Géométrie différentielle

Transcription

Sébastien Thibaud
Géométrie différentielle
Institut Universitaire de Technologie de Besançon-Vesoul
Table des matières
I
Courbes planes paramétriques
1
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Représentation d’un point dans un plan . . . . . . . . . . . . . . .
2
Les courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Réduction du domaine d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Étude des courbes paramétriques au voisinage d’un point (étude locale)
3.1
Formule de Taylor-Young étendue aux fonctions vectorielles . . .
3.2
Etudes locales des points stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Études des asymptotes et des branches infinies . . . . . . . . . . .
3.4
Point double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Guide pour l’étude des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
3
3
4
5
5
6
8
8
9
II Les intégrales curvilignes
1
Intégrale curviligne de première espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Longueur d’un élément de courbe défini par une courbe paramétrique . .
1.2
Cas particulier des équations cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Longueur d’un arc de courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Intégrale curviligne de seconde espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Notion de champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Travail infinitésimal d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Intégrale d’une forme différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Définition de l’intégrale curviligne d’une forme différentielle . . . . . . . .
2.5
Propriétés des intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Forme différentielle exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Théorème fondamental : Intégrale d’une forme différentielle exacte . . . .
2.8
Conséquence du théorème fondamental : Forme exacte et courbe fermée
2.9
Facteur intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
11
12
12
13
13
13
14
14
15
15
16
17
17
III Intégrales multiples
1
Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Système de coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Système de coordonnées dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Rappel sur le calcul intégral et la notion d’aire . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Pavé et domaine quarrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Définition de l’intégrale double d’une fonction continue . . . . . . . . .
2.4
Intégrales itérées et théorème de Fubini pour un domaine rectangulaire
2.5
Intégrales doubles sur des domaines quelconques . . . . . . . . . . . . .
2.6
Changement de variables, transformations et Jacobien . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
19
20
21
21
21
22
24
26
28
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Table des matières
3
2
2.7
Intégrales doubles et curvilignes - Théorème de Green . . . . . . . . . . . . .
Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Domaine cubable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Définition de l’intégrale triple d’une fonction continue . . . . . . . . . . . .
3.3
Intégrale itérée et théorème de Fubini pour un domaine parallélépipédique
3.4
Théorème de Fubini un domaine général Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Transformations et Jacobien pour les intégrales triples . . . . . . . . . . . . .
IV Notions d’analyse vectorielle
1
Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Notions de champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Opérateur Nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Champ de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Définition du gradient d’une fonction scalaire . . . . . . . . . . . .
2.3
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Intégrale curviligne d’un champ de gradient le long d’une courbe
2.5
Gradient et opérateur Nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Règles de calculs du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Rotationnel d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Rotationnel d’un champ de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Règles de calculs avec l’opérateur rotationnel . . . . . . . . . . . .
3.3
Le théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Divergence d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Rotationnel et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Règles de calculs avec l’opérateur divergence . . . . . . . . . . . .
4.3
Divergence et Théorème de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Théorème de Flux divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Laplacien d’une fonction scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Règles de calculs avec l’opérateur Laplacien . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
33
33
33
35
36
38
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
41
42
42
42
43
43
43
44
44
45
45
45
46
46
47
47
47
48
48
48
Chapitre I
Courbes planes paramétriques
1 Rappels
Précédemment, on a présenté l’étude d’une fonction numérique f d’une ou plusieurs variables de la
forme f (x) ou f (x 1 , x 2 , ..., x n ). Il existe cependant d’autres moyens de représenter une courbe. Dans ce
qui suit, on présentera une autre méthode , très utilisée en physique, basée sur la cinématique du point
et appelée représentation paramétrique.
1.1 Représentation d’un point dans un plan
La position d’un point M dans le plan R2 = R×R est fixée dans un repère rectangulaire (orthogonalité
des axes) noté (O,~
i,~
j ) où le point O définit l’origine des coordonnées alors que ~
i et ~
j représentent les
−−→
vecteurs directeurs unitaires des axes. On peut alors définir le vecteur position OM dans ce repère, à
¡
¢
partir des coordonnées cartésiennes du point M = x, y par la relation vectorielle suivante
−−→
OM = x~
i + y~
j
(I.1)
2 Les courbes paramétrées
2.1 Définition
Soit D un intervalle ou une réunion d’intervalles de R ainsi que f et g , deux fonctions définies sur
¡
¢
D ⊂ R. L’ensemble des points images M(t ) de l’application t 7→ f (t ), g (t ) de D ⊂ R×R définit une courbe
paramétrée dans le plan.
¡
¢
Les points de coordonnées x(t ), y(t ) d’une courbe plane peuvent être définis par les équations paramétriques suivantes :
µ
¶
−−→
x = f (t )
OM =
t ∈D ⊂R
(I.2)
y = g (t )
La variable indépendante t est appelé paramètre. la notation t est souvent utilisé car en physique, la
signification physique de ce paramètre est associée au temps. Dans ce dernier cas, on associe l’étude des
arcs paramétrés à la cinématique d’un point, i.e. à un point en mouvement. L’équation paramétrique
est associée à la position d’un point sur une courbe appelée trajectoire. M(t ) donne donc la position du
point M à l’instant t .
Il peut exister plusieurs paramétrages d’une courbe mais aussi d’orientation. Cette dernière notion décrit
ainsi le sens de parcours de la courbe. La courbe est dite orientée.
3
Chapitre I. Courbes planes paramétriques
4
2.1.1. Propriétés
Si l’application t 7→ M(t ) est de classe Ck , la courbe paramétrée est aussi de classe Ck .
Dans le cas où il est possible d’éliminer le paramètre entre les deux relations paramétriques et ainsi
exprimer y en fonction de x, on dit que la forme est résolue. Dans ce cas, il est alors possible d’utiliser
les outils d’études des fonctions d’une variable réelle présentés précédemment.
Exemple : Soit la forme paramétrique suivante
µ
¶
−−→
x = at
OM =
t ∈R
(I.3)
y = at + b
En remplaçant l’expression de la première équation dans la seconde, on obtient aisément
y = x +b
(I.4)
Ce qui est l’équation d’une droite. C’est donc une forme résolue.
Contre-exemple : Soit la forme paramétrique suivante (R > 0)
µ
¶
−−→
x = R cos t
OM =
t ∈R
y = R sin t
(I.5)
Par utilisation de la relation cos2 t + sin2 t = 1, on obtient rapidement l’expression de l’équation d’une
conique (cercle centré à l’origine et de rayon R) définie par l’équation cartésienne x 2 + y 2 = R2 . Or pour
une valeur de x donnée, on peut associer deux valeurs de y, ce qui ne correspond pas à la définition
d’une fonction (voir cours sur les fonctions réelles). Il s’agit néanmoins d’une forme résolue puisque le
paramètre t n’apparaît plus.
2.1.2. Arc paramétré
Dans le cas où le domaine D est borné, i.e. D = [a, b] avec (a, b) ∈ R2 , on dit que la courbe paramétrée est
un arc paramétré d’origine M(a) et d’extrémité M(b). De plus si M(a) = M(b), l’arc est dit fermé.
2.2 Réduction du domaine d’étude
Pour étudier une courbe paramétrée, on tente de réduire au maximum le domaine de définition. Pour
cela, il est possible d’étudier les symétries et périodes éventuelles.
2.2.1. Recherche des symétries et translations
On recherche les différents cas de symétries et de translations, en effectuant un changement de variables
de la forme t → g (t ) ∈ D. Dans le tableau suivant, on donne les différents cas possibles de symétries et
de translations associés.
x(g (t )) = x(t ) + a
y(g (t )) = y(t ) + b
½
x(g (t )) = −x(t )
y(g (t )) = y(t )
½
x(g (t )) = x(t )
y(g (t )) = −y(t )
½
x(g (t )) = −x(t )
y(g (t )) = −y(t )
½
x(g (t )) = y(t )
y(g (t )) = x(t )
½
Translation de la courbe de vecteur a~
i +b
³
´
Symétrie par rapport à l’axe O, ~
j
³
´
Symétrie par rapport à l’axe O,~
i
Symétrie centrale de centre O
Symétrie par rapport à la première bissectrice
3. Étude des courbes paramétriques au voisinage d’un point (étude locale)
5
En pratique, on fait les changements de variables suivants pour déterminer le domaine d’étude D le plus
simple possible
g (t ) = −t pour t ∈] − a, a[
D ∈ [0, a[
g (t ) = a + b − t pour t ∈ [a, b]
·
·
a +b
D ∈ a,
2
g (t ) =
1
pour t ∈]0, +∞[
t
D ∈]0, 1]
2.2.2. Périodicité
Si les fonctions paramétriques f (t ) et g (t ) sont des fonctions périodiques respectivement de période T f
−−−−→
−→ de la fonction vectorielle OM(t ) admet la plus petite période telle que
et Tg alors la période T−
OM
−→ = nT f + mTg
T−
OM
(n, m) ∈ N2
Le domaine d’étude de la fonction peut alors être réduit à D ∈ [0, T].
Exemple : Soit la courbe paramétrique définie par
!
Ã
f (t ) = sin t
−−→
t
t ∈R
OM =
g (t ) = cos
6
(I.6)
(I.7)
La première équation paramétrique est de période T f = 2π alors que la seconde est de période Tg = 6π.
L’étude sera donc réalisée en limitant le domaine à [0, 6π].
3 Étude des courbes paramétriques au voisinage d’un point (étude locale)
3.1 Formule de Taylor-Young étendue aux fonctions vectorielles
Dans le cas de l’étude locale des fonctions numériques à variable réelle, on a présenté un outil adapté :
les développements limités (voir cours sur les développements limités). On a pour cela introduit la formule de Taylor-Young permettant de calculer ces développements limités. On admettra dans la suite,
−−→
que celle-ci s’étend aux fonctions vectorielles, et qu’elle peut s’écrire, si F(t ) représente une fonction
vectorielle au voisinage de h = t − t 0 :
−−−→
−−−→
−−−→
d F(t 0 ) h 2 d 2 F(t 0 )
h n d n F(t 0 )
−−→ −−−→
−−−−−−→
F(t ) = F(t 0 ) + h
+
+
...
+
+ h n ε (t − t 0 )
2
n
dt
2! d t
n! d t
(I.8)
−−−−−−→
Avec lim ε (t − t 0 ) =~0. Ce développement sera utilisé par la suite pour étudier le comportement des fonct →t 0
tions paramétriques au voisinage de points particuliers : les points stationnaires.
3.1.1. Détermination de l’équation de la tangente au point M0 (x 0 , y 0 )
On désire déterminer l’équation de la tangente au voisinage d’un point M0 (x(t 0 ), y(t 0 )) = M0 (x 0 , y 0 ). Si
les équations paramétriques sont suffisamment dérivables, la tangente au point M0 est la droite passant
par M0 et de même direction que le vecteur dérivé de plus petit ordre non nul en t 0 .
Dans le cas où les dérivées premières des équations paramétriques sont non nulles en M0 (x 0 , y 0 ), alors
l’équation cartésienne de la tangente en ce point est donnée par :
x − x0 y − y 0
=
d x0
d y0
dt
dt
(I.9)
6
3.1.2. Détermination de l’équation de la normale au point M0 (x 0 , y 0 )
On appelle normale en M0 (x 0 , y 0 ), la droite perpendiculaire à la tangente en ce point et passant par
M0 (x 0 , y 0 ). Dans le cas où les dérivées premières des équations paramétriques sont non nulles en M0 (x 0 , y 0 ),
alors l’équation paramétrique de la normale est donnée par :
(x − x 0 )
¢ d y0
d x0 ¡
+ y − y0
=0
dt
dt
(I.10)
3.2 Etudes locales des points stationnaires
Un point M(t 1 )est dit régulier si la dérivée première des équations paramétriques est non nulle en ce
point. Dans le cas contraire le point est dit stationnaire. Le mot st at i onnai r e est très bien décrit lorsque
→
−
l’on se place du point de vue cinématique. La dérivée première du vecteur position F est associée au
vecteur vitesse. Or si ce dernier est nul au point M(t 1 ), le point ne se déplace plus, il est donc stationnaire.
Soit p ∈ N le plus petit possible tel que la dérivée d’ordre p soit non nulle, i.e.
−−−→
d p F(t 0 )
6=~0
dtp
(I.11)
Et soit q ∈ N, tel que q > p, le plus possible tel que la dérivée d’ordre q soit non colinéaire à la dérivée
d’ordre p, i.e.
−−−→
−−−→
d p F(t 0 )
d q F(t 0 )
6= k
k ∈R
(I.12)
dtq
dtp
On peut définir en fonction de la parité (respectivement imparité) de p et q, le type des points stationnaires.
1. Cas n°1 : On appelle point ordinaire, le cas où p est impair et q est pair. Il n’y a pas de particularité
au point M(t 1 ).
2. Cas n°2 : On appelle point d’inflexion, le cas où p et q son impairs. Géométriquement, on dit
que la courbe traverse sa tangente au point M(t 1 ). Du point de vue mathématique, il indique un
changement de la concavité au passage du point M(t 1 ) (voir cours sur les fonctions numériques à
variable réelle).
3. Cas n°3 : On appelle point de rebroussement de première espèce, le cas où p pair et q impair. Géométriquement la notion de rebroussement est assez simple à comprendre, lorsque l’on dépasse le
point M(t 1 ), on tend à rebrousser chemin (revenir en arrière). Dans le cas des points de rebroussement de première espèce, on rebrousse chemin tout en traversant la tangente. On change donc de
concavité (p pair et q impair).
4. Cas n°4 : On appelle point de rebroussement de seconde espèce, le cas où p pair et q pair. La
différence avec le cas précédent, est associé au fait que l’on ne traverse pas la tangente en M(t 1 )
(on reste du même côté de celle-ci) lorsque l’on rebrousse chemin. On ne change donc pas de
concavité puisque p et q sont tous les deux pairs.
On donne dans le tableau suivant, les représentations graphiques des 4 cas de points stationnaires.
3. Étude des courbes paramétriques au voisinage d’un point (étude locale)
t < t1
7
t < t1
T
T
t > t1
b
b
M(t 1 )
M(t 1 )
t > t1
Point ordinaire
Point d’inflexion
p impair - q pair
p impair - q impair
t < t1
t > t1
b
t < t1
t > t1
b
M(t 1 )
M(t 1 )
Point de rebroussement de 1ère espèce
p pair - q impair
Point de rebroussement de 2nd espèce
p pair - q pair
Exemple : Définir le comportement de la fonction suivante au voisinage de t = 0
−−→
F(t ) =
µ
x(t ) = t 2
y(t ) = t 2 − t 3
¶
t ∈R
(I.13)
On peut étudier cette fonction au voisinage de t = 0 en utilisant la formule de Taylor-Young, soit
−−→
−−→
−−→
d F(0) t 2 d 2 F(0)
t n d n F(0)
−−→ −−→
−−→
F(t ) = F(0) + t
+
+ ... +
+ t n ε (t )
dt
2! d t 2
n! d t n
(I.14)
−−→
Il est donc nécessaire de calculer les dérivées successives de la fonction F(t ) pour déterminer p et q. La
première dérivée vectorielle en t = 0 est donnée par
−−−→ µ
¶
d F(t )
2t
=
2t − 3t 2
dt
soit en t = 0
−−−−→ µ ¶
d F(0)
0
=
0
dt
(I.15)
Ce vecteur est nul, on doit donc calculer la dérivée seconde en t = 0, soit
−−−−→ µ
¶
d 2 F(t )
2
=
−6t
dt2
soit en t = 0
−−−−→ µ ¶
d 2 F(0)
2
=
2
0
dt
(I.16)
Ce vecteur est non nul, il vient immédiatemment que p = 2 et donc est pair. Pour déterminer q, il faut
maintenant déterminer la première dérivée d’ordre supérieure à p qui ne soit pas colinéaire au vecteur
obtenu par l’équation (I.16). La dérivée troisième est donnée par
−−−−→ µ ¶
d 3 F(t )
0
=
3
−6
dt
soit en t = 0
−−−−→ µ ¶
d 3 F(0)
0
=
3
−6
dt
(I.17)
Ce vecteur n’est pas colinéaire au vecteur associé à la dérivée seconde, il vient donc que q = 3. On en
déduit alors que p étant pair et q impair, le point M(0) est un point de rebroussement de première espèce.
8
3.3 Études des asymptotes et des branches infinies
Pour déterminer les éventuelles asymptotes et branches infinies d’une courbe paramétrique, on calcule
la limite suivante pour t 0 fini ou non :
µ
¶
x(t )
lim
(I.18)
t →t 0 y(t )
On obtient alors différents cas :
¶
x(t ) = x(t 0 )
alors x = x 0 est asymptote verticale
t →t 0 y(t ) = ±∞
µ
¶
x(t ) = ±∞
2. Si lim
alors y = y 0 est asymptote horizontale
t →t 0 y(t ) = y(t 0 )
µ
¶
y(t )
x(t ) = ±∞
3. Si lim
, On doit alors étudier lim
et trois nouveaux cas sont à envisager :
t →t 0 y(t ) = ±∞
t →t 0 x(t )
1. Si lim
µ
y(t )
= ±∞ alors la courbe admet une branche parabolique dans la direction (O, y).
x(t )
y(t )
= 0 alors la courbe admet une branche parabolique dans la direction (O, x).
⋄ Si lim
t →t 0 x(t )
y(t )
= 0 alors, il existe deux nouvelles possibilités :
⋄ Si lim
t →t 0 x(t )
⋄ Si lim
t →t 0
≻ Si lim y(t ) − ax(t ) = b 6= 0 alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à la
t →t 0
courbe.
≻ Si lim y(t )−ax(t ) = 0 alors la courbe admet une branche parabolique dans la direction y = ax
t →t 0
Exemple : Soit la courbe paramétrique définie par :
1 
−−→ 
t −1 
F(t ) = 
t2 +1
y(t ) =
t −1

