Université Joseph Fourier – L2 MAT231 – 2007-2008

Université Joseph Fourier – L2 MAT231 – 2007-2008
2007-09-25-mat231_feuille_exos_02.tex (25 septembre 2007)
Feuille d’exercices no 2
Exercice 2.1 Une division euclidienne a = bq + r, 0 ≤ r < b, a pour dividende a = 557 et
pour reste r = 85. Quelles sont les possibilités pour le diviseur (b) et pour le quotient (q) ?
Exercice 2.2 Une division euclidienne a = bq + r, 0 ≤ r < b, a pour dividende a = 1517 et
pour quotient q = 75. Quelles sont les possibilités pour le diviseur (b) et pour le reste (r) ?
Exercice 2.3 Soient a, b ∈ N• et q le quotient de la division euclidienne de a par b. Quel
est le quotient de la division euclidienne de abn − 1 par bn+1 , où n ∈ N• .
Exercice 2.4 Les divisions de 4373 et 826 par un même nombre b ont pour restes respectifs
8 et 7. Quelles sont les possibilités pour b ?
Exercice 2.5 Écrire les tables d’addition et de multiplication en base 5. Les utiliser pour
calculer 132 + 404 et 23 × 134 en base 5.
Exercice 2.6 Montrer que si la base de numération est au moins égale à 8, le nombre 672
est divisible par 32. Quel est alors le quotient ?
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Exercice 2.7 En base 12, déterminer 11 sans passer par la base 10.
Exercice 2.8 Soit a ∈ N, a > 1. Vérifier que a3 + 1 = (a + 1)(a2 − a + 1). En déduire que
le nombre entier qui s’écrit 1001 en base a est divisible par 11. Déterminer le quotient de la
division de 1001 par 11 (on pourra représenter le nombre a − 1 par α).
Exercice 2.9 Écrire en base 2 les nombres qui sont donnés en base 8 par 5, 7, 1517. En
déduire une méthode pratique de conversion de la base 8 à la base 2. La justifier.
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Exercice 2.10 Déterminer un critère de divisibilité par 7 en base 11. Le nombre n dont la
représentation en base 11 est 10934 est-il divisible par 7 ? Le nombre n dont la représentation
en base 10 est 10934 est-il divisible par 7 ?
Exercice 2.11 Un groupe de 17 pirates a rassemblé un trésor de x pièces d’or (x ≤ 500).
À l’issue d’un partage équitable, il reste 7 pièces. Une bagarre s’ensuit, un mort. Nouveau
partage équitable, il reste 11 pièces. Nouvelle bagarre, nouveau mort et nouveau partage. Les
15 pirates restant ont le même nombre de pièces. Déterminer la taille du trésor.
Exercice 2.12 Soient ab et dc deux fractions écrites sous forme réduite, avec a, c ∈ Z,
b, d ∈ N• et pgcd(a, b) = pgcd(c, d) = 1. On suppose que ab + dc ∈ Z. Que peut-on en déduire
sur b, d ?
Exercice 2.13 On se donne a ∈ N, a ≥ 2. On se donne également
x := xp ap + · · · + x0 avec xp 6= 0,
et
y := yq aq + · · · + y0 avec yq 6= 0,
deux nombres x et y écrits en base a (0 ≤ xi < a pour i de 0 à p et 0 ≤ yj < a pour j de 0
à q).
1. Montrer que l’on a xp ap ≤ x ≤ xp ap + ap − 1.
2. Montrer que p < q implique que x < y.
3. Montrer que p = q et xp < yp impliquent que x < y.
4. Montrer que p = q, xp = yp , . . . , xr+1 = yr+1 et xr < yr pour un certain r tel que
0 ≤ r < p impliquent que x < y.
5. Déduire de ce qui précède l’unicité de l’écriture en base a.
Exercice 2.14 Montrer que
√
2 n’est pas un nombre rationnel.
Exercice 2.15 Soient a, b ∈ Z. Montrer que
(pgcd(a + b, ab) = 1) ⇒ (pgcd(a, b) = 1).
La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 2.16 Soit p un nombre premier et a un entier quelconque.
Montrer que pgcd(a, p) = p ou bien pgcd(a, p) = 1.
