Projet Couverture des Produits Dérivés

Sommaire
Objectifs et motivations:
mettre en œuvre et comparer des méthodes d'évaluation et stratégies
de couverture d ’options complexes en utilisant des méthodes
numériques à développer en C++
Rappels sur les options exotiques: digitales, barrière, lookback,
asiatiques, etc … Européennes et Américaines
Projet
Couverture
des Produits Dérivés
Distributions associées: temps de passage, maximum, minimum, …
Méthodes d'évaluations:
formes explicites,
méthode binomiale,
par simulation de Monte Carlo
Couverture (hedging): Statique vs Dynamique
Programmation : VBA ou R, C/C++, librairies open source (GNU
Public Licence): Financial Recipes in C/C++, fOptions (R),
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Daniel HERLEMONT
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Daniel HERLEMONT
Travaux Pratiques
Caractéristiques des options exotiques
TP1: Pricing Options Exotiques Digitales et barrières, étude des
grecques
Nom générique donné à des dérivés avec des paiements plus
complexes que les options vanilles
TP2: Pricing par simulation de Monte Carlo: application aux
options Asiatiques et Lookback
Utilisées en gestion de risque ou en spéculatif, certaines options
peuvent avoir des leviers très élevés (options barrière par exemple).
TP3: Pricing par la méthode binomiale: applications aux options
américaines complexes
Traitées principalement sur un marché de gré à gré (OTC = Over
The Counter)
TP4: Stratégies de couverture
S'adressent plutôt à des investisseurs "sophistiqués" ou hedge fund.
pour options Barrières, Digitales et Lookback
comparaison hedging dynamique vs hedging statique
Les "producteurs" d'options exotiques sont généralement des
banques qui se couvrent (hedging)
par des positions les sous jacents : hedging dynamique
et/ou d'autres options : hedging statique
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Daniel HERLEMONT
Pricing dans l'économie de Black & Scholes - rappel
Difficultés techniques
Hypothèses
La gestion de couverture est plus délicate que dans le cas d'options
vanilles:
Le marché est sans friction:
il peut y avoir des problèmes de liquidité
certaines options ont des payoffs difficiles à répliquer en raison de
discontinuités (exemple options barrières) avec des Deltas et Gammas
élevés, connu sous le nom de "pin risk".
pas de coût de transaction, ni fourchette de marché (bid/ask), ni impôts, …
pas de restriction sur les ventes à découvert
les actifs sont divisibles
le marché est liquide: on peut vendre et acheté à tout instant et immédiatement les
quantités voulues.
Les taux sont constants
Il n'y a pas d'opportunité d'arbitrage: pas de stratégie de coûts nul et risque
nul (no free lunch)
Le marché est complet:
Certaines options dépendent du chemin (path dependent)
(Asiatique, Lookback, toute option américaine) dépendent du
chemin, il n'existe pas, en général, de formules explicites pour ces
options
Rappel théorème fondamental: dans le un marché complet, sans arbitrage,
la valeur d'un actif contingent est égale à l'espérance actualisée des paiements
sous la probabilité risque neutre Q :
Tout actif contingent peut être répliqué (donc couvert) par un portefeuille auto
finançant composés d'actifs risqués et de l'actif sans risque.
approximations
méthode binomiale
simulation de Monte Carlo,
Daniel HERLEMONT
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Daniel HERLEMONT
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Grecques - rappel
Options Exotiques classiques
Digitales
payoff en tout ou rien
Barrières
le payoff dépend du franchissement d'une barrière
Asiatiques
le payoff dépend d'une moyenne des prix du sous jacent
Lookback
le payoff dépend du maximum (ou du minimum) du prix du sous
jacent
Autres Options: Gap, Chooser, Correlation (entre 2 actifs),
Rainbow, ...
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Daniel HERLEMONT
Options Digitales - Cash || Nothing
Options Digitales Européennes - Asset || Nothing
Une option digitale "Asset or Nothing" call paye 1 "action" si le
prix à échéance ST ≥ K
Cash or nothing call
Les options digitales (ou bianires)
1€
payoff =
1{ST ≥ K }
0€
K
payoff =
ST
Digitale Européenne
S
ST 1{ST ≥ K }
K
Digitale Américaine
S
payoff=1
payoff=1
K
K
K
ST
payoff=0
payoff=1
S0
S0
T
T
L'option paye ssi le prix du sous jacent est plus
grand que K à l'échéance
L'option paye ssi le prix du sous jacent est plus
grand que K à tout instant avant l'échéance
aussi appelée option "one-touch"
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Daniel HERLEMONT
Options Digitales Européennes - Asset || Nothing - pricing B&S
Options Digitales Européennes - Cash || Nothing - pricing B&S
V ( S0 , T ) = e − rT EQ [1ST ≥ K ] = e − rT
∫ dQ = e
− rT
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Daniel HERLEMONT
PQ [ ST ≥ K ]
− rT
V ( S0 , T ) = e− rT EQ [ ST 1{ ST ≥ K } ] = e
ST ≥ K
ST = S 0 e
( r − 12 σ 2 )T +σzT
Pr( ST ≥ K )
sous Q
= Pr( S0e
( r − 12 σ 2 ) T +σzT
avec
≥ K)
 z
ln( K S0 ) − ( r − 12 σ 2 )T
= Pr  T ≥
σ T
 T
∫ S dQ
T



