M2 Mathématiques Recherche 2015-2016

M2 Mathématiques Recherche 2015-2016
Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand II
Les cours sont regroupés en blocs.
Bloc 1 : Mathématiques générales.
Ce bloc est destiné aux étudiants souhaitant préparer l’agrégation simultanément à leur M2.
Bloc 2 : Modélisation et mathématiques appliquées.
Ce bloc est destiné aux étudiants souhaitant faire ensuite une thèse en mathématiques appliquées,
ou bien postuler sur des emplois de type ingénieur.
Bloc 3 : Algèbre.
Ce bloc est destiné aux étudiants désirant ensuite faire une thèse en mathématiques fondamentales.
Le thème privilégié cette année est “Algèbre”.
Liste des cours
Les cours (10 ECTS chacun) sont à choisir parmi la liste suivante (3 au S1, 2 au S2). Obligatoire : 1 stage à 10 ECTS au S2.
Semestre 1 (3 cours à choisir)
• Algèbre approfondie (S. Baaj, J. Bichon).
• Analyse approfondie (S. Baaj, E. Royer).
• Equations aux dérivées partielles et modélisation (Y.J. Peng, V. Bagland, L. Chupin).
• Algèbre, Algèbres d’operateurs (S. Riche, R. Yuncken).
• Calcul stochastique et finance (commun avec Polytech) (P. Bertrand, H. Djellout).
• Modélisation et méthodes numériques (commun avec Polytech) (R. Touzani, T. Dubois, M.
Fogli).
Semestre 2 (2 cours à choisir)
• Equations aux dérivées partielles et analyse (L. Chupin, A. Münch, Y.J. Peng).
• Probabilités, processus stochastiques, analyse (Y. Heurteaux, L. Serlet).
• Algèbre et topologie (J. Dubois, S. Riche).
• Cours de lecture (Stage).
• Thèmes en algèbre et géométrie (J. Bichon, J. Dubois, T. Lambre, M. Rebolledo).
• Thèmes en analyse, probabilités et modélisation (V. Bagland, J. Chabert, L. Chupin, A. Guillin,
L. Serlet).
Le dossier d’admission est téléchargeable à l’adresse
http ://www.univ-bpclermont.fr/formation/formation/UBP-PROG19550.html
Responsable de la formation : Arnaud Münch - [email protected] - 04 73 40 70 76
Organisation par blocs
Les cours sont regroupés en blocs thématiques.
Bloc 1 : Mathématiques générales
Ce bloc est destiné aux étudiants souhaitant préparer l’agrégation simultanément à leur
M2. Les cours constituant ce bloc sont les suivants.
Semestre 1
• Algèbre approfondie (S. Baaj, J. Bichon).
• Analyse approfondie (S. Baaj, E. Royer).
• Equations aux dérivées partielles et modélisation (Y.J. Peng, V. Bagland, L. Chupin).
Semestre 2
• Thèmes en algèbre et géométrie (J. Bichon, J. Dubois, T. Lambre, M. Rebolledo).
• Thèmes en analyse, probabilités et modélisation (V. Bagland, J. Chabert, L. Chupin, A. Guillin,
L. Serlet).
Bloc 2 : Modélisation et mathématiques appliquées
Ce bloc est destiné aux étudiants souhaitant faire ensuite une thèse en mathématiques appliquées, ou bien postuler sur des emplois de type ingénieur. Pour de tels étudiants qui souhaiteraient également passer l’agrégation, il est semble raisonnable de suivre le M2 dans ce bloc,
puis de préparer et passer l’agrégation l’année suivante.
Semestre 1
• Equations aux dérivées partielles et modélisation (Y.J. Peng, V. Bagland, L. Chupin).
• Calcul stochastique et finance (commun Polytech) (P. Bertrand, H. Djellout).
• Modélisation et méthodes numériques (commun Polytech) (R. Touzani, T. Dubois, M. Fogli).
Il est possible de remplacer l’un des cours communs avec polytech par le cours “Analyse approfondie”.
Semestre 2
• Cours de lecture.
+ Choix entre :
• Equations aux dérivées partielles et analyse (L. Chupin, A. Münch, Y.J. Peng).
• Probabilités, processus stochastiques, analyse (Y. Heurteaux, L. Serlet).
Bloc 3 : Algèbre
Ce bloc est destiné aux étudiants désirant ensuite faire une thèse en mathématiques fondamentales. Le thème choisi cette année est "Algèbre". Pour de tels étudiants qui souhaiteraient
également passer l’agrégation, il est semble raisonnable de suivre le M2 dans ce bloc, puis de
préparer et passer l’agrégation l’année suivante.
Semestre 1
• Algèbre approfondie (S. Baaj, J. Bichon).
