lim

Lycée Georges Pompidou
TS
Devoir Commun 2
samedi 22 novembre 2014
Partie B
On considère l’algorithme suivant : la fonction g est celle définie dans la partie A
Initialisation :
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées.
Traitement :
Nom : …………………....
Sortie :
Exercice 1 : (3 points)
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est
vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte un
point.
1) Soit f la fonction définie par : = ² + 3 − Affirmation 1 :
lim = √3
→
+ 1 < 1
2) On considère la fonction définie surℝpar f(x) = ≥ 1
Affirmation 2 : est continue sur ℝ
3)
Affirmation 3 :
lim
x → 3+
x² − 6x + 8
= +∞
3−x
Exercice 2 : (7 points)
Partie A
Soit la fonction g définie sur ℝ par :
3
g(x) = x + 16x + 3.
1°) a) Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
b) Étudier le sens de variation de g sur ℝ et dresser son tableau de variation
complet.
2°) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet deux solutions α et β (avec α < β)
dansℝ dont on donnera, des valeurs approchées à 10-2 près.
3°) En déduire le signe de g(x) en fonction de x.
Tant que b −a > 10−1
Affecter à m la valeur a +b
2
Si g()g(m)> 0, affecter à a la valeur de m.
Sinon, affecter à b la valeur m.
Afficher a
Afficher b.
a. Compléter ( en ne remplissant que le nombre de ligne nécessaire) le
tableau ci-dessous donnant les différentes étapes.
a
b
m
Signe de
b−a
g(m)×g(a)
initialisation
1
−16
−15
Etape 1
Etape 2
Etape …..
b. Cet algorithme détermine un encadrement à 10−1 près de la solution α de
l’équation ! = 0 sur l’intervalle [−16;−15].
Insérer dans l’algorithme de la photocopie les instructions qui permettent de
déterminer encadrement à 10−N avec N∈ ℕ près de la solution α de l’équation
! = 0 sur l’intervalle [−16;−15].
Partie C
4
Affecter à a la valeur −16
Affecter à b la valeur −15.
Soit la fonction f définie sur ℝ\{−4} par :
& '(
= )*
1°) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
+
2°) Montrer que, sur ℝ\{−4}, montrer que f ’(x) = )&
3°) En déduire les variations de f et dresser son tableau de variation complet.
4°) Proposer une fenêtre (xmin , xmax , ymin , ymax) à paramétrer sur une
calculatrice graphique pour visualiser correctement la courbe représentative de f.
(le tracé n’est pas demandé)
Exercice 3 : (5 points)
Exercice 4 : (6 points)
Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique
équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.
On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne
est 0,3.
Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0,8.
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d’être
choisis.
Pour tout entier naturel , non nul, on considère l’évènement :
— Tn : « le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage. »
— Pn : « le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage. »
On considère alors la suite (-. ) définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par :
-. = /(Tn) où /(Tn) est la probabilité de l’évènement Tn
1. a. Donner les valeurs des probabilités /0( , /2( et des probabilités
conditionnelles /34 0 et /54 0 (
b. Montrer que /0 = )
c. Recopier et compléter l’arbre suivant :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions :
chacune comporte quatre réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie
uniquement la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est
demandée. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève
0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte ni ne rajoute aucun point. En cas de
total de point négatif, la note de l’exercice est ramenée à zéro.
Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de
biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.
40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains de
biographies sont français. Le lecteur choisit au hasard un livre parmi les 200
ouvrages.
1. la probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
(
:9
a. 0,4
b. 0,75
c.
d.
(:9
99
2. le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit
français est :
a. 0,3
b. 0,8
c. 30%
d. 0,4
3. la probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :
a. 1,15
b. 40%
c. 0,3
d. 12,5%
d. Démontrer que pour tout entier , ≥ 1, -.( =0,1-. + 0,2.
e. À l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la
suite (-. .
2. On considère la suite (7. ) définie pour tout entier naturel , ≥ 1 par :
7. = -. −
8
(
.
(9
a. Démontrer que la suite (7. ) est géométrique de raison
Préciser son
premier terme.
b. Exprimer 7. en fonction de ,. En déduire l’expression de -. en fonction
de ,.
c. Calculer la limite de la suite (-. ). Ce résultat permet-il de valider la conjecture
émise en 1. e. ?
4. la probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :
a. 0,9
b. 0,7
c. 0,475
d. 0,525
5. la probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que
l’écrivain est français est :
)
(
b. 40%
c. (8
d. 0,3
a. (:9
6. le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu’il ait choisi au
moins un roman policier est :
a. 1 – (0,25)20
b. 20×0,75
c. 1 – (0,75)20
d. 0,75×(0,25)20