 z
ln( S0 K ) + ( r − 12 σ 2 )T 
= Pr  T ≤
 Par symétrie
σ T
 T

ln(S 0 K ) + (r − 12 σ 2 )T
d2 =
= N ( d 2 ) avec
σ T
∫S
T
dQ
ST ≥ K
zT
~ N (0,1)
T
=
ST ≥K
( r − 12 σ 2 )T +σzT
0
dQ
ST ≥ K
=
N( ) est la fonction de
distribution d'une
Gaussienne standard.
∫S e
dS = rSdt + σSdz sous Q
=
∫S e
( r − 12 σ 2 )T +σzT
0
zT ≥ − T d 2
∫S e
0
zT ≥ − T d 2
( r − 12 σ 2 ) T +σzT
Ré-écrivons en terme de zT. voir
calcul précédent pour le cash or
zT ≥ − T d 2
nothing
ST ≥ K <=>
dQ
qZ ( zT )dzT
où qZ ( zT ) =
1
2πT
2
e − ( zT /( 2T ))
VCashOrNothingCall ( S0 , T ) = e − rT N ( d 2 )
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Daniel HERLEMONT
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Asset || Nothing - pricing B&S (suite)
∫ S dQ
T
=
ST ≥K
=
∫S e
( r − 21 σ 2 )T +σzT
0
zT ≥ − T d 2
∫S e
rT
0
zT ≥ − T d 2
1
2πT
e
−
1
2πT
2
e − ( zT /( 2T )) dzT
( zT −σT )
2T
2
dzT
= S 0e rT Pr( zT ≥ − T d 2 )
 z − σ T − T d 2 − σT 