x(t ) =
(I.19)
Étudions cette courbe au voisinage de t = 1, il vient immédiatement que
lim
t →1
On calcule alors la limite suivante
µ
¶
x(t ) = ±∞
y(t ) = ±∞
¡
¢
y(t )
= lim t 2 + 1 = 2
t →1 x(t )
t →1
lim
Il vient alors le calcule de la limite
¡
¢
t2 −1
lim y(t ) − 2x(t ) = lim
= lim (t + 1) = 2
t →1 t − 1
t →1
t →1
(I.20)
(I.21)
(I.22)
On en déduit que la droite d’équation y = 2 (x + 1) est asymptote oblique à la courbe C . On pourra aussi
démontrer que cette courbe admet l’axe (O, y) comme asymptote verticale au voisinage de t → ±∞.
3.4 Point double
A la différence des fonctions numériques définies par une variable, une courbe paramétrée peut voir plusieurs arcs se croiser. Ce type de lieu s’appelle point multiple. Il vient immédiatement que si une courbe
4. Guide pour l’étude des courbes paramétrées
9
présente une intersection de deux arcs en un point, ce point est appelé point double. La recherche systématique des points doubles se fait en résolvant le système suivant
(I.23)
y (t 1 ) = y (t 2 )
x (t 1 ) = x (t 2 )
Le système (I.23) exprime que pour t = t 1 et t = t 2 , on obtient le même point. Il est bien évidemment
supposer que t 1 6= t 2 . Dans la plupart des cas ce système algébrique peut paraître difficile à résoudre,
mais il est souvent simplifié car il est en principe possible de diviser ces deux équations par t 1 − t 2 . On
obtient ainsi un système symétrique, que l’on résout en prenant comme nouvelles variables t 1 t 2 et t 1 +
t 2 . Le cas des systèmes présentant des relations paramétriques de type trigonométrie peut cependant
amener des problèmes supplémentaires et des précautions seront à prendre en compte (limitation du
domaine d’études et/ou solutions infinies.
Exemple : Soit la courbe paramétrique définie par les équations suivantes

2t


 x(t ) = 2
µ t − 1¶2
t +1


 y(t ) =
t
(I.24)
On donne sur la figure suivante, la représentation graphique de cette courbe paramétrée.
7
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Il semble que cette courbe possède un point double. Pour cela, on peut écrire le problème sous la forme
t1
t 12 − 1
=
t2
t 22 − 1
et
µ
t1 + 1
t1
¶2
=
µ
t2 + 1
t2
¶2
(I.25)
Après réduction et division par t 1 − t 2 , il vient
t 1 t 2 = −1 et t 1 + t 2 = 2
(I.26)
p ¢
p
¡
Soit par résolution de ce système t 1 = 1 − 2, t 2 = 1 + 2 , soit en remplaçant dans les équations paramétriques, on retrouve x = 1 et y = 2.
4 Guide pour l’étude des courbes paramétrées
On donne ici un guide pour étudier les courbes paramétriques. Néanmoins, même si dans la majeure
partie des cas celui-ci est adapté, il est possible de simplifier cette étude. Ce n’est donc qu’un plan qui
peut être adapté en fonction de la courbe à étudier.
➊ Domaine de définition de l’arc paramétré, i.e. les lieux des points où les fonctions x(t ) et y(t )
sont définies. Détermination du domaine d’étude par recherche des symétries et de la périodicité
éventuelles.
10
➋ Calcul de la dérivée première de l’arc paramétré et études des variations conjointes des fonctions
x et y
➌ Dresser le tableau de variations conjointes des fonctions x et y
t
x(t )
y(t )
dx
dt
dy
dt
➍ Etude des points singuliers
➎ Etude des branches infinies et asymptotes
➏ Construction du graphe : On place dans l’ordre les deux axes et les vecteurs de bases. On construit
ensuite toutes les courbes asymptotes. On place ensuite les points importants donnés dans le tableau de variation ainsi que les tangentes associées (points à tangentes verticales, horizontales,
points singuliers, points d’intersection avec une droite asymptote, ...). Ensuite on trace l’arc en
suivant les règles suivantes :
– Si x croît et y croît, on se déplace vers la droite et vers le haut,
– Si x croît et y décroît, on se déplace vers la droite et vers le bas,
– Si x décroît et y croît, on se déplace vers la gauche et vers le haut,
– Si x décroît et y décroît, on se déplace vers la gauche et vers le bas.
➐ Recherche des points multiples s’il y a lieu. Il est souvent plus aisé de débuter la construction de
la courbe pour voir s’il en existe.
Chapitre II
Les intégrales curvilignes
1 Intégrale curviligne de première espèce
1.1 Longueur d’un élément de courbe défini par une courbe paramétrique
y
y +dy
y
b
dy
b
b
A
B
dx
b
x
x
x +dx
On désire calculer la longueur d’un arc paramétré entre deux point A et B, défini par les équations paramétriques suivantes :
½
−−→
x(t )
(II.1)
F(t ) =
y(t )
Une variation infinitésimale du paramètre (ici t ) noté d t impose une variation infinitésimale à x(t ) et
y(t ) notée respectivement d x et d y. On peut alors assimiler la longueur d’arc d l associée à la longueur
du segment de droite joignant les points de coordonnées (x(t ), y(t )) et (x + d x, y + d y) (voir figure précédente). Par utilisation du théorème de Pythagore, on obtient rapidement :
q
¡ ¢2
d l = (d x)2 + d y
(II.2)
Or par définition de la différentielle d’une fonction (voir cours sur les différentielles), on sait que
dx =
dx
dt
dt
et d y =
dy
dt
dt
(II.3)
Soit en remplaçant ces deux expressions dans (II.2) et en considérant t croissant, il vient
dl =
s
µ
dx
dt
¶2
µ
dx
+
dt
¶2
dt
Exemple : Soit les équations paramétriques de l’astroïde étudiée précédemment :
½
−−→
x(t ) = a cos3 t
F(t ) =
y(t ) = a sin3 t
11
(II.4)
(II.5)
Chapitre II. Les intégrales curvilignes
Il vient le vecteur dérivé, soit
12

