Lycée Technique de Taza CPGE de Taza FILIÈRE MP DEVOIR

Lycée Technique de Taza
FILIÈRE MP
CPGE de Taza
DEVOIR LIBRE
?
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0
n= 15
?
les intégrales de Fresnel
Dans ce problème, on se propose de calculer les intégrales de Fresnel (1788-1827) :
Z +∞
Z +∞
2
sin(t2 )dt
cos(t )dt et S =
C=
0
0
+∞
Z
Par commodité, on considérera aussi l’intégrale E = C + iS définie par : C =
Z +∞
√
On rappelle enfin la valeur de l’intégrale suivante :
exp(−t2 )dt = π
exp(it2 )dt
0
−∞
1. Existence de l’intégrale de Fresnel
(a) On considère l’application continue définie de R∗ dans C par :
f (x) =
exp(ix2 ) − 1
x2
Etablir que f se prolonge par continuité en 0 par une valeur qu’on précisera.
(b) A l’aide d’une intégration par parties, déterminer un nombre complexe λ tel qu’on ait :
x
Z
∀x > 0,
0
1 − exp(ix2 )
exp(it2 ) − 1
dt
=
+λ
x
t2
x
Z
exp(it2 )dt
0
(c) En déduire l’existence de l’intégrale E, donc des intégrales C et S.
2. Calcul de l’intégrale de Fresnel à l’aide d’une fonction auxiliaire
(a) Etablir l’inégalité suivante pour tout x ∈ R et tout t ∈ R :
exp(−x2 (t2 − i)) 1
≤ √
4
t2 − i
t +1
En déduire que la fonction suivante est définie sur l’ensemble R :
Z
F(x) =
+∞
−∞
exp(−x2 (t2 − i))
dt
t2 − i
(b) Etablir que F est continue sur R .
(c) Etablir l’inégalité suivante pour tout x > 0 , et en déduire les limites de F en ±∞ :
Z
+∞
√
exp(−x t )dt =
2 2
|F(x)| ≤
−∞
1
π
x
M.El KATI
Lycée Technique de Taza
(d) On considère un segment [a, b] inclus dans ]0, +∞[ (0 < a < b < +∞).
Etablir que F est de classe C1 sur [a, b] (on citera avec précision le théorème utilisé).
En déduire que F est de classe C1 sur R∗ et préciser une expression de F0 (x).
Z
0
(e) En déduire une expression de F (x) sans symbole
, puis prouver que :
∀x > 0,
√
Z
x
F(0) − F(x) = 2 π
exp(it2 )dt
0
Déterminer alors la valeur des trois intégrales de Fresnel E , C, S en admettant que F(0) , qui
est l’intégrale d’une fonction rationnelle facile à calculer, est égale à :
Z
F(0) =
+∞
−∞
√
(1 + i) π
1
dt =
√
t2 − i
2
3. Calcul de l’intégrale de Fresnel à l’aide d’une intégrale curviligne On considère dans le plan les
√
trois points O , A , B d’affixes 0 , R 2 , (1 + i)R où R > 0, et la forme différentielle ω = Pdx + Qdy
définie sur le plan par :
ω(x, y) = exp(−(x + iy)2 )dx + iexp(−(x + iy)2 ) + idy
(a) Etablir que la forme différentielle ω est exacte.
(b) En déduire la valeur de l’intégrale curviligne de ω sur l’arc fermé formé du segment OA, de
l’arc AB du cercle de centre O et de rayon OA, et du segment BO.
(c) Exprimer sous forme d’intégrales (qu’on ne cherchera pas à calculer) :
- l’intégrale curviligne I1 (R) de wω sur le segment OA. On pourra paramétrer ce segment OA
√
par t −→ t où t varie de 0 à R 2.
- l’intégrale curviligne I2 (R) de ω sur l’arc AB du cercle de centre O et de rayon OA. On pourra
√
paramétrer cet arc AB par t −→ R 2(cos(t) + isin(t)) où t varie de 0 à π4 .
- l’intégrale curviligne I3 (R) de ω sur le segment BO. On pourra paramétrer ce segment BO par
t −→ (1 + i)t où t varie de R à 0.
(d) Déterminer lorsque R vers +∞ :
- la limite de l’intégrale I1 (R).
- la limite de l’intégrale I2 (R) (on rappelle que cos(t) ≥ 1 −
2t
π
pour 0 ≤ t ≤ π2 ).
- la limite de l’intégrale I3 (R) , qu’on exprimera à l’aide de E (conjuguée de l’intégrale E).
4. En déduire à nouveau la valeur des intégrales de Fresnel E , C et S.
???
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2
M.El KATI