Trigonométrie CAH SOH TOA*

Trigonométrie
I. Rappels : les relations dans un triangle rectangle
a) entre les angles aigus
La somme des angles d’un triangle est de 180°.
Donc la somme des deux angles aigus d’un triangle rectangle
est de 90° (ce sont des angles complémentaires)
C
A + C = 90°
B
b) entre les côtés
le théorème de Pythagore :
Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.
AC2 = AB2 + BC2
A
II. Vocabulaire
Côté Opposé
Hypoténuse
angle
Côté Adjacent
III. Rapports trigonométriques
Dès l’antiquité, on a cherché des relations liant les angles et les côtés.
Ce sont les rapports trigonométriques :
Dans un triangle rectangle
Cos (angle) =
Côté Adjacent
Hypoténuse
Sin (angle) =
Côté
Opposé
Hypoténuse
Tan (angle) =
Côté Opposé
Côté Adjacent
Pour mémoriser :
M. Trigo te dit :
CAH SOH TOA*
* Casse-toi !
Attention : Pour effectuer les calculs, vérifier que votre calculatrice est en mode degré.
E
Exemples :
1°) Le triangle DEF est rectangle en D.
DF
On a cos DFE =
EF
x
8
Donc cos 30 = x
30°
Produit en croix :
x × cos30 = 8 donc x =
8
≈ 9,2 cm
cos30
F
8 cm
D
L
2°) Le triangle CLE est rectangle en E.
CE
On a sin CLE =
CL
x
Donc sin 35 =
10
35°
Produit en croix :
10 cm
E
x = 10 × sin 35 ≈ 5,7 cm
x
C
3°) Le triangle HIC est rectangle en I
HI
On a tan HCI =
IC
5
Donc tan x =
12
5
Donc x = tan–1   ≈ 22,6°
12
H
5 cm
x
C
12 cm
I
IV. Deux relations fondamentales de la trigonométrie
ABC est un triangle rectangle en A
C
(cos B)2 +(sin B)2 = 1
tan B =
sin B
B
cos B
A
ème
En 3
, les rapports sinus, cosinus et tangente sont présentés comme des rapports de
longueurs. Donc cos B, sin B et tan B sont des nombres positifs.
Application : Soit α un angle aigu tel que cos α = 0,6. Calculer sin α et tan α.
Comme cos2α + sin2α = 1, on a (0,6)2 + sin2α = 1
0,36 + sin2α = 1
sin2α = 1 – 0,36 = 0,64
Comme sin α est positif, on obtient sin α =
sin α 0,8 4
=
=
Maintenant, on utilise la relation : tan α =
cos α 0,6 3
0,64 = 0,8