d x(t )
−−→ 
2
d F(t )  d t = −3a sin t cos t
=

dt
 d y(t ) = 3a cos t sin2 t
dt
(II.6)
L’élément de longueur d l est alors donné par
dl
q
¢2
¡
¢2 ¡
−3a sin t cos2 t + 3a cos t sin2 t d t
q
¡
¢
9a 2 sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t d t
=
q
¡
¢
= 3a sin2 t cos2 t cos2 t + sin2 t d t
=
= 3a sin t cos t d t
(II.7)
(II.8)
(II.9)
(II.10)
Nota : Si la courbe est plongée dans l’espace, celle-ci est décrite par un ensemble de trois coordonnées
¡
¢
paramétriques x(t ), y(t ), z(t ) et la longueur de l’arc s’écrit aisément sous la forme
dl =
q
¡ ¢2
(d x)2 + d y + (d z)2
(II.11)
1.2 Cas particulier des équations cartésiennes
Dans le cas d’une fonction réelle à variable réelle y = f (x). On cherche à calculer la longueur de la
courbe formé entre les point x 1 et x 2 , tel que x 1 < x 2 . Par définition de la différentielle d’une fonction de
une variable x, il vient
dy
df
dy =
dx =
dx
(II.12)
dx
dx
Soit en remplaçant dans l’équation (II.2), il vient
dl =
s
µ
df
1+
dx
¶2
dx
(II.13)
Nota : L’extension à une courbe de l’espace n’est pas aussi aisé que dans le cas des équations paramétriques.
1.3 Longueur d’un arc de courbe
En utilisant la notion d’intégrale de Riemann (voir cours sur les intégrales simples), il est possible de
calculer la longueur d’un arc. Pour cela après avoir discrétiser en un ensemble de tronçons de courbes
de longueur d l et en sommant celles-ci, il est possible de calculer la longueur de la courbe entre deux
points A et B par
Z
L⌢ = ⌢ d l
(II.14)
AB
AB
Exemple : Par utilisation de la longueur d’un élément de l’arc associé à l’astroïde, on obtient l’expression
de la longueur de celle-ci par
Z
L⌢ = ⌢ 3a sin t cos t d t
AB
AB
(II.15)
Ce calcul revient alors à résoudre une intégrale simple de la variable t . Par utilisation des symétries de
l’astroïde, il est possible de réduire l’intégration à
LAstroïde = 4
Zπ
2
0
3a sin t cos t d t
(II.16)
2. Intégrale curviligne de seconde espèce
13
La résolution de cette intégrale est aisée par utilisation de la méthode par changement de variable T =
sin t . On obtient alors la nouvelle différentielle par d T = cos t d t et par suite les nouvelles bornes T(t =
0) = 0 et T(t = π/2) = 1, soit
Zπ
2
LAstroïde = 4
3a sin t cos t d t
(II.17)
0
Z1
= 12a
Td T
(II.18)
0
= 6a
(II.19)
La longueur totale de l’astroïde, parcourue une seule fois, est de 6a.
2 Intégrale curviligne de seconde espèce
2.1 Notion de champ de vecteurs
On appelle champ de vecteurs, une fonction vectorielle qui associe un vecteur à chaque point de
l’espace. Soit une fonction vectorielle ~F définie sur un domaine D de l’espace euclidien E ∈ R3 (on se
limitera à l’espace usuel à trois dimensions), telle que
¢
 ¡
f 1 x, y, z
¢
→
−  ¡
(II.20)
F = f 2 ¡x, y, z ¢
f 3 x, y, z
¡
¢
Où les fonctions f i sont des fonctions scalaires des variables d’espace x, y, z . Pour chaque point de
−−¡−−−−→¢
l’espace, on associe alors un vecteur F x, y, z . L’ensemble de ces vecteurs forme un champ de vecteurs.
2.2 Travail infinitésimal d’une force
−−¡−−−→¢
Soit le champ de vecteurs associé au champ de forces F x, y tel que celui-ci soit défini par deux
¡
¢
¡
¢
¡
¢
fonctions scalaires P x, y et Q x, y dans le plan x, y ∈ R2 , i.e.
¢¶
µ ¡
−−¡−−−→¢
P x, y
¡
¢
(II.21)
F x, y =
Q x, y
¡
¢
Ce champ de forces dépend donc du lieu où est il est appliqué. On note Mk x, y ce point d’application
⌢
et on suppose qu’il décrit un arc paramétré AB tel que
½
−−−−−→
x k (t ) = f (t )
OMk (t ) =
(II.22)
y k (t ) = g (t )
Où f (t ) et g (t ) sont deux fonctions paramétriques de la variable t ∈ [a, b] ⊂ R. Introduisons une subdivision, non nécessairement uniforme, de l’intervalle [a, b]. On donne la représentation d’une subdivision
d’un arc sur la figure ci-dessous.
y
N2
N1
b
A
Nk−1
b
b
b
b
Nk
b
B
b
x
14
Ceci revient à considérer une approximation de l’arc par des segments de droites [Nk−1 Nk ], i.e. sous la
forme d’une ligne polygonale AN1 N2 . . . Nk−1 Nk B. On rappelle alors que le travail W (en N.m) d’une force
−−¡−−−→¢
−−→
peut être exprimé par le produit scalaire de celle-ci F x, y et du vecteur déplacement appliqué OM, soit
dans le cas présent
−−−−→ −−−−−−→
(II.23)
W[Nk−1 Nk ] = F (Nk ).Nk−1 Nk
On peut alors calculer le travail effectué, par le champ de forces, sur la ligne polygonale en sommant
les travaux pour chaque segment (ceci est vrai car le travail d’une force est un scalaire), ce qui tend à
⌢
exprimer le travail de cette force sur l’arc AB, soit
W⌢
AB
=
=
iX
=n
−−−−→ −−−−−−→
F (Nk ).Nk−1 Nk
(II.24)
k=1
iX
=n ¡
k=1
¡
¢¢
P (x k (t ) , x k (t )) (x k−1 − x k ) + Q (x k (t ) , x k (t )) y k−1 − x k
(II.25)
En passant à la limite lorsque n → ∞, on retrouve la notion d’intégrale de Riemman, il vient alors le
travail total
¶
Z
Z µ
¢df
¡
¢df
¡
→
→
− −
W⌢ = ⌢ F .d l = ⌢ P f (t ) , g (t )
(II.26)
+ Q f (t ) , g (t )
dt
dt
dt
AB
AB
AB
⌢
Cette intégrale est appelée circulation du vecteur ~F le long de l’arc paramétré AB.
2.3 Intégrale d’une forme différentielle
Dans le cours sur les fonctions de plusieurs variables, on définit la notion de forme différentielle ω
par
¡
¢
¡
¢
ω = P x, y d x + Q x, y d x
(II.27)
Or si le paramétrage de x et y est donné par
−−→
OM =
½
x (t ) = f (t )
y (t ) = g (t )
(II.28)
Alors par utilisation de la notion de différentielle, on obtient aisément
dx =
df
dt
dt
dy =
dg
dt
dt
Soit en remplaçant (II.29) dans (II.27), il vient
µ
¶
¡
¢df
¡
¢ dg
ω = P x, y
dt
+ Q x, y
dt
dt
(II.29)
(II.30)
On retrouve alors la même forme que celle présente dans l’équation (II.26). On peut alors définir l’ex⌢
pression de (II.26) comme étant l’intégrale de la forme différentielle ω le long de l’arc AB. C’est la définition d’une intégrale curviligne. Par définition, toute intégrale curviligne peut se calculer comme une
intégrale simple.
2.4 Définition de l’intégrale curviligne d’une forme différentielle
On appelle intégrale curviligne de la forme différentielle ω sur la courbe C , dans le cas n-dimensionnel,
la quantité
Z
Zb X
n
d fk
dt
(II.31)
ω=
Pk
dt
C
a k=1
15
Dans la suite on restreint cette relation au cas des équations à deux et trois variables, soit respectivement
Z
C
Z
C
ω=
ω=
Zb µ
¶
df
dg
dt
+Q
dt
dt
P
a
Zb µ
P
a
(II.32)
en 2D
¶
df
dg
dh
dt
+Q
+R
dt
dt
dt
(II.33)
en 3D
2.5 Propriétés des intégrales curvilignes
Propriété 1 : Une intégrale curviligne est indépendante du paramétrage choisi pour définir la courbe C ,
à condition d’utiliser la même orientation de celle-ci.
Propriété 2 : Si on change le sens de parcours de la courbe C , le signe de l’intégrale est changé
Z
C+
ω=−
Z
(II.34)
ω
C−
⌢
Propriété 3 (Théorème de Chasles) : Soit D, un point de l’arc AB. Alors par application du théorème de
Chasles (ou théorème de linéarité des intégrales), on a
Z
Z
Z
(II.35)
⌢ω = ⌢ ω+ ⌢ ω
AB
AD
DB
Exemple de calcul : Soit l’intégrale curviligne suivante
I=
Z
x y 2 d x − x 2 yd y
(II.36)
On désire calculer cette intégrale le long du cercle de rayon a et centré à l’origine, parcouru dans le sens
trigonométrique. On peut alors proposer le paramétrage du cercle à l’aide des relations paramétriques
suivantes :
x (t ) = a cos t y(t ) = a sin t
(II.37)
On calcule alors les différentielles associées, soit
dx =
dx
d t = −a sin t d t
dt
dy =
dy
d t = a cos t d t
dt
(II.38)
Soit en remplaçant dans l’expression de l’intégrale et sachant que le cercle est parcouru intégralement
dans le sens horaire, i.e. 0 ≤ t ≤ 2π, il vient
I=
Z
x y 2 d x − x 2 yd y =
Z2π
0
2a 4 sin2 t cos2 t d t = π
a4
2
(II.39)
2.6 Forme différentielle exacte
La forme différentielle ω est exacte, s’il existe une fonction f de classe C1 telle que
ω=df
(II.40)
On dit alors que f est une primitive de ω (à une constante additive près) ou encore que ω dérive du
potentiel scalaire f .
16
2.6.1. Cas d’une forme différentielle de deux variables
Soit la forme différentielle ω définie par
¡
¢
¡
¢
ω = P x, y d x + Q x, y d y
(II.41)
Cette forme est exacte si et seulement si
∂P ∂Q
=
∂y
∂x
(II.42)
2.6.2. Cas d’une forme différentielle de trois variables
Soit la forme différentielle ω définie par
¡
¢
¡
¢
¡
¢
ω = P x, y, z d x + Q x, y, z d y + R x, y, z d z
(II.43)
Cette forme est exacte si et seulement si
∂R ∂Q
=
∂y
∂z
(II.44)
∂P ∂R
=
∂z ∂x
(II.45)
∂Q ∂P
=
∂x ∂y
(II.46)