• Analyse approfondie (S. Baaj, E. Royer).
• Algèbre, Algèbres d’opérateurs (S. Riche, R. Yuncken).
Il est possible, pour des étudiants voulant s’orienter de façon certaine vers l’analyse, de remplacer le cours d’algèbre approfondie par un autre cours.
Semestre 2
• Algèbre, Topologie
• CL : Cours de lecture.
Il est possible, pour des étudiants voulant s’orienter de façon certaine vers l’analyse, de remplacer le cours "Algèbre, Topologie" par le cours "Probablités, processus stochastiques, analyse".
En théorie tous les choix de cours sont possibles mais l’organisation en bloc est censée vous
aider à faire des choix cohérents. Plus vos choix sont erratiques, moins l’ouverture des cours à
petits effectifs est garantie.
Descriptif des cours
Algèbre approfondie (50H)
Compléments en algèbre. Anneaux noethériens, théorie abstraite des anneaux factoriels.
Modules sur anneau, modules libres, matrices à coefficients dans un anneau, modules sur un
anneau principal et applications. Représentations linéaires des groupes finis. Formes quadratiques. Groupes classiques.
Analyse approfondie (50H)
Compléments en analyse. Analyse complexe : zéros des fonctions holomorphes, produits
infinis, propriété de Montel, représentation conforme, fonctions spéciales, approximation par
des fractions rationnelles. Analyse fonctionnelle : théorème de Stone-Weierstrass, bases dans
les espaces de Banach, mesures de Radon, fonctions à variation bornée, fonctions absolument
continues.
Thèmes en algèbre et géométrie (30H cours + 30h TD)
Compléments en algèbre et géométrie en vue des épreuves orales de l’agrégation.
Thèmes en analyse, probabilités et modélisation (30H cours + 60H TD)
Compléments en analyse et probabilités en vue des épreuves orales de l’agrégation. Compléments en calcul scientifique.
Equations aux dérivées partielles et modélisation (50H).
Compléments sur les équations différentielles ordinaires : aspects théoriques, numériques
et qualitatifs. Equation de transport. Méthodes des caractéristiques, discrétisation en dimension
1. Equation des ondes sur R et sur un domaine borné, discrétisation en dimension 1. Distributions, espaces de Sobolev, exemples d’équations aux dérivées partielles.
Calcul stochastique et finance (commun Polytech) (50H).
◦ Modélisation des marchés financiers (25h, P. Bertrand). Introduction aux notions de portefeuille de couverture, Absence d’opportunité d’arbitrage, probabilité neutre au risque. Calcul
du prix et du portefeuille de couverture pour des options européennes en temps discret. Formule de Black & Scholes en temps continu Option américaines.
◦ Processus financiers (25h, H. Djellout). Rappels de probabilités (Espérance conditionnelle),
Définitions générales et exemples intuitifs de processus aléatoires, Chaînes de Markov à temps
et états discrets, Processus de Poisson et de renouvellement, Martingales et mouvement Brownien, Calcul de Itô (formules de : Itô, Girsanov, représentation de martingales), Équations différentielles stochastiques à coefficients Lipschitz, Diffusions et équations aux dérivées partielles
linéaires.
Modélisation et méthodes numériques (commun Polytech) (50H).
◦ Calcul scientifique avancé (14h, R. Touzani). Méthodes numériques précises pour la résolution numérique de problèmes. Problèmes à frontière libre et de propagation d’interfaces, Différentes formulations de ces problèmes, Méthodes numériques de résolution.
◦ Mécanique des solides déformables (20h, M. Fogli). Tenseur des déformations Tenseur des
contraintes Loi de comportement d’un milieu continu solide déformable équations fondamentales de la MMCSD Modélisation , formulation et résolution d’un problème de MMCSD
◦ Méthodes numériques pour la mécanique des fluides (16h, T. Dubois). Introduction aux équations de la mécanique des fluides, Espaces fonctionnels et résultats d’existence, unicité et régularité, Analyse de schémas de semi-discrétisation en temps, Discrétisation couplée espacetemps, Méthodes de projection
Equations aux dérivées partielles - Analyses et méthodes numériques (45H)
◦ Equations de Navier-Stokes (L. Chupin, 15h). Ce cours a pour objectif d’étudier les fameuses
équations de Navier-Stokes qui modélisent l’écoulement d’un fluide. Après avoir donné un
aperçu historique sur la formation du modèle, et sur certaines de ses extensions, nous nous intéresserons à l’analyse mathématique de ce système d’équations aux dérivées partielles. Nous
utiliserons des outils d’analyse classique (théorème de Lax-Milgram, espaces fonctionnels adaptés, théorème spectral, méthode de Galerkin...) pour faire le point sur les rŐsultats classiques,
et pour voir quels sont les obstacles principaux à une des questions du millénaire.