= S 0e rT Pr  T
≥

T
T




z
−
σ
T
T
d
+
σ
T
2

= S 0e rT Pr  T
≤

T
T


= S0 e rT N (d1 )
avec
Options Digitales - relations avec les options vanilles
gaussienne de moyenne σT
et variance T. z − σT
T
~ N(0,1)
Call Européen Vanilla = 1 AssetOrNothingCall- K CashOrNothingCall
( ST − K )+
T
e
− rT
Q
E [( ST − K ) ]
-
ST 1{ST ≥ K }
=
+
e
=
− rT
=
Q
E [ ST 1{ST ≥ K } ]
S0 N ( d1 )
K1{ST ≥ K }
-
Ke− rT E Q [ 1{ST ≥ K } ]
-
Ke− rt N ( d 2 )
par symétrie
d1 = d 2 + σ T =
d1 =
ln( S0 K ) + ( r + 12 σ 2 )T
σ T
ln( S 0 / K ) + ( r + 12 σ 2 )( T )
d 2 = d1 − σ
σ T
T
Les options digitales ne posent donc pas de problème d'évaluation.
En revanche, les payoffs sont discontinus, ce qui rend la couverture délicate
et très risquée
VAssetOrNothingCall ( S0 , T ) = S0 N ( d1 )
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Options digitales - grecques - risque de hedging
Options Digitales - Delta & Gamma
Exemples à reproduire en TP …
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Daniel HERLEMONT
Options Asiatiques (Asian Options)
Options Asiatiques (suite)
Payoff related to average stock price (geometric or arithmetic average)
Normally, we do not have closed form solutions for Asian options.
The exception is when the option is on a geometric average:
Average Price options pay:
max(Save – K, 0) (call), or
max(K – Save , 0) (put)
T
Geometric Average: I T = exp(
Note that under Q, S follows:
Average Strike options pay:
max(ST – Save , 0) (call), or
max(Save – ST , 0) (put)
1
ln( St )dt )
T ∫0
dS = rSdt + σSdz
or
St = S0 exp((r − 12 σ 2 )t + σzt )
T
hence
No analytic solution in general (the exception is when the option is on a
geometric average)
I T = S0 exp(
1
(( r − 12 σ 2 )t + σzt ) dt )
T ∫0
T
where
Can be valued by assuming (as an approximation) that the average stock
price is log-normally distributed and Monte Carlo Simulation
Daniel HERLEMONT
∫ ((r −
1
2
σ 2 )t + σzt ) dt
is Gaussian
0
so IT is actually log-normally distributed!
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Options Asiatiques (suite)
The geometric average IT is
Options Asiatiques (suite)
 (r − 12 σ 2 )T σ 2T 