Nota : On verra par la suite que cette définition est intimement liée à la notion de gradient de la fonction
f.
¡
¢
¡
¢
¡
¢
Exemple : Démontrons que la forme différentielle ω x, y = 2y 2 x + y d x + 2x y x + 3y d y est exacte.
¡
¢
¡
¢
Pour cela notons P = 2y 2 x + y et Q = 2x y x + 3y et calculons les dérivées nécessaires pour définir si la
forme ω est exacte, soit
∂Q
∂P
= 4x y + 6y 2
= 4x y + 6y 2
(II.47)
∂y
∂x
Ces deux dérivées étant égales, on en déduit que ω est une forme différentielle exacte.
2.7 Théorème fondamental : Intégrale d’une forme différentielle exacte
Pour qu’une forme différentielle ω soit exacte, il faut et il suffit que pour tout couple de points (A, B),
l’intégrale curviligne de ω le long d’un arc paramétré d’origine A et d’extrémité B ne dépende pas du
trajet suivi.
La réciproque est aussi vraie et permet de simplifier le calcul de l’intégrale. En effet, si ω est une forme
différentielle exacte alors ω = d f et dans ce cas, l’intégrale curviligne le long de l’arc paramétré d’origine
A et d’extrémité B donne
Z
Zb
(II.48)
ω
=
d f = f (b) − f (a)
⌢
AB
a
La fonction f est aussi appelée potentiel scalaire.
Exemple : A partir de l’exemple précédent, calculer le potentiel scalaire (primitive) f associé à la forme
¡
¢
¡
¢
différentielle exacte ω = 2y 2 x + y d x + 2x y x + 3y d y. Pour cela on peut noter que la forme ω étant
exacte, celle-ci peut donc s’écrire
∂f
∂f
ω=
dx +
dy
(II.49)
∂x
∂y
17
Il vient alors de l’expression de P et Q que
P=
Q=
¡
¢
∂f
= 2y 2 x + y
∂x
¡
¢
∂f
= 2x y x + 3y
∂y
Soit en intégrant la relation (II.50) par rapport à x, il vient
Z
¡ ¢
df
d x = x 2 y 2 + 2x y 3 + φ y
f =
dx
(II.50)
(II.51)
(II.52)
La fonction φ est une fonction constante par rapport à la variable x (constante d’intégration). Il vient
alors en dérivant cette dernière relation et par utilisation de l’équation (II.51) l’expression suivante
dφ
df
= x 2 y + 6x y 2 +
=Q
dx
dy
(II.53)
dφ
=0
dy
(II.54)
φ = C1 ∈ R
(II.55)
Soit après calcul
Et après intégration
On obtient donc le potentiel scalaire f suivant
¡
¢
f x, y = 2x 2 y + 6x y 2 + C1
(II.56)
2.8 Conséquence du théorème fondamental : Forme exacte et courbe fermée
La conséquence de l’équation (II.48) est associée au cas du calcul de l’intégrale d’une forme différentielle exacte le long d’une courbe fermée, i.e. les points A et B sont coïncidents, alors
I
⌢ω=
AB
Za
a
d f = f (a) − f (a) = 0
(II.57)
On en déduit que l’intégrale d’une forme exacte le long d’une courbe lisse et fermée est toujours nulle.
2.9 Facteur intégrant
¡
¢
¡
¢
Si la forme différentielle ω n’est pas exacte, mais que la forme g x, y, z ω l’est, on dit que g x, y, z
⌢
est facteur intégrant de la forme différentielle ω le long d’un arc paramétré AB.
Exemple important : La notion de potentiel scalaire est constamment utilisé en physique et notamment
en thermodynamique. On rappellera (voir cours de thermodynamique) que l’équation d’état d’un gaz
peut s’écrire sous la forme suivante :
¡
¢
f p, V, T = 0
(II.58)
Où p,V et T représentent respectivement la pression, le volume et la température du gaz. Dans le cas
d’une évolution isotherme, il est ainsi possible d’exprimer l’évolution de l’état d’un gaz par le graphe
¡
¢
f p, V = 0, i.e. à l’aide des courbes isothermes.
Considérons un état quelconque associé à une pression p et un volume V. Pour passer à un état voisin,
associé à V + δV et p + δV, il est nécessaire de fournir au gaz une certaine quantité de chaleur δQ, telle
que
δQ = aδV + bδp
(II.59)
18
Où a et b sont des coefficients, qui sont dans la majeure partie des cas fonctions de p et V. Pour passer
d’un état à un autre, on doit donc fournir une quantité de chaleur définie par l’intégrale curviligne
Z
Q=
ad V + bd p
(II.60)
C
¡
¢
Où la courbe C correspond à une isotherme, i.e. f p, V = 0. Dans ce cas, on peut noter que la quantité
de chaleur fournie dépend des états intermédiaires, autrement dit la forme différentielle ad V +bd p n’est
pas exacte. Cependant, on peut démontrer que la forme suivante est exacte
b
dQ a
= dV + dp
T
T
T
(II.61)
Ainsi la fonction d Q/T est la différentielle d’une fonction de p et V, notée S telle que
dQ
= dS
T
(II.62)
Il vient immédiatement la définition mathématique de cette quantité appelée entropie
S=
Z
C
dQ
T
(II.63)
L’entropie d’un corps est indépendante des transformations subies puisqu’elle ne dépend que de l’état
initial et de l’état final. En résumé, l’inverse de la température absolue est un facteur intégrant de la
différentielle de la quantité de chaleur.
Chapitre III
Intégrales multiples
1 Systèmes de coordonnées
Jusqu’à présent la géométrie a été présentée dans un repère à l’aide des coordonnées cartésiennes,
¡
¢
i.e. dans un repère rectangulaire dont les coordonnées d’un point sont exprimées par x, y, z ∈ R3 . Dans
le cas de l’étude géométrique des nombres complexes, un autre système de coordonnées a été présenté :
les coordonnées polaires. Dans la suite, on présente certains systèmes de coordonnées utiles pour l’étude
des intégrales multiples, notamment dans le but de simplifier leur résolution.
1.1 Système de coordonnées polaires
Ce système est utilisé pour représenter une courbe dans un plan, à l’instar des courbes paramétrées dans
le plan. Ce système a été proposé lors de l’étude géométrique des nombres complexes. On donne sur la
figure III.1, la représentation géométrique d’un point M d’affixe x + j y dans le plan complexe.
¡
¢
¡ ¢
M x, y = M ρ, θ
y = ρ sin θ
b
ρ
θ
j
1
x = ρ sin θ
F IGURE III.1 – Système de coordonnées polaires
¡
¢
Dans ce cas, on peut exprimer une correspondance entre les coordonnées cartésiennes x, y et les coordonnées polaires par :
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
(III.1)
Ce type d’équation a déjà été présenté lors de l’étude des courbes paramétriques. Les coordonnées
polaires sont donc associées à la connaissance du rayon polaire ρ et de l’angle θ associé, i.e. le point
¡ ¢
¡
¢
M ρ, θ = M x, y . Lorsque le rayon polaire ρ est constant, on retrouve les équations paramétriques d’un
cercle. En règle générale, l’équation d’une courbe en coordonnées polaires s’écrit sous la forme ρ = ρ (θ).
Les relations définies par (III.1), associant les coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires, peuvent
être inversées et il vient
y
ρ2 = x 2 + y 2 tan θ =
(III.2)
x
19
Chapitre III. Intégrales multiples
20
1.2 Système de coordonnées dans l’espace
¡
¢
Dans le cas où l’on veut exprimer la position d’un point M x, y, z dans l’expace, l’utilisation des coordonnées cartésiennes peut devenir trop complexe. Il existe comme dans le cas plan d’autres systèmes
de représentation. On présente dans la suite deux systèmes extrêmement utilisés : les coordonnées cylindriques et sphériques.
1.2.1. Système de coordonnées cylindriques
¡
¢
Pour définir le système de coordonnées cylindriques, il suffit d’exprimer la position d’un point M x, y, z
¡
¢
¡
¢
en utilisant les coordonnées polaires auxquelles on rajoute la côte z, i.e. M x, y, z = M ρ, θ, z . La figure
III.2 donne la le paramétrage d’un point en coordonnées cylindriques.
z
b
θ
¡
¢
M ρ, θ, z
ρ
y
x
F IGURE III.2 – Système de coordonnées cylindriques
L’expression des coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindriques s’écrivent alors
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ z = z
(III.3)
Et les relations inverses s’obtiennent de la même manière que dans le cas des coordonnées polaires par
ρ2 = x 2 + y 2
tan θ =
y
x
z=z
(III.4)
¡
¢
Nota : Dans le cas où ρ est constant, le point M ρ, θ, z se trouve sur un cylindre à base circulaire de rayon
ρ.
1.2.2. Système de coordonnées sphériques
Un autre système très utilisé pour représenter les coordonnées d’un point de l’espace est associé à la
position de celui-ci sur une sphère. Ses coordonnées sont alors exprimées dans le système dit sphérique
dont on donne une représentation graphique sur la figure III.3.
¡
¢
Avec ρ ≥ 0 et 0 ≤ ϕ ≤ π. Dans le cas où ρ est constant, le point M ρ, θ, ϕ est donc situé sur une sphère de
rayon ρ. L’expression des coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques est donnée
par
x = ρ sin ϕ cos θ y = ρ sin ϕ sin θ z = ρ cos ϕ
(III.5)
Le passage des coordonnées sphériques vers les coordonnées cartésiennes s’obtient à l’aide des relations
suivantes :

