cdm140 - Trigonométrie v2

Trigonométrie
I Cosinus d’un angle aigu
1) Définition
Dans le triangle ABC rectangle en C ci-dessus, on a:
2) Propriété
Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1. Ce nombre n’a pas
d’unité.
3) Utilisation de la calculatrice
● Avant de démarrer, vérifier que la calculatrice est en mode DEGRE (« D »
ou « Deg » apparaît à l’écran).
● Pour calculer le cosinus d’un angle aigu, on utilise la touche
Exemple : Calculer cos 57°.
Séquence machine :
Affichage : 0.544639035
On note : cos 57° ≈ 0,544.
Remarque: Si les valeurs du cosinus ne sont pas exactes, elles seront tronquées au
millième.
140
● Pour calculer un angle connaissant son cosinus, on utilise dans l’ordre les
touches « Seconde » ou « shift » et
Exemple:
Calculer une valeur approchée de l’angle  tel que cos  = 0,726
Séquence machine :
Affichage: 43.44790027
On note: Â ≈ 43° (arrondi au degré près)
4) Applications
a) Calcul d’un angle
Calculer le cosinus de l’angle
degré près de l’angle .
et en déduire une mesure au
=
Dans le triangle RTS rectangle en S : cos
RS
donc
RT
≈55°
b) Calcul de la longueur d’un côté adjacent
Calculer la longueur NP arrondie au millimètre.
Dans le triangle PNM rectangle en P : cos
=
NP
ce qui
NM
NP
revient à cos 27° = 12
Donc: NP = 12× cos 27° ≈ 10,7 cm
c) Calcul de la longueur de l’hypoténuse
On veut calculer la longueur FG arrondie au
millimètre.
EF
Dans le triangle GEF rectangle en E : cos = GF
ce qui revient à cos 75° =
3
GF
3
Donc: GF = cos 75° ≈ 11,6 cm
141
II Sinus d’un angle aigu
1) Définition
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a:
2) Propriété
Le sinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1. Ce nombre n’a pas
d’unité.
3) Utilisation de la calculatrice
La méthode est la même que pour le cosinus. Il suffit de remplacer la touche
par la touche
.
4) Applications
a) Calcul d’un angle
Calculer le sinus de l’angle Î et en déduire une mesure au
degré près de l’angle Î.
JK
Dans le triangle IJK rectangle en K : sin Î = JI
ce qui revient à sin Î =
5
≈ 0,455
11
Donc Î ≈ 27°
142
b) Calcul de la longueur d’un côté opposé
Calculer la longueur AB arrondie au millimètre.
Dans le triangle ABC rectangle en A : sin
ce qui revient à sin 48° =
=
BA
BC
BA
7
Donc: BA = 7×sin 48° ≈ 5,2 cm
c) Calcul de la longueur de l’hypoténuse
Calculer la longueur XZ arrondie au millimètre.
Dans le triangle XYZ rectangle en Y : sin
ce qui revient à sin 71° =
Donc : XZ =
=
YZ
XZ
3
XZ
3
≈ 3,2cm
sin 71°
III Tangente d’un angle aigu
1) Définition
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a:
2) Propriété
La tangente d’un angle aigu est toujours positive. Ce nombre n’a pas d’unité.
143
3) Utilisation de la calculatrice
La méthode est la même que pour le cosinus. Il suffit de remplacer la touche
par la touche
.
4) Applications
a) Calcul d’un angle
Calculer la tangente de l’angle
et en déduire une mesure
au degré près de l’angle .
Dans le triangle DEF rectangle en E : tan
ce qui revient à tan
Donc :
=
=
EF
ED
8
≈ 1,778
4,5
≈ 61°
b) Calcul de la longueur d’un côté opposé
Calculer la longueur GI arrondie au millimètre.
Dans le triangle GHI rectangle en I : tan
ce qui revient à : tan 38° =
=
GI
10
Donc : GI = 10× tan 38° ≈ 7,8 cm
144
GI
HI
c) Calcul de la longueur du côté adjacent
Calculer la longueur MN arrondie au millimètre.
MP
Dans le triangle MNP rectangle en M : tan N = MN
6
ce qui revient à tan 82° = MN
Donc : MN =
6
≈ 0,8cm
tan 82°
IV Relations entre cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
Propriété n°1: Pour tout angle aigu « x », on a : cos2 x + sin2 x = 1
Remarque : cos2 x = (cos x)2 et sin2 x = (sin x)2
Propriété 2: Pour tout angle aigu « x », on a : tan x =
sin x
cos x
Application: Soit x un angle aigu tel que cos x = 0,8
1) Calculer sin x
2) Calculer tan x
1) Comme x est un angle aigu alors: cos2 x + sin2 x = 1
0,82 + sin2 x = 1
0,64 + sin2 x = 1
sin2 x = 1 – 0,64
sin2 x = 0,36
sin x = 0, 36
sin x = 0,6
2) x est un angle aigu, on a donc: tan x =
145
sin x 0, 6
=
= 0, 75
cos x 0,8