M1 MIDO, Université Paris-Dauphine Examen d`analyse convexe

24 mai 2016
M1 MIDO, Université Paris-Dauphine
Examen d'analyse convexe approfondie
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la notation (en particulier, vous ferez attention à bien donner les hypothèses des théorèmes invoqués). Toutes les questions peuvent être
traitées en admettant les résultats des questions précédentes.
L'espace Rn est muni du produit scalaire et de la norme euclidienne canoniques et est identié
à son dual. Le sous-diérentiel d'une fonction f : Rn → R en un point est considéré comme un
sous-ensemble de Rn , et la transformée de Legendre-Fenchel de f comme une fonction sur Rn .
Soient g1 , . . . , gk : Rn → R des fonctions convexes, semi-continue inférieurement et
propres. On considère le problème de minimisation suivant, où l'on suppose le minimum atteint :
Exercice 1.
P := minn g1 (z) + . . . + gk (z).
z∈R
On suppose de plus qu'il existe un point z0 ∈ Rn où les fonctions g1 , . . . , gk sont continues.
n
∗
1. Justier que pour tous z, wi ∈ R , gi (z) + gi (wi ) ≥ hz|wi i. En déduire que P ≥ D où
o
n P
Pk
w
=
0
.
D := sup − 1≤i≤k gi∗ (wi ) | w1 , . . . , wk ∈ Rn tq
i
i=1
2. Soit z̄ un point réalisant le minimum dans la dénition de P . Justier l'existence de
w̄1 , . . . w̄k ∈ Rn tels que pour 1 ≤ i ≤ k, w̄i ∈ ∂gi (z̄) et telsPque w̄1 + . . . + w̄k = 0.
∗
3. En utilisant l'égalité de Fenchel-Young, démontrer que −
1≤i≤k gi (w̄i ) = P . En déduire
la dualité forte : P = D.
Soient f1 , . . . , fk : Rn → R convexes C 1 et soit f : x ∈ Rn 7→ max1≤i≤k fi (x). Soit
x0 un point de Rn tel que f (x0 ) = f1 (x0 ) = . . . = fk (x0 ). On souhaite démontrer que
Exercice 2.
∂f (x0 ) = conv({wi | 1 ≤ i ≤ k}) où wi = ∇fi (x0 ).
(1)
On pose K := conv({wi | 1 ≤ i ≤ k}).
4
. Montrer que pour 1 ≤ i ≤ k, wi appartient à ∂f (x0 ). En déduire que K ⊆ ∂f (x0 ).
Étant donné X ⊆ Rn , on pose hX : y ∈ Rn 7→ supx∈X hx|yi. On rappelle que :
• Soient C, D convexes fermés. Alors C ⊆ D si et seulement si hC ≤ hD .
• Si f : Rn → R est convexe et continue en x0 , alors ∀v ∈ Rn , f + (x0 ; v) = h∂f (x0 ) (v).
Rappels.
. Justier les égalités et inégalités suivantes, en conclure que ∂f (x0 ) ⊆ K :
5
∀v ∈ Rn , h∂f (x0 ) (v) = f + (x0 ; v) ≤ max fi+ (x0 ; v) = max hwi |vi = hK (v).
1≤i≤k
6
.
1≤i≤k
Soient w1 , . . . , wk ∈ Rn et fi (x) := hwi |xi. En utilisant l'égalité (1), démontrer
l'équivalence entre les deux assertions suivantes :
(P1 ) ∀x ∈ Rn , f (x) = max
f (0)
P 1≤i≤k hwi |xi ≥ P
(P2 ) ∃λ1 , . . . , λk ≥ 0 tq 1≤i≤k λi = 1 et 1≤i≤k λi wi = 0.
Application.
1
Soit ε > 0. On appelle ε-sous-diérentiel d'une fonction f : Rn → R en un point x0
de dom(f ) l'ensemble
Problème.
∂ε f (x0 ) = {s ∈ Rn | ∀x ∈ Rn , f (x) + ε ≥ f (x0 ) + hs|x − x0 i} .
. Soit x0 ∈ dom(f ). Montrer que s ∈ ∂ε f (x0 ) si et seulement si f (x0 ) + f ∗ (s) ≤ hs|x0 i + ε.
En déduire que l'ensemble ∂ε f (x0 ) est convexe et fermé.
7
On suppose désormais que f : Rn → R est convexe, sci et propre et que x0 ∈ dom(f ).
. Justier que f (x0 ) = sups∈Rn hs|x0 i − f ∗ (s). En déduire que pour tout ε > 0, ∂ε f (x0 ) 6= ∅.
L'objectif des quatre questions suivantes est de démontrer l'énoncé suivant, qui établit un lien
entre le ε-sous-diérentiel et le sous-diérentiel usuel :
8
Soit x0 un point de dom(f
), s0 ∈ ∂ε f (x0 ) où ε > 0.
√
√
Alors il existe xε ∈ dom(f ) et sε ∈ ∂f (xε ) tels que kxε − x0 k ≤ ε et ksε − s0 k ≤ ε.
Théorème (Brønsted-Rockafellar).
Pour les quatre questions suivantes, on xe x0 ∈ dom(f ) et s0 ∈ ∂ε f (x0 ).
9. On pose g(x) = f (x) − hs0 |xi. Déduire de s0 ∈ ∂ε f (x0 ) que g(x0 ) ≤ inf g + ε.
√
n
10. Soit h(x) = g(x) + ε kx − x0 k et soit xε un minimiseur de h sur R . Justier les inégalités
inf g +
√
ε kxε − x0 k ≤ g(xε ) +
√
ε kxε − x0 k ≤ g(x0 ).
√
En déduire que kxε − x0 k ≤ ε.
11. En utilisant l'optimalité de xε (c-à-d. xε ∈ arg minRn h), démontrer qu'il existe sε ∈ ∂f (xε )
√
et rε ∈ ∂`(xε ) où `(x)√= ε kx − x0 k tels que sε − s0 + rε = 0.
12. Démontrer que ` est
ε-Lipschitz. En partant de la dénition de rε ∈ ∂`(xε ), en déduire
√
que krε k ≤ ε. Conclure la démonstration du théorème de Brønsted-Rockafellar.
On donne maintenant une application de ce théorème.
13. Soit x0 ∈ dom(f ). Déduire de 8. et du théorème de Brønsted-Rockafellar que pour ε > 0,
√
il existe xε tel que ∂f (xε ) 6= ∅ et kx0 − xε k ≤ ε.
. Soit
(i)
(ii)
(iii)
14
{x ∈ Rn | ∂f (x) 6= ∅}
S dom(f ).)
f:
→ R convexe sci minorée telle que l'ensemble R = x∈Rn ∂f (x) est fermé.
Démontrer que R = {y ∈ Rn | ∂f ∗ (y) 6= ∅}, puis par 13. que R = dom(f ∗ ).
Montrer que x est un minimiseur de f sur Rn si et seulement si x ∈ ∂f ∗ (0).
Déduire des deux questions précédentes que f atteint son minimum sur Rn .
(En particulier, l'ensemble
Rn
2
est dense dans