x


arccos p
si y ≥ 0
µ ¶
q

2
z
x + y2
2
2
2
ϕ = arccos
θ=
ρ= x +y +z
(III.6)
x

ρ

si y < 0
 2π − arccos p 2
x + y2
2. Intégrales doubles
21
z
b
ϕ
¡
¢
M ρ, θ, ϕ
ρ
θ
y
x
F IGURE III.3 – Système de coordonnées sphériques
2 Intégrales doubles
2.1 Rappel sur le calcul intégral et la notion d’aire
Le calcul intégral est souvent présenté comme l’outil de calcul d’une aire. Soit une fonction f de la
variable x ∈ R définie sur l’intervalle [a, b]. Si f (x) ≥ 0 sur cet intervalle alors on peut définir l’intégrale
suivante
Z
I=
b
(III.7)
f (x) d x
a
On rappelle que l’intégrale d’une fonction positive sur un intervalle [a, b] est positive. Dans ce cas, l’équation (III.7) représente l’aire du domaine Ω délimité par la courbe représentative de f , l’axe des abscisses
et les droites verticales d’équations x = a et x = b. On donne sur la figure III.4 cette représentation.
y
y = f (x)
Ω
x=a
x =b x
F IGURE III.4 – Définition de l’intégrale d’une fonction positive pour x ∈ [a, b]
2.2 Pavé et domaine quarrable
Dans le cas du calcul de l’intégrale d’une fonction de la variable réelle x, le domaine de définition
est constitué d’un intervalle (ou d’une somme d’intervalles) [a, b]. On appelle pavé de R2 une partie de
P égale à un produit d’intervalles compacts (fermés et bornés), tel que P = [a, b] × [c, d ]. On note µ(P) =
(b − a)(d − c) la mesure du pavé P, les notions de pavé et de mesure sont aussi appelées respectivement
rectangle et aire du rectangle.
2.2.1. Domaine pavable de R2
◦
Soit P i =]a, b[×]c, d [ l’intérieur de Pi . Une partie A de R2 est dite pavable si elle est une réunion
S
d’une famille finie de pavés A = {Pi }1≤i ≤n d’intérieurs deux à deux disjoints, i.e. pour tout i 6= j on a
◦
◦
P i ∩ P j = ;.
22
De plus, on démontre que A est pavable si le réel
µ (A ) =
n
X
(III.8)
µ (Pi )
i =1
ne dépend que de A et dans ce cas ce réel est appelé aire de A .
2.2.2. Domaine quarrable
Soit A une partie compacte (bornée et fermée) de R2 . On note µ+ (A ) et µ− (A ) respectivement la
borne supérieure des aires des domaines pavables contenus dans A et la borne inférieure des aires des
domaines pavables contenant A .
Le domaine A est dit quarrable si
(III.9)
µ+ (A ) = µ− (A ) = µ (A )
On appelle alors µ (A ) l’aire du domaine A .
2.3 Définition de l’intégrale double d’une fonction continue
¡
¢
Considérons une fonction de deux variables x, y ∈ R2 définie et positive sur le domaine quarrable
A = [a, b] × [c, d ].On désire calculer le volume du solide dressé sur A et coiffée par la surface définie par
¡
¢
z = f x, y (figure III.5), i.e. le domaine défini par
©¡
¢
¡
¢ ¡
¢
ª
S = x, y, z ∈ R3 /0 ≤ z ≤ f x, y , x, y ∈ A
(III.10)
z
¡
¢
z = f x, y
c
a
d
b
y
A
x
F IGURE III.5 – Volume du solide dressé
¡
¢sur un domaine A et la surface
z = f x, y
Pour cela, on tente d’approcher ce volume par un ensemble de parallélépipèdes rectangles, non néces¡
¢
sairement de même longueur et largeur, dressé sur un quadrillage de x, y respectivement en (n, m) ∈ N2
© ª
éléments de A . Soit le point de coordonnées {x i }1≤i ≤n et y j 1≤ j ≤m du quadrillage et ∆Ai j l’aire de la
¢
¡
base du parallélépipède associé. Dans ce cas la hauteur de ce dernier est donné par f x i , y j et le vo¢
¡
lume associé est donné par Vi = f x i , y j ∆Ai j .
Le volume total peut être approché en sommant l’ensemble de ces volumes, soit
V≈
n X
m
X
i =1 j =1
¡
¢
f x i , y j ∆Ai j
(III.11)
Or en passant à la limite (si elle existe), on retrouve la notion d’intégrale au sens de Riemann soit
Ï
n X
m
X
¡
¡
¢
¢
V = lim
f x i , y j ∆Ai j =
f x, y d xd y
(III.12)
n,m→∞
i =1 j =1
A
23
¡
¢
Cette intégrale est alors appelée intégrale double de f x, y sur le domaine A .
2.3.1. Conséquences directes
Soit le domaine A du plan de R2 , alors l’intégrale double suivante permet de calculer l’aire du domaine A
Ï
A (A ) =
(III.13)
dA
A
¡
¢
Si ce domaine se trouve dans le plan x, y , alors d A = d xd y et il vient
Ï
Ï
dA =
d xd y
A
(III.14)
A
¡
¢
Si f x, y ≥ 0 sur le domaine A , alors le volume V dressé sur le domaine A et fermé par la surface
¡
¢
d’équation z = f x, y est donné par
Ï
¡
¢
V=
(III.15)
f x, y d A
A
2.3.2. Propriétés des intégrales doubles
¡
¢
¡
¢
¡
¢
➊ Propriété de linéarité : Soit α, β ∈ R2 ainsi que f x, y et g x, y deux fonctions définies sur le
domaine quarrable A , alors
Ï
Ï
Ï
¡ ¡
¢
¡
¢¢
¡
¢
¡
¢
α f x, y + β f x, y d A = α
f x, y d A + β
g x, y d A
(III.16)
A
A
A
¡
¢
➋ Relation de Chasles : Soit deux domaines quarrables A1 et A2 . Soit f x, y définie sur le domaine
quarrable A = A1 + A2 , alors
Ï
Ï
Ï
¡
¢
¡
¢
¡
¢
f x, y d A +
f x, y d A
f x, y d A =
A
¡
¢
A1
¡
¢
(III.17)
A2
¡
¢
➌ Soit
deux fonctions f x, y et g x, y définies sur un domaine quarrable A et telles que f x, y ≥
¡
¢
g x, y sur ce domaine alors
Ï
A
¡
¢
f x, y d A ≥
¡
Ï
A
¢
¡
¢
g x, y d A
(III.18)
➍ Valeur moyenne
: Soit une fonction f x, y définie sur un domaine quarrable A , alors la valeur
¡
¢
moyenne de f x, y , notée f¯, sur ce domaine est donnée par
¡
¢
Î
f x, y d A
A
Î
(III.19)
f¯ =
A dA
Î
Où A d A représente l’aire du domaine A .
¡
¢
➎ Théorème d’encadrement : Si une une
fonction f x, y est minorée et majorée respectivement par
¡
¢
¡
¢
m ∈ R et par M ∈ R pour tout couple x, y ∈ A , i.e. m ≤ f x, y ≤ M, alors si A (A ) représente l’aire
du domaine A on a
Ï
¡
¢
mA (A ) ≤
f x, y d A ≤ MA (A )
(III.20)
A
Exemple d’utilisation du théorème d’encadrement : En utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques, encadrer la valeur de l’intégrale suivante, où le domaine A est le cercle centré à l’origine et de
rayon unitaire
Ï
esin x cos y d A
A
(III.21)
24
Il est clair qu’il n’est pas possible de déterminer la primitive de la fonction à intégrer. Cependant, en se
rappelant que les fonctions sinus et cosinus sont bornées, on a
− 1 ≤ sin x ≤ 1
(III.22)
− 1 ≤ cos y ≤ 1
(III.23)
− 1 ≤ sin x cos y ≤ 1
(III.24)
e−1 ≤ sin x cos y ≤ e1
(III.25)
Il vient alors
Et donc
En intégrant sur le domaine, il vient immédiatement
Ï
1
esin x cos y d A ≤ eA (A )
A (A ) ≤
e
A
(III.26)
Or le domaine A est défini comme étant le cercle centré à l’origine et de rayon unitaire, donc A (A ) = π
et il vient l’encadrement de l’intégrale (III.21), soit
Ï
π
≤
esin x cos y d A ≤ πe
(III.27)
e
A
2.4 Intégrales itérées et théorème de Fubini pour un domaine rectangulaire
¡
¢
Soit f x, y une fonction continue sur le domaine rectangulaire D = [a, b] × [c, d ]. Le théorème de
Fubini donne alors le résultat suivant
Ï
D
¡
¢
f x, y d A =
Zb µZd
a
c
¡
¢
¶
f x, y d y d x =
Zd µZb
c
¡
¢
¶
f x, y d x d y
a
(III.28)
Du point de vue pratique, on peut voir l’utilisation du théorème de Fubini à l’aide des figures suivantes.
¡
¢
On intégre f x, y d’abord par rapport à x, i.e. par utilisation du théorème de Fubini soit
Ï
D
¡
¢
f x, y d A =
Zd µZb
c
a
¶
¡
¢
f x, y d x d y
(III.29)
On considère donc la variable y constante et on intégre par rapport à x, ce qui peut être représenté par
la figure III.6
z
¡
¢
z = f x, y
a
c
x
b
d
y
x
F IGURE III.6 – Intégration selon x pour y constant
Puis on intégre par rapport à y en relation avec la figure III.7
25
z
¡
¢
z = f x, y
c
a
y
x
d
b
y
x
F IGURE III.7 – Intégration selon y pour x constant
Exemple : Soit l’intégrale suivante à calculer
y=2
x=3
Z Z
x 2 yd xd y
(III.30)
x=0 y=1
Calculons alors cette intégrale en intégrant en premier par rapport à y puis selon x, soit


y=2
y=2
x=3
x=3
Z Z
Z Z


x 2 yd xd y =
x 2 yd y  d x

x=0 y=1
(III.31)
x=0 y=1
=
=
=
=
x=3
Z·
x=0
x=3
Z
x=0
¸2
dx
(III.32)
1
3x 2
dx
2
(III.33)
¸3
(III.34)
x3
2
27
2
·
x2 y 2
2
0
(III.35)
Intégrons à présent cette même intégrale en commençant par x puis selon y
y=2
x=3
Z Z
x 2 yd xd y
x=0 y=1
=
=
=
=
=

y=2 x=3
Z
Z

x 2 yd x  d y
(III.36)
y=1 x=0
y=2·
Z
y=1
x3 y
3
y=2
Z
9yd y
¸3
dx
(III.37)
0
(III.38)
y=1
9y 2
2
27
2
·
¸2
(III.39)
1
(III.40)
26
Ce qui est bien le résultat attendu. On verra immédiatement que ce type d’intégrale peut être séparée en
le produit de deux intégrales simples.
2.4.1. Intégrales itérées et séparation des intégrales
Soit une intégrale double définie sur le domaine D = [a, b] × [c, d ] et étant présentée comme l’inté¡ ¢
grale d’un produit de fonctions f (x) et g y , alors cette intégrale peut être décomposée en un produit
de deux intégrales simples l’une fonction de x et l’autre de y, i.e. de la forme suivante
Ï
D
¡ ¢
f (x) g y d xd y =
Zb
a
f (x) d x ×
Zd
c
¡ ¢
g y dy
(III.41)
¡ ¢
Exemple : Soit l’intégrale de l’exemple précédente, on peut poser f (x) = x 2 et g y = y, il vient alors
y=2
x=3
Z Z
2
x yd xd y
x=0 y=1
=
Zx=3
x=0
2
x dx ×
Z y=2
yd y
(III.42)
y=1
¸3 · 2 ¸2
y
x3
×
=
3 0
2 1
3
= 9×
2
27
=
2
·
(III.43)
(III.44)
(III.45)
2.5 Intégrales doubles sur des domaines quelconques
Dans le cadre de l’étude des intégrales simples, le domaine d’intégration a toujours la forme d’un
intervalle x ∈ [a, b] ou d’une réunion d’intervalles. Il n’en est pas de même pour les intégrales doubles
(de même que pour les intégrales triples). En effet, il peut être nécessaire d’intégrer sur des domaines
qui ne sont pas nécessairement rectangulaires.
Pour cela on considère un domaine D compact (borné et fermé), i.e. que celui-ci peut être encadré par
un domaine rectangulaire R (voir figure III.8).
y
R
D
x
F IGURE III.8 – Domaine compact D
¡
¢
On peut alors définir une nouvelle fonction F x, y telle que
¢
¡
¢
½ ¡
¡
¢ f x, y
si x, y ∈ D
¡
¢
¡
¢
F x, y
(III.46)
0 si x, y ∈ R et x, y ∉ D
¡
¢
¡
¢
Dans l’hypothèse où l’intégrale double de F x, y existe sur R, on définit l’intégrale double de f x, y sur
D par
Ï
Ï
¡
¢
¡
¢
f x, y d A =
F x, y d A
(III.47)
D
R
27
2.5.1. Domaine plan de type I
Un domaine plan D est dit de type I, s’il est délimité par les graphes de deux fonctions continues
g 1 (x) et g 2 (x) de x ∈ [a, b], i.e. le domaine défini par
©¡
D=
ª
¢
x, y /a ≤ x ≤ b, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)
(III.48)
On donne sur la figure III.9 des exemples de domaines de type I. Dans ce cas, on peut exprimer l’intégrale
y
y
y
y = g 2 (x)
y = g 2 (x)
y = g 2 (x)
D
D
D
y = g 1 (x)
y = g 1 (x)
y = g 1 (x)
x
x
a
a
b
x
a
b
b
F IGURE III.9 – Exemple de domaines de type I pour les intégrales doubles
¡
¢
double d’une fonction f x, y sur ce type de domaine par
Ï
D
¡
¢
f x, y d A =
2 (x)
Zb gZ
a g 1 (x)
¡
¢
f x, y d yd x
(III.49)
Exemple : Soit D, le domaine délimité par les paraboles d’équations y = 2x 2 et y = 1 + x 2 . On désire
¡
¢
calculer l’intégrale double de la fonction f x, y sur ce domaine, i.e. l’intégrale suivante
Ï
D
¡
¢
x + 2y d A
(III.50)
La première étape consiste à représenter le domaine d’intégration, pour cela on trace les deux paraboles
¡
¢
dans le plan x, y . Soit la représentation de celui-ci sur la figure III.10 :
y
2
y2 = x + 1
y 1 = 2x 2
D
x
−1
0
1
F IGURE III.10 – Domaine d’intégration D délimité par les fonctions
y 1 = x 2 + 1 et y 2 = 2x 2
On peut voir immédiatement que le domaine D est défini pour
D=
©¡
ª
¢
x, y / − 1 ≤ x ≤ 1, y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x)
(III.51)
28
On peut alors définir que ce domaine est de type I et que l’intégrale définie par l’équation (III.50) s’exprime selon la relation suivante
Ï
Z1 Z
¡
¢
¡
¢
x + 2y d A =
x 2 + 1 x + 2y d yd x
(III.52)
D
−1 2x 2
Z1
£
¤ y=x 2 +1
=
x y + y 2 y=2x 2 d x
(III.53)
−1
Z1 h
¡
¢ ¡
¢2
¡
¢ ¡
¢2 i
=
x x 2 + 1 + x 2 + 1 − x 2x 2 − 2x 2 d x
(III.54)
−1
Ï
D
¡
¢
x + 2y d A =
Z1
−1
¡
¢
−3x 4 − x 3 + 2x 2 + x + 1 d x
(III.55)
¸1
·
x3 x2
x5 x4
+2 +
+x
−3 −
5
4
3
2
−1
32
=
15
(III.56)
=
(III.57)
Nota : Pour établir une intégrale double, il est essentiel de faire un dessin. Sans cette étape préliminaire,
l’écriture correcte du domaine de définition ainsi que le type qui lui est associé est souvent difficile voire
impossible.
2.5.2. Domaine plan de type II
Un domaine plan D est dit de type II, s’il est délimité par les graphes de deux fonctions continues
¡ ¢
¡ ¢
h 1 y et h 2 y de y ∈ [c, d ], i.e. le domaine défini par
¡ ¢ª
¡ ¢
©¡
¢
(III.58)
D = x, y /c ≤ y ≤ d , h 1 y ≤ x ≤ h 2 y
On donne sur la figure III.11 des exemples de domaines de type II. Dans ce cas, on peut exprimer l’intéy
y
d
y
d
¡ ¢
h1 y
D
¡ ¢
h2 y
d
¡ ¢
h2 y
D
¡ ¢
h1 y
c
c
D
¡ ¢
h1 y
¡ ¢
h2 y
c
x
x
x
F IGURE III.11 – Exemple de domaines de type II pour les intégrales doubles
¡
¢
grale double d’une fonction f x, y sur ce type de domaine par
Ï
D
¡
¢
f x, y d A =
d hZ
2(y )
Z
c h1 ( y )
¡
¢
f x, y d xd y
(III.59)
2.6 Changement de variables, transformations et Jacobien
Dans le cadre de l’étude des intégrales simples, on présente deux méthodes utiles pour la simplicification et la résolution de celles-ci : les méthodes d’intégration par partie et de changement de variable.
29
Qu’en est-il de la méthode par changement de variable ?
¡
¢
On désire passer du système de variables x, y vers le système (u, v). On appelle transformation notée
T les relations qui relient ces deux systèmes, via les fonctions g et h de classe C1 , soit
x = g (u, v)
(III.60)
y = h (u, v)
¡
¢
¡
¢
Soit G x, y et H x, y , les fonctions qui permettent d’inverser ces relations et associées à la transformation réciproque notée T −1 , il vient
¡
¢
¡
¢
u = G x, y
v = H x, y
(III.61)
2.6.1. Jacobien de la transformation
On appelle matrice Jacobienne, la matrice Φ (u, v) suivante
∂x
 ∂u
Φ =  ∂y
∂u