,
e X where X ~ N 
2
3 

You may check that this is the same as if It follows
the geometric Brownian Motion: dI = 12 ( r − 16 σ 2 ) Idt + 1 σIdz
3
in a risk neutral world.
= ( r − ( 1 (r + 1 σ 2 ))) Idt + 1
2
6
3
The majority of Asian options involve arithmetic means:
T
IT =
σIdz
In this case, IT, is not log-normally distributed, and hence we cannot
fit it into the Black-Scholes formula framework.
+
Therefore, to price an average price call whose payoff is: ( I T − K )
we just need to compute:
e − rT E Q [( I T − K ) + ]
where dI = (r − ( 12 (r + 16 σ 2 ))) Idt +
1
3
1
St dt
T ∫0
However, it is common to compute the first two moments of IT and
assume that its distribution is log-normal with the same first two
moments.
σIdz
In this case, the Black-Scholes formula provides a quick and closed form
approximation to the true price.
Which just looks like Black-Scholes on an asset paying a continuous
dividend of q = 12 (r + 16 σ 2 ) and with volatility of 13 σ
This is sometimes referred to as the method of moments in pricing.
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Daniel HERLEMONT
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Daniel HERLEMONT
Basket Options
Options Barrières
x
A basket option is an option to buy or sell a portfolio of
assets
Barrier options are like normal European options, except that they are
either activated, or become worthless when the underlying asset hits
a pre-specified barrier.
This can be valued by calculating the first two moments
of the value of the basket and then assuming it is
lognormal
The basic types are:
Knock-outs: The option is worthless if it hits the barrier.
Knock-ins: The option is worthless until it hits the barrier.
Knock-in + Knock-out = Vanilla
Also, the barrier can be hit on the way down (down-and-out, down-and-in)
or it can be hit on the way up (up-and-out, up-and-in).
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Daniel HERLEMONT
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Daniel HERLEMONT
Lookback Options
American Digitals
$1
max
time 0
K
time 0
time T
Lookback options depend on the maximum or minimum price achieved
during the life of the option.
A European lookback call option pays off:
American digital options payoff $1 the moment the strike price is hit.
ST − min St
price = E[e − rτ ]
0 ≤t ≤T
A European lookback put option pays off:
max S t − ST
where τ represent the first hitting time of the strike price K.
0 ≤t ≤T
To price these, we need to be able to compute the statistics of the maximum
and minimum...
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time T
To evaluate this, we need to know the statistics of the hitting time...
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American Digital
Distributions associées
Les distributions utiles pour les options barrières, lookback et digitales (américaines) sont relatives
aux temps de passage, lois du maximum et du minimum
B
date 0
τ
T
Probabilité que le maximum soit ≥ B entre les dates 0 et T
=
Probabilité de toucher la barrière avant la date T
(le temps τ est appelé le premier temps de passage (First Hitting Time)
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Daniel HERLEMONT
Principe de réflexion
Soit
zt
Notons
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Temps de passage (First Hitting Time)
un brownien
temps pour atteindre un niveau donné x:
zˆT = max zt
Brownien sans drift : en application du principe de réflexion
2B-C
0 ≤ t ≤T
x
B
densité du temps de passage
C
date 0
date T
pour C < B, calculons la loi jointe du maximum et de la valeur terminale
∞
P (zˆT ≥ B ; zT ≥ C ) = P ( zˆT ≥ B; zT ≥ 2 B − C ) = P ( zT ≥ 2 B − C ) =
∫
2 B −C
2B-C étant > B
2
1 − 2zT
e dz
2πT
Mais le temps le plus fréquent
ne dépend que de la volatilité et la barrière
Exemple: un stop à -3% avec une volatilité de 32% (0.02/jour) temps typique = 0.032/3* 0.022= 0.75 d ’une journée de
trading, soit 6 heures … Trailing stop à temps constant T est proportionnel à σ : TrailingStop ≈ 1.73 T σ
Puis par différentiation par rapport à C:
P (zˆT ≥ B; C < zT ≤ C + dC ) =
1
e
2πT
( 2 B −C ) 2
−
2T
Le temps typique de passage peut être vu comme l ’horizon optimal d ’investissement étant donné un objectif
dC
Pour brownien avec drift, on montre que
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Daniel HERLEMONT
Daniel HERLEMONT
Méthode d'évaluation numériques
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Méthode de Monte Carlo
Méthode de Monte Carlo
en quelques mots:
On génère des chemins de manière aléatoires
Pour chaque chemin, on calcule la valeur de l'option
On effectue la moyenne
Voir présentation nspécifique sur la Méthode de Monte Carlo
Ne fonctionne que pour les options européennes
Méthode Binomiale
en quelques mots
On découpe la durée jusqu'à échéance en n sous périodes à deux états
(voire 3) par période => arbre
Le prix de l'option est calculé de proche en proche, en commençant par les
noeds terminaux de l'arbre, …
Bien adapté pour les options américaines
Méthodes numériques : solution de facilité, mais consommatrice en
temps de calcul.
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Simulation de variables aléatoires lognormales
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Monte Carlo - option vanille - programme C++
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Monte Carlo - option vanille - programme C++ (suite)
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Monte Carlo - Grecques
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Daniel HERLEMONT
Monte Carlo - Delta - programme C++
Monte Carlo - Généralisation à des payoffs arbitraires
Options Digitales
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Monte Carlo - payoffs arbitraires - programme C++
Monte Carlo - options européennes - path dependent payoffs
La fonction payoff prend maintenant un vecteur en paramètre représentant le chemin de l'actif
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Génération d'un chemin lognormal
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Monte Carlo - path dependent payoffs - exemples
Options Asiatiques
Options lookback
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Méthode binomiale
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Méthode binomiale (suite)
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Méthode binomiale - C++
Méthode binomiale - options américaines - exemple
E
A
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Méthode binomiale - options américaines - méthode générale
G
Méthode Binomiale - call américain - en C++
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Méthode binomiale - code R
Références
John Hull, "Options, Futures, and Other Derivative Securities",
5th Ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
Existe aussi en version Française: "Options, futures et autres actifs
dérivés" Editions Pearson Education, 2004
La Référence !
Haug, "The complete guide to option pricing formulas ", 1997
De nombreux exemples sont tirés de ce livre (qui comprend aussi des
feuilles excel et VBA prêtes à l'emploi …)
Peter Zhang , "Exotic Options: A Guide to the Second Generations
Options", 1998
(Nassim Taleb, "Dynamic Hedging", Wiley, 1996)
B. A. Odegaard « Financial Numerical Recipes in C++ », 2004.
http://finance.bi.no/~bernt/gcc_prog/recipes
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