◦ Introduction aux contrôles des équations aux dérivées partielles (A. Münch, 15h). La théorie
du contrôle est un domaine des mathématiques appliquées étudiant la possibilité d’agir au
cours du temps sur la solution d’une EDP de façon a lui imposer un comportement donné. Le
cours aborde les notions de stabilisation et contrôlabilité pour les équations des ondes et de la
chaleur.
Partie I : Cas conservatif de l’equation des ondes. - Stabilisation par les méthodes de Lyapounov et des méthodes des multiplicateurs - Contrôlabilité par la méthode de dualité de
Lions. - Aspects numériques.
Partie II : Cas dissipatif de l’équation de la chaleur. - Contrôlabilité approchée par un résultat de continuation unique - Contrôlabilité exacte par les méthodes de type Carleman - Aspects
numériques.
◦ Introduction aux systèmes hyperboliques non linéaires (Y.J. Peng, 15h)
– Non linéarité et formation de singularités
– Notion de solutions entropiques
– Systèmes symétrisables et estimations d’énergie
– Solutions locales dans des espaces de Sobolev
– Conditions de dissipation et existence globale en temps
– Applications aux systèmes d’Euler et d’Euler-Maxwell pour des plasmas
Probabilités, processus stochastiques, analyse (45H).
◦ Analyse fractale (Y. Heurteaux, 22,5h). Mesures, mesures extérieures, lemmes de recouvrement, lemme de Frostman - Théorie de la dimension - mesures et dimension de Hausdorff dimension de boite et de packing - dimension capacitaire - exemples - Notion de mesure multifractale - mesures autosimilaires - introduction au formalisme multifractal - Introduction aux
cascades de Mandelbrot.
◦ Mouvement brownien (L. Serlet, 22,5h). Constructions du mouvement brownien, théorème
de Donsker - Régularité des trajectoires - Temps locaux -Propriétés fractales.
Algèbre, Algèbres d’opérateurs (45h)
◦ Algèbres de Lie I : structure (S. Riche, 22,5h). Une algèbre de Lie est un espace vectoriel L,
muni d’une application bilinéaire antisymétrique [−, −] : L × L → L (appelée "crochet de Lie")
qui vérifie une certaine identité (dite de Jacobi). L’exemple le plus simple est quand L est une
algèbre associative, qu’on munit du crochet [a,b]=ab-ba. De telles structures apparaissent notamment sur l’espace tangent en l’unité d’un groupe de Lie (c’est-à-dire un groupe muni d’une
structure de variété différentielle, compatible à la structure de groupe au sens approprié). L’objectif de ce cours sera d’introduire cette notion et d’exposer les résultats de base sur la structure
de ces algèbres de Lie : théorème de Lie, théorème d’Engel, construction de l’algèbre enveloppante, théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt, caractérisations des algèbres de Lie semisimples et
réductives et, si le temps le permet, théorème d’Ado, théorème de Weyl, théorème de Levi.
◦ C ∗ -algèbres (R. Yuncken, 22,5h). Ce cours donnera une introduction à la théorie des C ∗ algèbres, dans le but d’expliquer les outils fondamentaux et montrer des liens avec d’autres
domaines. 1. Notions de base : algèbres de Banach, transformée de Gelfand, C ∗ -algèbres, calcul
fonctionnel continu. 2. Représentations des C*-algèbres. La construction GNS. 3. Exemples des
C ∗ -algèbres : Algèbre de Toeplitz, C ∗ -algèbres des groupes, Tore non-commutatif. Si le temps
le permet, on peut traiter des sujets supplémentaires : algèbres de von Neumann, opérateurs
non-bornés.
Algèbre, Topologie (S. Riche, J. Dubois, 45h)
◦ Algèbres de Lie II : représentations (S. Riche, 22,5h).
Ce cours sera une introduction à la théorie des représentations des algèbres de Lie semisimples et réductives complexes, principalement à travers les exemples des algèbres de Lie
gln (des matrices de taille n) et sln (des matrices de taille n et de trace nulle). On introduira
notamment les modules de plus haut poids et la classification des tels modules irréductibles,
les conditions pour que ces modules soient de dimension finie et (si le temps le permet) des
formules de caractères.
◦ Topologie algébrique (J. Dubois, 22,5h).
Ce cours a pour but de donner une initiation à l’homologie et la cohomologie des variétés
ainsi qu’une introduction à la théorie des revêtements. On donnera les méthodes usuelles de
calculs des groupes d’homologie : suite exacte d’une paire, excision, suite de Mayer-Vietoris et
on énoncera la dualité de Poincaré liant groupes d’homologie et groupes de cohomologie.