∂x
∂v 
∂y 
∂v
(III.62)
On associe à cette matrice, son déterminant appelé Jacobien de la transformation et noté J tel que
¯
¯ ∂x
¯
∂ x, y
¯
J=
= ¯ ∂u
∂ (u, v) ¯¯ ∂y
∂u
¡
¢
¯
∂x ¯
¯
∂v ¯¯ = ∂x ∂y − ∂y ∂x
∂y ¯ ∂u ∂v ∂u ∂v
¯
∂v
(III.63)
On suppose alors que la transformation est de classe C1 (dérivable et continue d’ordre 1) et dont le Ja¡
¢
cobien est non nul et qui envoie une région S du plan (u, v) vers la région D du plan x, y . De plus, on
¡
¢
suppose que la fonction f x, y à intégrer est continue sur D. Enfin, les régions S et D sont considérées
planes et de type I ou II. Dans ce cas, on peut transformer une intégrale sur le domaine D en l’exprimant
sur le domaine S par la relation suivante
Ï
D
¡
¢
f x, y d xd y =
Ï
S
¡
¢
f x (u, v) , y (u, v) |J| d ud v
(III.64)
2.6.2. Cas des coordonnées polaires
On désire calculer l’intégrale définie par l’équation (III.47) sur une portion circulaire ou un anneau
circulaire D (voir figure (III.12)).
y
y
D
D
x
x
F IGURE III.12 – Domaine d’intégration D de type circulaire ou anneau
En préliminaire, on a présenté la notion de système de coordonnées et plus particulièrement les coordonnées polaires. Celles-ci sont très bien adaptées aux domaines pouvant être exprimés sous la forme
ρ = ρ (θ) et notamment les secteurs circulaires. On rappelle donc que les coordonnées cartésiennes s’expriment à l’aide des coordonnées polaires par les équations (III.1). Formons alors la matrice Jacobienne
30
et plus particulièrement le Jacobien de la transformation associée, il vient
¯
¯
¡
¢ ¯¯ ∂x ∂x ¯¯
¯ ∂ρ ∂θ ¯
∂ x, y
J = ¡ ¢ = ¯¯ ∂y ∂y ¯¯
∂ ρ, θ
¯
¯
¯ ∂ρ ∂θ ¯
(III.65)
Soit
¯
¯
¯cos θ −ρ sin θ¯
¯=ρ
J = ¯¯
(III.66)
sin θ ρ cos θ ¯
¡
¢
Il vient alors l’expression du calcul de l’intégrale double de f x, y sur un domaine polaire D à l’aide des
coordonnées polaires, soit
Ï
Ï
¡
¢
¡
¢
f x, y d xd y =
f ρ cos θ, ρ sin θ ρd ρd θ
(III.67)
D
D
On peut alors ici redéfinir le cas particulier où le domaine est circulaire, i.e. ρ ne dépend pas de θ. Soit
0 ≤ a ≤ ρ ≤ b et α ≤ θ ≤ β (avec 0 ≤ β − α ≤ 2π), alors
Ï
Zβ Zb
¡
¢
¡
¢
f x, y d xd y =
f ρ cos θ, ρ sin θ ρd ρd θ
(III.68)
α
D
a
¡
¢
Exemple : Soit la fonction constante et unitaire f x, y = 1 définie sur le domaine circulaire D centré à
l’origine et de rayon R. Calculer l’aire de cette fonction sur ce domaine.
Il est immédiat que cette aire est donnée par
Ï
Ï
¡
¢
f x, y d A =
dA
(III.69)
D
D
Or le domaine D est un cercle, il est donc naturel d’exprimer cette intégrale en coordonnées polaires et
il vient immédiatement que 0 ≤ ρ ≤ R et 0 ≤ θ ≤ 2π , soit
Ï
Z2π ZR
dA =
ρd ρd θ
(III.70)
0
D
=
0
[θ]2π
0 ×
= πR2
·
ρ2
2
¸R
(III.71)
0
(III.72)
Ce qui est bien le résultat attendu, à savoir l’aire d’un disque de rayon R.
2.7 Intégrales doubles et curvilignes - Théorème de Green
On peut démontrer qu’il existe une relation entre une une intégrale curviligne le long d’un contour
fermé noté C et une intégrale double sur le domaine D du plan délimité par C = ∂D (la frontière du
domaine - voir la figure III.13) : cette relation est associée au théorème de Green.
L’énoncé du théorème de Green est basé sur un sens de parcours conventionnel. On considérera le sens
positif le parcours dans le sens trigonométrique de la courbe C . Si la courbe C est décrite par une fonc−−→
−−→
tion paramétrique OM (t ) avec a ≤ t ≤ b, le domaine D est toujours à gauche de la courbe au point OM (t )
lorsque l’on parcourt C . On donne sur la figure III.14, l’orientation positive et négative d’un contour.
Le cadre étant défini, on peut alors énoncé le théorème de Green : Soit C une courbe plane simple de
classe C1 , fermée, lisse par morceaux, orientée dans le sens positif et soit D le domaine compact délimité
¡
¢
¡
¢
par C = ∂D. Soit P x, y et Q x, y deux fonctions admettant des dérivées partielles premières continues
dans une région ouverte qui contient D, alors
I
C
Pd x + Qd y =
Ïµ
D
¶
∂Q ∂P
d xd y
−
∂x ∂y
(III.73)
31
y
C
D
x
F IGURE III.13 – Domaine D , sa courbe frontière C = ∂D et son orientation
y
y
D
C
D
C
x
x
a.
b.
F IGURE III.14 – Orientation du domaine D : a. sens positif - b. sens négatif
Le théorème de Green est à considérer comme l’homologue du théorème fondamental du calcul intégral
pour les intégrales doubles. On rappelle l’énoncé du théorème fondamental du calcul intégral d’une
fonction f continue de classe C1 sur l’intervalle x ∈ [a, b] :
Zb
df
d x = f (b) − f (a)
(III.74)
a dx
Dans le cas des équations (III.73) et (III.74), on peut noter un membre composé de l’intégrale d’une expression comprenant des dérivées et dans l’autre membre l’expression des fonctions sur la frontière du
domaine.
Le théorème de Green permet donc de calculer une intégrale double à la place d’une intégrale curviligne
et réciproquement de calculer une intégrale double par utilisation d’une intégrale curviligne.
Exemple : On désire calculer l’intégrale curviligne suivante le long de la frontière, dans le sens trigonométrique, notée C du domaine D défini par la figure III.15
I
I=
x 4 d x + x yd y
(III.75)
C
Il serait aisé de calculer cette intégrale en utilisant les outils présentés au chapitre II. Néanmoins ,il serait
nécessaire de calculer celle-ci sur les trois côtés du triangle, i.e. de décomposer en 3 intégrales distinctes.
L’utilisation du théorème de Green, permet de simplifier ce calcul, en considérant l’intégrale double. En
effet, on peut décomposer le domaine en un type I avec
©¡
¢
ª
D = x, y /0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x
(III.76)
De plus P = x 4 et Q = x y, donc
∂P
=0
∂y
∂Q
=y
∂x
(III.77)
32
y
(0, 1)
C
D
x
(0, 0)
(1, 0)
F IGURE III.15 – Définition du domaine D dans le cas d’un exemple
L’équation (III.75) se réduit ainsi à
I
C
4
x d x + x yd y
=
=
Z1 Z1−x
0
0
Z1 ·
0
y2
2
yd yd x
¸1−x
dx
Z1
(III.79)
0
(1 − x)2
dx
2
0
¤1
1£
= − (1 − x)3 0
6
1
=
6
=
(III.78)
(III.80)
(III.81)
(III.82)
2.7.1. Conséquence directe du théorème de Green
On peut voir apparaître dans la formule de Green, que l’intégrale double peut-être nulle si
∂Q ∂P
=
∂x ∂y
(III.83)
On retrouve ici le théorème fondamental associé à l’intégrale curviligne d’une forme différentielle exacte
le long d’un contour fermé (voir section 2.7 du chapitre II), à savoir que celle-ci est nulle.
Une autre conséquence de la formule de Green, est associée au cas où
∂Q ∂P
−
=1
∂x ∂y
Il vient immédiatement
I
C
Pd x + Qd y =
Ï
D
(III.84)
d A = A (D)
(III.85)
Il apparaît donc que l’on puisse calculer l’aire du domaine D, en calculant la circulation de la différentielle Pd x + Qd y le long de la courbe fermée C . Il existe alors plusieurs cas répondant à l’équation
(III.84) :
¡
¢
¡
¢
➊ P x, y = 0 et Q x, y = x
¡
¢
¡
¢
➋ P x, y = −y et Q x, y = 0
¡
¢ x
¡
¢ −y
et Q x, y =
➌ P x, y =
2
2
Il vient alors les expressions suivantes pour le calcul de l’aire de D
A (D) =
I
C
xd y = −
I
C
yd x =
1
2
I
C
xd y − yd x
(III.86)
3. Intégrales triples
33
y
(0, b)
C
D
(−a, 0)
x
(a, 0)
(0, −b)
F IGURE III.16 – Représentation d’une ellipse - grand axe selon x et petit axe
selon y
Exemple : On désire calculer l’aire d’une ellipse de grand axe 2a le long de l’axe des abscisses x et de petit
axe 2b le long de l’axe des ordonnées (voir figure III.16).
Les équations paramétriques associées à cette ellipse orientée dans le sens trigonométrique, i.e. t ∈
[0, 2π], peuvent être données par
µ
¶
−−→
x (t ) = a cos t
OM =
(III.87)
y (t ) = b sin t
Il vient par utilisation de la troisième formule proposée dans l’équation (III.86), l’intérêt de calculer les
différentielles de x et y, soit
d x = −a sin t d y = b cos t
(III.88)
Il vient alors
A (D) =
=
=
=
=
I
1
xd y − yd x
2 C
Z
1 2π
(a cos t × b cos t + a sin t × b sin t ) d t
2 0
Z2π
1
abd t
2 0
ab 2π
[t ]0
2
πab
(III.89)
(III.90)
(III.91)
(III.92)
(III.93)
3 Intégrales triples
3.1 Domaine cubable
On dit qu’un domaine compact D de R3 lorsque son volume peut être approché par une subdivision
finie de petits pavés parallélépipédiques en partageant l’espace E ∈ R3 par trois familles de plans selon
respectivement à abscisse, ordonnée et cote constante.
C’est bien entendu la généralisation à l’espace de la notion de domaine quarrable.
3.2 Définition de l’intégrale triple d’une fonction continue
De la même manière qu’il a été défini des intégrales simples pour des fonctions d’une seule variable,
des intégrales doubles pour les fonctions de deux variable, on peut définir des intégrales triples pour des
¡
¢
fonctions de trois variables. Pour cela prenons l’exemple simple où une fonction f de 3 variables x, y, z
est définie et positive sur un domaine parallélépipédique rectangle, i.e. le domaine A tel que
©¡
¢
ª
