],"121",str);
Sex=exp(1)-1;
ErrRect=[];ErrCarlo=[];
nn=100:100:10000;
for n=nn
ErrRect=[ErrRect,abs(Sex-rect(g,n))];
ErrCarlo=[ErrCarlo,abs(Sex-carlo(g,n))];
end
plot2d([lnn’,lnn’],[aR*lnn’+bR,aC*lnn’+bC],[1,2]
,"001")
xclear()
lnn=log(nn);
[aR,bR,sig]=reglin(log(nn),log(ErrRect));
[aC,bC,sig]=reglin(log(nn),log(ErrCarlo));
xtitle(’Graphique logarithmique des erreurs pour
l’’intgration numrique’,’n’,’|erreur|’)
On obtient le résultat suivant :
Graphique logarithmique des erreurs pour l’intØgration numØrique
|erreur|
Ο
-3.27
Ο
Ο
Ο
-3.90
ΟΟ
Ο
-4.54
Ο
+
Ο
+
-5.82
+
+
-6.46
+
+
Ο
+
+
-7.09
+
+
Ο
Ο
Ο
ΟΟ
Ο Ο
Ο
ΟΟ
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο Ο
ΟΟ
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο ΟΟ
ΟΟ Ο
Ο
Ο
ΟΟ
Ο
ΟΟ
ΟΟ
Ο
Ο
ΟΟΟΟ
Ο Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο Ο
ΟΟ
Ο
Ο
-5.18
Ο
Ο
Ο
Ο
+
Ο
Ο
Ο Ο
+
++
++
Ο
Ο
ΟΟ
Ο
Ο
++
-7.73
-8.37
-9.01
Ο
++
++
++
+++
+++
+++
+++
Ο
++++
++++
++++
+++++
+++++
+++++
Ο
++++++
++++++
+++++++
+++++++
++++++++
+++
n
Ο
-9.65
4.61
5.07
5.53
5.99
6.45
6.91
+
Ο MØthode des rectangles (pente=-0.9998374)
MØthode de Monte-Carlo (pente=-0.5050933)
7.37
7.83
8.29
8.75
9.21
CONCLUSIONS : Cette simulation est très simple, mais représente le niveau de complexité
requis à l’agreg. Il n’est pas nécessaire d’écrire un long programme ; il vaut mieux une petite
simulation bien choisie. Quant au logiciel, c’est une question de goût...
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