Diaporama « Autour de la résolution de problèmes ».

Autour de la résolution de
problèmes
Quelques éléments théoriques pour aborder
l’opération « Défi-Maths »
Copyright: P. Geluck
Denis Bregent - ISFEC56 – octobre 2011
Plan de l’animation
Introduction
I Quelques repères
II Pourquoi développer la résolution de
problèmes ?
IV Focus sur les problèmes ouverts
V Références
Annexe et compléments:
Les élèves face aux problèmes
Introduction
a) Sources:
- Roland Charnay (Cap Maths, Ermel …)
- Dominique Pernoux (IUFM d’Alsace)
- Documents d’accompagnement 2002
 « Problèmes pour chercher »
 « Résolution de problèmes et apprentissages »
Introduction
b) Pour se mettre en situation:
Je pense à un nombre entier, j’ajoute 2 à ce
nombre, je multiplie le résultat par 3. Je
constate que j’obtiens finalement le même
résultat que si j’ajoute 12 au nombre auquel
j’ai pensé au départ. Quel est ce nombre ?
I Quelques repères
a) Qu’est-ce qu’un problème ?
Proposition de définition (D. Pernoux):
Un problème est une situation réelle ou imaginaire
dans laquelle des questions sont posées (ou dans
laquelle on doit effectuer des actions), ces
questions (ou ces actions) étant telles qu’on ne
peut pas y répondre de façon immédiate (ou telles
qu’on ne peut pas immédiatement les effectuer).
I Quelques repères
Implications:
- Il y a un but à atteindre.
- Il est nécessaire de suivre une procédure.
- Ce qui est un problème pour un élève à un moment
donné ne l’est pas forcément pour un autre ou peut ne
plus l’être quelques temps plus tard.
Ex: Un enseignant place 5 balles dans une boîte opaque puis
encore 2 balles et demande aux élèves de trouver le nombre
de balles placées dans la boîte.
Problème en maternelle, réponse immédiate en cycle 2 ou 3
I Quelques repères
b) Classer les problèmes:
- Classement en fonction du domaine
mathématique concerné:
-
Logique
Numération
Géométrie
…
I Quelques repères
-
Classement en fonction du contexte
- Problème « concret » ou de « vie
courante »
- Situations de classe vécues
- Situations interdisciplinaires
- Contexte purement mathématique
I Quelques repères
-
Classement en fonction du support
- Problème avec énoncé
- Texte écrit
- Tableau, diagramme
- Texte et image, texte et document réel
- Problème oral
- Problème sans question explicite
- (grille ou suite à compléter …)
- Situations matérielles
- Ex: Puzzle de Brousseau
Exercice sans question
Exercice sans question
Puzzle de Brousseau
I Quelques repères
-
Classement en fonction du rôle du
problème:
Exemple: Je pense à un nombre entier, j’ajoute 2 à
ce nombre, je multiplie le résultat par 3. Je constate
que j’obtiens finalement le même résultat que si
j’ajoute 12 au nombre auquel j’ai pensé au départ.
Quel est ce nombre ?
I Quelques repères
Quelques résolutions possibles:
 - par mise en équation: (a+2)x3 = a +12
 - par tâtonnement:
◦ tester avec 1 puis 2 …

- par essais successifs organisés ou non:
◦ avec 10 , la première partie est déjà
importante, je cherche un nombre plus petit
…
I Quelques repères
-
Si mon intention est de vous faire
découvrir le concept d’inconnue et de
vous amener à découvrir la mise en
équation, ce problème prend le rôle d’une
situation problème. Son rôle est de
construire une connaissance
mathématique nouvelle.
I Quelques repères
-
Si au contraire, nous venons de travailler
la mise en équation ensemble, ce
problème prend le rôle d’un problème
d’entraînement. Son rôle est favoriser le
transfert, voire d’approfondir la notion
I Quelques repères
-
Dans le cas où nous n’avons pas travaillé
de démarche systématisée pour résoudre
ce type de problème, c’est une procédure
personnelle qui sera attendue, ce
problème prend le rôle d’un problème
pour chercher (un problème ouvert)
Un même problème peut être utilisé avec des
intentions didactiques différentes.
II Pourquoi développer la résolution
de problèmes ?
a) Les programmes
II Pourquoi développer la résolution
de problèmes ?
II Pourquoi développer la résolution
de problèmes ?
II Pourquoi développer la résolution
de problèmes ?
b) Un « maillon faible » des apprentissages
Les différentes enquêtes PISA* soulèvent des
difficultés récurrentes :
 Des inégalités importantes dans les résultats des
élèves
 Des élèves plus angoissés que les autres face
aux mathématiques
 Une faiblesse particulière lorsqu'il faut "prendre
des initiatives, expérimenter (faire des essais,
critiquer, recommencer…) – PISA 2003
*(Programme for International Student Assessment)
II Pourquoi développer la résolution
de problèmes ?
Un exemple soulevé par R. Charnay
Résultat de l’évaluation nationale en 6ème (2003)
Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un
classeur.
Chaque page contient 6 photos.
 a) Combien y a-t-il de pages complètes ?
 b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?