A = x, y, z | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , r ≤ z ≤ s
(III.94)
On considère alors un quadrillage de (l , m, n) ∈ N3 éléments du parallélépipède dans les trois dimensions
¡
¢
x, y, z (figure III.17).
34
z
s
r
a
d
y
b
x
F IGURE III.17 – Domaine d’intégration parallélépipédique pour l’expression
des intégrales triples
On obtient alors une discrétisation du domaine A par l × m × n parallélépipèdes. Soit l’élément de co¡
¢
ordonnées x i , y j , z k avec 1 ≤ i ≤ l , 1 ≤ j ≤ m et 1 ≤ k ≤ n, le volume associé est alors donné par la
l’expression suivante :
¢
¡
(III.95)
V = (x i +1 − x i ) y j +1 − y j (z k+1 − z k )
Le volume élémentaire ∆V est alors donné par
(III.96)
∆V = ∆x∆y∆z
¡
¢
Le volume de la fonction f x, y, z sur le domaine A peut alors être approché par
V≈
l X
m X
n
X
i =1 j =1 k=1
¡
¢
f x i , y j , z k ∆V
(III.97)
En passant à la limite pour (l , m, n) → ∞, on obtient alors une triple somme de Riemann. La définition
¡
¢
de l’intégrale triple d’une fonction f x, y, z sur le domaine A est alors donnée par
Ñ
A
¡
¢
f x, y, z d V =
lim
l X
m X
n
X
l ,m,n→∞ i =1 j =1 k=1
¡
¢
f x i , y j , z k ∆V
(III.98)
3.2.1. Conséquences directes
¡
¢
Soit A le domaine de l’espace R3 , alors l’intégrale triple suivante (cas où f x, y, z = 1) permet de
calculer le volume du domaine A
Ï
dV
(III.99)
V (A ) =
A
¡
¢
Si ce domaine est exprimé à l’aide des coordonnées cartésiennes x, y, z , l’élément de volume d V =
d xd yd z et il vient immédiatement
Ñ
Ñ
dV =
d xd yd z
(III.100)
A
A
35
3.2.2. Propriétés des intégrales triples
Les propriétés des intégrales doubles (et simples) peuvent s’étendre au cas des intégrales triples à
savoir
¡
¢
¡
¢
¡
¢
➊ Propriété de linéarité : Soit α, β ∈ R2 ainsi que f x, y, z et g x, y, z deux fonctions définies sur le
domaine cubable A , alors
Ñ
A
¡
¡
¢
¡
¢¢
α f x, y, z + β f x, y, z d V = α
Ñ
A
¡
¢
f x, y, z d V + β
Ñ
A
¡
¡
¢
g x, y, z d V
(III.101)
¢
➋ Relation de Chasles : Soit deux domaines cubables A1 et A2 . Soit f x, y, z définie sur le domaine
cubable A = A1 + A2 , alors
Ñ
A
¡
¢
f x, y, z d V =
¡
¢
¡
Ñ
¡
¢
f x, y, z d V +
A1
Ñ
A2
¡
¢
f x, y, z d V
¢
(III.102)
¡
¢
➌ Soit
deux fonctions f x, y, z et g x, y, z définies sur un domaine cubable A et telles que f x, y, z ≥
¡
¢
g x, y, z sur ce domaine alors
Ñ
A
¡
¢
f x, y, z d V ≥
¡
Ñ
A
¡
¢
g x, y, z d V
(III.103)
¢
➍ Valeur moyenne
: Soit une fonction f x, y, z définie sur un domaine cubable A , alors la valeur
¡
¢
moyenne de f x, y, z , notée f¯, sur ce domaine est donnée par
f¯ =
Où
Ð
A
Ð
¡
¢
f x, y d V
Ð
A dV
A
(III.104)
d V représente le volume du domaine A .
¡
¢
➎ Théorème d’encadrement : Si une une¡fonction
f x, y, z est minorée et majorée respectivement
¢
¡
¢
par m ∈ R et par M ∈ R pour tout triplet x, y, z ∈ A , i.e. m ≤ f x, y, z ≤ M, alors si V (A ) représente
le volume du domaine A on a
mV (A ) ≤
Ñ
A
¡
¢
f x, y, z d A ≤ MV (A )
(III.105)
3.3 Intégrale itérée et théorème de Fubini pour un domaine parallélépipédique
¡
¢
Soit f x, y, z une fonction continue sur le domaine parallélépipédique D = [a, b] × [c, d ] × [r, s], le
théorème de Fubini donne alors le résultat suivant (aussi appelé intégrale itéréé) :
Ñ
D
¡
¢
f x, y, z d V =
Zb Zd Zs
a
c
r
¡
¢
f x, y, z d xd yd z
(III.106)
¡
¢
Exemple : Soit la fonction f x, y, z = x y z définie sur le domaine rectangulaire D = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
Calculer l’intégrale de cette fonction sur le domaine D.
36
Il vient l’expression de cette intégrale sur D, soit
Ñ
Z1 Z1 Z1
¡
¢
f x, y, z d V =
x y zd xd yd z
D
0 0 0
Ã
Ã
Z1 Z1 · 2 ¸1 ! !
x yz
=
dy dz
2 0
0
0
Z1 µZ1 ³ ´ ¶
yz
dy dz
=
2
0
0
Z1 Ã· 2 ¸1 !
y z
=
dz
4 0
0
Z1
z
=
dz
4
0
· 2 ¸1
z
=
8 0
1
=
8
(III.107)
(III.108)
(III.109)
(III.110)
(III.111)
(III.112)
(III.113)
3.3.1. Intégrales itérées et séparations des variables
Soit une intégrale définie sur le domaine D = [a, b] × [c, d ] × [r, s] et étant définie comme l’intégrale
du produit de trois fonctions f (x), g (y) et h(z), alors cette intégrale peut être décomposé en un produit
de trois intégrales simples, soit
Zb
Ñ
Zd
Zs
¡ ¢
¡ ¢
f (x) g y h (z) d V =
f (x) d x ×
g y dy ×
h (z) d z
(III.114)
a
D
c
r
Exemple : L’exemple précédent est un très bon cas où l’on peut décomposer en 3 intégrales en posant
f (x) = x, g (y) = y et h(z) = z. On obtient rapidement
Z1
Ñ
Z1
Z1
¡
¢
f x, y, z d V =
xd x ×
yd y ×
zd z
(III.115)
0
D
=
=
=
0
µZ1
0
Ã·
tdt
t2
2
1
8
¶3
¸1 !3
0
(III.116)
(III.117)
0
(III.118)
3.4 Théorème de Fubini un domaine général Ω
On définit maintenant l’intégrale triple sur un domaine général E de l’espace R3 , i.e. la définition
d’un solide. La méthode proposée est similaire à celle que l’on a employé dans le cas des intégrales
doubles, à savoir que l’on enferme le domaine Ω dans un parallélépipède rectangle D. On définit alors la
¡
¢
fonction F x, y, z suivante
¢
¡
¢
½ ¡
¡
¢ f x, y, z
si x, y, z ∈ D
¡
¢
¡
¢
(III.119)
F x, y, z
0 si x, y, z ∈ Ω et x, y, z ∉ D
Dans la suite on se limite aux fonctions continues et à des régions simples et on a par définition
Ñ
Ñ
¡
¢
¡
¢
f x, y, z d V =
F x, y, z d V
(III.120)
Ω
D
37
3.4.1. Intégrale triple sur un domaine Ω de type I
Une région solide est dite de type I si elle fermée par les surfaces représentatives de fonctions continues de x et y, soit
¡
¢ª
¡
¢
©¡
¢ ¡
¢
(III.121)
Ω = x, y, z | x, y ∈ D, u 1 x, y ≤ z ≤ u 2 x, y
¡
¢
Où le domaine D est la projection de Ω sur le plan x, y (voir la figure III.18).
z
¡
¢
z = u 2 x, y
Ω
y
D
x
¡
¢
z = u 1 x, y
F IGURE III.18 – Exemple de domaine cubable Ω de type I pour les intégrales
triples
On définit alors l’intégrale triple d’une fonction f sur un domaine Ω de type I par
!
Ï ÃZu1 (x,y )
¡
¢
f x, y, z d V =
f x, y, z d z d A
Ω
u 1 (x,y )
D
Ñ
¡
¢
(III.122)
Une fois l’intégrale simple selon z calculée, on doit calculer une intégrale double sur un domaine quarrable D qui peut être de type I ou II comme présenté dans l’étude des intégrales doubles (voir sections
2.5.1. et 2.5.2.).
3.4.2. Intégrale triple sur un domaine Ω de type II
Une région solide est dite de type II si elle fermée par les surfaces représentatives de fonctions continues de y et z, soit
¡ ¢ª
¡ ¢
©¡
¢ ¡ ¢
(III.123)
Ω = x, y, z | y, z ∈ D, u 1 y, z ≤ x ≤ u 2 y, z
¡ ¢
Où le domaine D est la projection de Ω sur le plan y, z (voir la figure III.19).
On définit alors l’intégrale triple d’une fonction f sur un domaine Ω de type II par
Ñ
Ω
¡
¢
f x, y, z d V =
Ï ÃZu1 ( y,z )
D
u 1 ( y,z )
¡
¢
!
f x, y, z d x d A
(III.124)
De la même manière que précédemment, un fois l’intégrale simple selon x calculée, il reste à intégrer
une intégrale double.
3.4.3. Intégrale triple sur un domaine Ω de type III
Une région solide est dite de type III si elle fermée par les surfaces représentatives de fonctions continues de x et z, soit
ª
©¡
¢
(III.125)
Ω = x, y, z | (x, z) ∈ D, u 1 (x, z) ≤ y ≤ u 2 (x, z)
Où le domaine D est la projection de Ω sur le plan (x, z) (voir la figure III.20).
38
z
¡ ¢
x = u 1 y, z
D
Ω
y
x
¡ ¢
x = u 2 y, z
F IGURE III.19 – Exemple de domaine cubable Ω de type II pour les intégrales
triples
z
x = u 1 (x, z)
D
Ω
y
x
x = u 2 (x, z)
F IGURE III.20 – Exemple de domaine cubable Ω de type III pour les
intégrales triples
On définit alors l’intégrale triple d’une fonction f sur un domaine Ω de type III par
Ñ
Ω
¡
¢
f x, y, z d V =
Ï µZu1 (x,z)
D
u 1 (x,z)
¡
¢
¶
f x, y, z d y d A
(III.126)
Une fois de plus, il reste une intégrale double à calculer sur le domaine D.
3.5 Transformations et Jacobien pour les intégrales triples
Dans le cadre des intégrales doubles, on a présenté les outils généralisant les changements de variables. On donne ici la généralisation au cas des intégrales triples pour toutes transformations de trois
variables d’espace et particulièrement dans le cas des coordonnées cylindriques et sphériques.
3.5.1. Jacobien de la transformation dans le cas des intégrales triples
De la même manière que dans l’étude des intégrales doubles, il est possible de définir une transfor¡
¢
mation T qui permet de changer les variables x, y, z d’une région Ω vers les variables d’une autre région
S notées (u, v, w). Cette transformation est réalisée à l’aide de trois fonctions de classe C1 f (u, v, w),
g (u, v, w), h (u, v, w) soit
x = f (u, v, w) y = g (u, v, w) y = g (u, v, w)
(III.127)
¡
¢ ¡
¢
¡
¢
Il est possible d’inverser ces relations en notant F x, y, z , G x, y, z et H x, y, z , les fonctions telles que
¡
¢
u = F x, y, z
¡
¢
v = G x, y, z
¡
¢
w = H x, y, z
(III.128)
39
Cette transformation est appelée transformation réciproque notée T −1 . On peut alors définir la matrice
Jacobienne notée Φ (u, v, w) de la transformation, soit
∂x
 ∂u