Exercice 2.17 Soient a, b ∈ N• . Combien y a-t-il d’entiers divisibles par b dans {ka | 1 ≤
k ≤ b}.
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Exercice 2.18 On considère la suite d’entiers naturels définie par
u1 := 1, u2 := 1 et, si n ≥ 3, un := un−1 + 2un−2 .
1. Calculer u3 , u4 , u5 , u6 .
2. Démontrer que pour tout n ≥ 1, le terme un est impair.
3. Démontrer que pour tout n ≥ 1, les termes un et un+1 sont premiers entre eux, ainsi
que un et un+2 .
4. Démontrer que pour tout n ≥ 1, et tout p ≥ 2, on a un+p = un+1 up + 2un up−1 .
5. Démontrer que l’ensemble des diviseurs communs à un+p et un est égal à l’ensemble
des diviseurs communs à un et up . En déduire que si r est le reste de la division
euclidienne de m par n alors
pgcd(um , un ) = pgcd(ur , un ) et pgcd(um , un ) = upgcd(m,n) .
Exercice 2.19 Démonter que deux entiers successifs sont toujours premiers entre eux. En
déduire que pgcd(2n + 5, n2 + 5n + 6) = 1 pour tout entier n.
Exercice 2.20 Pour n > 0, on pose
Sn =
n
X
p3 .
p=1
On se propose de calculer le pgcd de Sn et Sn+1 .
1. Soient deux entiers naturels non nuls a, b, tels que pgcd(a, b) = 1. Montrer que
pgcd(a2 , b2 ) = 1.
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2. Montrer que pour tout n > 0, on a Sn = n(n+1)
.
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3. Cas où n = 2k est pair.
(a) Montrer que pgcd(S2k , S2k+1 ) = (2k + 1)2 pgcd(k2 , (k + 1)2 ).
(b) Calculer pgcd(k, k + 1).
(c) Calculer pgcd(S2k , S2k+1 ).
4. Cas où n = 2k + 1 est impair.
(a) Démontrer que les entiers 2k + 1 et 2k + 3 sont premiers entre eux.
(b) Calculer pgcd(S2k+1 , S2k+2 ).
5. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur n, que l’on déterminera, pour laquelle Sn et Sn+1 sont premiers entre eux.
Exercice 2.21 Énoncer le principe du crible d’Eratosthène (au besoin, consulter des livres
ou faire une recherche sur la Toile). Transposer ce principe en un algorithme sur Maple.
Exercice 2.22 On se propose de déterminer tous les facteurs premiers de n ≥ 2. Montrer
qu’il suffit de chercher les diviseurs premiers tel que p2 ≤ n. Application : écrire la liste des
nombres premiers plus petits que 50.
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Exercice 2.23 Utiliser la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le pgcd et le
ppcm de deux nombres a et b.
Exercice 2.24 Quelle condition doivent vérifier deux entiers a, b non nuls et tels que a ≥ b
pour que a2 − b2 soit premier (condition nécessaire, est-ce suffisant) ?
Exercice 2.25 Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On pose m := n! + 1. Les entiers
m + 1, m + 2, . . . , m + n − 1 peuvent-ils être premiers ? En déduire une liste de 1000 entiers
consécutifs, tous non premiers.
Exercice 2.26 Soit p un nombre premier. Résoudre, dans N l’équation
x2 − y 2 = p.
Exercice 2.27 Montrer que 951842 − 4 est un multiple de 5.
Exercice 2.28 Écrire les tables d’addition et de multiplication dans Z/Z3 . Soit x un entier
non nul. Le reste de la division euclidienne de x2 par 3 peut-il être égal à 2 ?
Exercice 2.29 Montrer que le théorème de Gauss découle du Théorème de Bézout.
Exercice 2.30 Montrer (par exemple pour le couple a := 876 et b := 543) que l’algorithme
d’Euclide permet de déterminer un couple (u, v) vérifiant le théorème de Bézout généralisé.
Même question pour 756 et 330.
Exercice 2.31 Déterminer u0 et v0 tels que 2u0 + 3v0 = 1. En déduire tous les couples
(u, v) vérifiant la relation 2u + 3v = 1. Résoudre le système
x ≡ 1 modulo 2
x ≡ 2 modulo 3