Il y a ……… pages complètes.
54 %
Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %
II Pourquoi développer la résolution
de problèmes ?
Procédures possibles

Division par 6
 Division (à priori acquise bien avant le CM2)

Encadrement par deux multiples successifs
de 6
 Table de multiplication (fin de cycle 2- début de cycle 3)

Addition de 6 en 6
 Addition (cycle 2)

Schématisation des pages et des photos
 Dénombrement (cycle 2)
III Focus sur les problèmes ouverts
a) Définition
Un "problème ouvert" est un problème
dont la résolution n'a pas pour but
d'introduire une notion nouvelle ou
uniquement d'appliquer ou réinvestir des
connaissances mais de développer chez les
élèves le goût de la recherche et les
capacités à chercher.
III Focus sur les problèmes ouverts
Exemple pour des élèves de CE2/CM1 (D. Pernoux)
Dans le pré qui entoure l’étang de Mathessonne
se prélassent des poules et des lapins.
Karcassonne, le fermier, compte trente six têtes,
cent deux pattes et ce, à n’importe quelle heure.
Combien y a-t-il de poules ?
Combien y a-t-il de lapins dans le pré ?
III Focus sur les problèmes ouverts
b) Caractéristiques (définition de l’IREM de Lyon)
- l'énoncé est court
- Il concerne un domaine (numérique,
géométrique ou logique) avec lequel
l'élève a assez de familiarité pour prendre
facilement "possession" de la situation et
s'engager dans des essais, des conjectures.
III Focus sur les problèmes ouverts
b) Caractéristiques (définition de l’IREM
de Lyon)
- La difficulté ne doit pas se situer dans la
compréhension de la situation, mais dans
les moyens de répondre à la question
posée.
III Focus sur les problèmes ouverts
b) Caractéristiques (définition de l’IREM
de Lyon)
- l'énoncé n'induit ni la méthode ni la
solution et celle-ci ne doit pas se réduire à
l'utilisation ou l'application immédiate des
résultats vus en cours.
III Focus sur les problèmes ouverts
c) Intérêts des problèmes ouverts
(Ref: Documents d’accompagnement)
-
développer la capacité de l'élève à faire
face à des situations inédites .
(Analogie au mathématicien)
- permettre à l'élève de prendre conscience
de ses capacités mathématiques quel que
soit son niveau.
III Focus sur les problèmes ouverts
c) Intérêts des problèmes ouverts
(Ref: Documents d’accompagmenent)
permettre, au niveau méthodologique, de
valoriser des comportements et des
méthodes essentiels.
- développer les capacités d'argumentation .
-
III Focus sur les problèmes ouverts
c) Intérêts des problèmes ouverts
(Ref: Documents d’accompagmenent)
-
-
offrir une occasion de prendre en compte et
même de valoriser les différences entre
élèves
contribuer à l'éducation civique des élèves
permettre à l'enseignant de faire connaître
aux élèves quelles sont ses attentes en
matière de résolution de problèmes .
III Focus sur les problèmes ouverts
d) Démarche dans le cadre d’une séance collective
1°) Présentation (orale, écrite, illustrée
matériellement,...) du problème
2°) Phase de recherche individuelle de courte durée
3°) Phase de recherche en petits groupes
débouchant sur l'élaboration et la rédaction d'une
solution commune
4°) Phase de mise en commun : présentation des
solutions par des rapporteurs, débat et validation
ou invalidation des solutions proposées
5°) Conclusion
IV Quelques références
Roland Charnay
Extrait de Grand N°51: http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/nx/n51_6.htm
(consulter aussi la bilbiographie associée)
Collection ERMEL (Hachette), Manuels Cap Maths (Hatier)
Site de Dominique Pernoux
Page de liens concernant les problèmes (dont "problèmes pour chercher", énigmes,... ) (cycle 2 et cycle 3) :
http://pernoux.perso.orange.fr/problemes.htm
Page de liens vers des énoncés de "problèmes pour chercher" avec réponses ou corrigés (cycle 2 et 3) :
http://dpernoux.free.fr/ouverts.htm
40 énoncés de "problèmes pour chercher« pour le cycle 3 : http://dpernoux.free.fr/ouvertsc3.doc
Compilation de problèmes "pour chercher" en géométrie (cycles 2 et 3) :
http://pernoux.perso.orange.fr/probgeom.pdf
Lien avec La maîtrise de la langue
Maîtrise de la langue et mathématiques (page du site d'Annie Camenisch, professeur de
français à l'IUFM d'Alsace) : http://a.camenisch.free.fr/pe2/disciplines/maths.htm
Observation réfléchie de la langue et mathématiques (site de Jean-Luc Brégeon) :
http://perso.wanadoo.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-18.htm
Annexe: Les élèves face aux problèmes
a)Schématisation des étapes de résolution d’un
problème (R. Charnay)
Annexe: Les élèves face aux problèmes
b)Les principales difficultés des élèves
- Liées à la représentation:
- incompréhension de l’énoncé
- interprétation erronée
- représentation incomplète
Causes:
- Difficulté de lecture
- Informations implicites
- Contexte social du problème
- Excès d’informations dans l’énoncé
Annexe: Les élèves face aux problèmes
b)Les principales difficultés des élèves
- Liées à la stratégie:
- blocage dès le début de la démarche
- stratégie inappropriée
- oubli de la question
Causes:
- démotivation
- contrat didactique
- mot inducteurs (plus, j’ajoute, j’enlève …)
Annexe: Les élèves face aux problèmes
b)Les principales difficultés des élèves
- Liées à la procédure:
- erreur dans la procédure
Causes:
- absence d’habitudes procédurales
- surcharge cognitive
- non maîtrise des savoir-faire
Annexe: Les élèves face aux problèmes
b)Les principales difficultés des élèves
- Liées à la communication:
- communication absente
- communication différente de la démarche utilisée
- interprétation erronée des résultats
Causes:
- difficulté à prendre conscience de la procédure
employée
- habitude de classe ( pas d’exigence de procédures
explicitées)
- non maîtrise des savoir-faire
- difficulté à entrer dans une procédure différente de la
sienne
En conclusion
Un problème ouvert pour les « grands »
50 personnes se rencontrent et se saluent en
se serrant la main. Chacune des personnes
serre la main de toutes les autres. Combien de
poignée de mains sont ainsi échangées ?