 ∂y
Φ (u, v, w) = 
 ∂u
 ∂z

∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v

∂x
∂w 

∂y 

∂w 
∂z 
(III.129)
∂w
On lui associe le Jacobien de la transformation J, i.e. son déterminant
¯
¯ ∂x
¯
¡
¢ ¯¯ ∂u
∂ x, y, z
¯ ∂y
J=
=¯
∂ (u, v, w) ¯¯ ∂u
¯ ∂z
¯
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
¯
∂x ¯
¯
∂w ¯¯
∂y ¯
¯
∂w ¯¯
∂z ¯
¯
∂w
(III.130)
On suppose que la transformation est de classe C1 et le Jacobien associé est non nul. De plus, la fonc¡
¢
tion f x, y, z est considérée continue sur Ω, on peut alors transformer l’intégrale sur le domaine Ω en
l’exprimant sur le domaine S par la relation suivante
Ñ
Ω
¡
¢
f x, y, z d xd yd z =
Ñ
S
¡
¢
f x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w) |J| d ud vd w
(III.131)
3.5.2. Cas des coordonnées cylindriques
On désire calculer l’intégrale définie par la relation (III.120) sur une portion cylindrique. Pour simplifier le calcul de cette intégrale, on choisit d’utiliser le système de coordonnées cylindriques proposé à
la section 1.2.1. et donné par les équations (III.3). En utilisant la relation (III.132), il vient
Ñ
Ω
¡
¢
Ñ
S
¡ ¡
¢ ¡
¢ ¡
¢¢
f x ρ, θ, z , y ρ, θ, z , z ρ, θ, z |J| d ρd θd z
(III.132)
Il reste donc à calculer le Jacobien, soit
¡
¢ ¯¯cos θ −ρ sin θ 0¯¯
¯
¯
∂ x, y, z
¢ = ¯¯ sin θ ρ cos θ 0¯¯ = ρ
J= ¡
∂ ρ, θ, z
¯ 0
0
1¯
(III.133)
¡
¢
Il vient l’expression de l’intégrale triple de la fonction f x, y, z dans le système de coordonnées cylindriques, soit
Ñ
Ω
¡
¢
Ñ
S
¡ ¡
¢ ¡
¢ ¡
¢¢
f x ρ, θ, z , y ρ, θ, z , z ρ, θ, z ρd ρd θd z
(III.134)
Dans le cas de séparation des domaines (type I,II,III), on peut généralement exprimer cette dernière
intégrale par
Zβ Zh2 (θ) Zu2 (ρ,θ)
Ñ
¡
¢
¡
¢
(III.135)
f ρ, θ, z ρd zd ρd θ
Ω
α h 1 (θ) u 1 (ρ,θ)
40
3.5.3. Cas des coordonnées sphériques
En utilisant le même principe que précédemment, on désire calculer l’intégrale triple de la fonction
¡
¢
f x, y, z sur un domaine Ω pouvant être représenté par un coin sphérique décrit par
Ω=
©¡
ª
ª
ρ, θϕ | a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d
(III.136)
L’utilisation des coordonnées sphériques exprimées par les équations (III.5) et par utilisation de l’expression de la transformation de l’intégrale triple, il vient
Ñ
Ω
¡
¢
Ñ
S
¡ ¡
¢ ¡
¢ ¡
¢¢
f x ρ, θ, ϕ , y ρ, θ, ϕ , z ρ, θ, ϕ ρd ρd θd ϕ
(III.137)
On montre que le Jacobien de la transformation associé aux coordonnées sphériques donne
¡
¢ ¯¯cos θ sin ϕ −ρ sin θ sin ϕ ρ cos θ cos ϕ¯¯
¯
¯
∂ x, y, z
¢ = ¯¯ sin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ ρ sin θ cos ϕ ¯¯ = −ρ2 sin ϕ
J= ¡
∂ ρ, θ, ϕ
¯ cos ϕ
0
−ρ sin ϕ ¯
(III.138)
Or on a 0 ≤ ϕ ≤ π donc sur ce domaine sin ϕ ≥ 0, il vient l’expression de l’intégrale triple de la fonction f
en coordonnées sphériques, soit
Ñ
Ω
¡
¢
Ñ
S
¡
¢
f ρ, θ, ϕ ρ2 sin ϕd ρd θd ϕ
(III.139)
Dans le cas du coin sphérique défini par l’ensemble (III.136), on a
Ñ
Ω
¡
¢
Zd Zβ Zb
c
α
a
¡
¢
f ρ, θ, ϕ ρ2 sin ϕd ρd θd ϕ
(III.140)
Chapitre IV
Notions d’analyse vectorielle
1 Champ de vecteurs
1.1 Notions de champs de vecteurs
Au chapitre II, on a déjà présenté la notion de champ de vecteurs (2.1). On rappellera donc qu’un
champ de vecteurs est une fonction vectorielle qui associe un vecteur à chaque point de l’espace. On
donne sur la figure IV.2 un exemple de représentation d’un champ de vecteurs
F IGURE IV.1 – Exemple de champ de vecteurs dans le plan
1.1.1. Lignes de courant
Un concept très important associé à la notion de champ de vecteurs est celui de lignes de courant (encore appelée courbes intégrales ou lignes d’écoulement). Soit ~F un champ de vecteur et C , une
−−→
courbe paramétrique définie par un ensemble d’équations paramétriques notées c (t ), les équations des
lignes de courant sont alors données par
−−→
−→i
d c (t )
−−→ −−h−
−−
−→
= ~F ◦ c (t ) = F c (t )
dt
(IV.1)
Les lignes de courant sont tangentes au champ des vecteurs vitesses. Cette notion est très utilisée en physique et notamment en mécanique des fluides. On donne sur la figure IV.2, la représentation des lignes
de courant (lignes d’écoulement) autour d’un profil d’avion lors d’un test de soufflerie.
41
Chapitre IV. Notions d’analyse vectorielle
42
F IGURE IV.2 – Exemple de lignes de courant - écoulement autour d’un profil
d’avion lors d’un test en soufflerie
1.2 Opérateur Nabla
Le mathématicien Irlandais Willian Hamilton (1805-1865) a introduit un opérateur différentiel et vec→
−
toriel, très utilisé en physique, appelé opérateur Nabla, noté ∇ et défini (en coordonnées cartésiennes)
par
¶
µ
∂
∂
∂
→
−
∇=
(IV.2)
∂x ∂y ∂z
Dans la suite, on montrera l’application systématique de cet opérateur pour la définition des opérateurs
standards de l’analyse vectorielle (gradient, rotationnel, divergence, Laplacien, ...)
1.2.1. Opérateur Nabla en coordonnées cylindriques et sphériques
¡
¢
Soit les coordonnées cylindriques ρ, θ, z présentées dans le cas des intégrales multiples au chapitre
→
−
III, l’opérateur différentiel ∇ s’exprime dans ce système de coordonnées sous la forme suivante
→
−
∇=
µ
∂
∂ρ
1 ∂
ρ ∂θ
∂
∂z
¶
(IV.3)
¡
¢
Dans le cas des coordonnées sphériques ρ, θ, ϕ , on obtient
→
−
∇=
µ
∂
∂ρ
1 ∂
ρ ∂θ
1
∂
ρ sin θ ∂ϕ
¶
(IV.4)
2 Champ de gradient
2.1 Préliminaires
³
´
On définit les vecteurs de base de R3 , le triplet ~
i,~
j ,~
k tels que
~
i ∧~
j =~
k
~
i .~
i =~
j .~
j =~
j .~
j =1
~
~
~
~
~
~
i . j = i .k = j .k = 0
~
j ∧~
k =~
i ~
k ∧~
i =~
j
(IV.5)
(IV.6)
(IV.7)
Ces trois relations définissent le fait que la base formée par ces trois vecteurs est orthonormée et directe.
2. Champ de gradient
43
2.2 Définition du gradient d’une fonction scalaire
¡
¢
Soit une fonction scalaire f de trois variables indépendantes x, y, z ∈ R3 . On définit le vecteur gra−−−−→
dient de f (en coordonnées cartésiennes), noté grad f , le vecteur
−−−−→ ∂ f
∂f ~ ∂f ~
~
grad f =
k
i+
j+
∂x
∂y
∂z
(IV.8)
On peut alors formuler les remarques suivantes
➊ Le vecteur gradient d’une fonction scalaire f est un champ de vecteurs appelé champ de gradient.
C’est un opérateur qui transforme un champ scalaire en un champ de vecteurs
➋ La notion de gradient est la généralisation du concept de dérivée spatiale. Cet opérateur est l’équivalent de la dérivée temporelle (champ des vecteurs vitesses) mais dans l’espace
2.3 Propriétés
Une fois le vecteur gradient défini, il est possible d’énoncer les propriétés fondamentales de celui-ci.
¡
¢
Le gradient d’une fonction f au point M x, y, z est un vecteur dont
➊ La direction est celle de la variation la plus rapide (en espace) du champ scalaire f . Le gradient
donne donc la direction de la pente la plus élevée.
➋ Le sens correspond à la croissance du champ scalaire f
➌ La norme du vecteur gradient donne la dérivée du champ scalaire f par rapport au déplacement
On donne sur les figures ,une représentation d’un champ scalaire f par courbes de niveaux (voir cours
sur les fonctions de plusieurs variables) ainsi que la représentation du champ de gradient associé.
a.
b.
F IGURE IV.3 – Exemples de courbes de niveaux (dégradés) et le champ de
gradient associé à une surface plane (a.) et une surface conique (b.)
Question associée : Pouvez-vous définir en fonction des courbes de niveaux, l’allure des surfaces associées aux deux figures précédentes ?
2.4 Intégrale curviligne d’un champ de gradient le long d’une courbe
Dans le cours sur les intégrales curvilignes, on a présenté cet outil comme une possibilité pour calculer le travail d’une force le long d’un chemin défini par une courbe C . Considérons la fonction scalaire
¡
¢
f de trois variables réelles indépendantes x, y, z ∈ R3 , le vecteur gradient associé à cette fonction, noté
~F, s’écrit
−−−−→ ∂ f
∂f ~ ∂f ~
~
~F = grad f =
k
(IV.9)
i+
j+
∂x
∂y
∂z
−
→
Or, si l’on considère le chemin infinitésimal défini par le vecteur d l tel que
−
→
d l = d x~
i +d y~
j + d z~
k
(IV.10)
44
Il vient immédiatement l’expression du travail élémentaire d W, soit
−
→ ∂f
∂f
∂f
d W = ~F.d l =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
(IV.11)
Par intégration de cette forme différentielle le long de la courbe C , on obtient
Z
C
ω=
Z
C
dW =
Z
C
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
(IV.12)
On retrouve alors l’expression de l’intégrale curviligne d’une forme différentielle exacte et on peut en
déduire le théorème suivant : Si l’intégrale curviligne suivante est indépendante du chemin suivi (forme
différentielle exacte)
Z
Z
−
→
(IV.13)
ω = ~F.d l
C
C
Alors ~F est un champ de vecteurs dit conservatif, i.e. il existe une fonction scalaire f (appelée potentiel
scalaire) telle que
−−−−→
~F = grad f
(IV.14)
La réciproque de ce théorème est aussi importante : si ~F est un champ de gradient, alors la circulation de
ce champ de vecteurs le long de la courbe C ne dépend pas du chemin suivi.
2.5 Gradient et opérateur Nabla
Il est possible d’écrire le gradient d’une fonction f à l’aide de l’opérateur Nabla introduit précédemment. Il vient par définition que
−→ −−−−→
∇ f = grad f
(IV.15)
Soit dans le cas des coordonnées cartésiennes
µ
∂f
−→
∇f =
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
¶
(IV.16)
∂f
∂z
(IV.17)
Dans le cas des coordonnées cylindriques
µ
∂f
−→
∇f =
∂ρ
1 ∂f
ρ ∂θ
¶
Et dans le cas des coordonnées sphériques
µ
∂f
−→
∇f =
∂ρ
1 ∂f
ρ ∂θ
1 ∂f
ρ sin θ ∂ϕ
¶
(IV.18)
2.6 Règles de calculs du gradient
¡
¢
Soit deux fonctions scalaires f et g des trois variables indépendantes x, y, z ainsi que deux constantes
réelles (λ1 , λ2 ) ∈ R2 , alors
¢
−→
→
−¡
−→
∇ λ1 f + λ2 g
= λ1 ∇ f + λ2 ∇g
−→
→
−¡ ¢
−→
∇ fg
= g ∇ f + f ∇g
(IV.19)
(IV.20)
3. Rotationnel d’un champ de vecteur
45
3 Rotationnel d’un champ de vecteur
−−¡−−−−→¢
Soit A x, y, z , un champ de vecteurs tel que
¢
 ¡
A x x, y, z
−−¡−−−−→¢
¡
¢
A x, y, z = A y ¡ x, y, z ¢
A z x, y, z
(IV.21)
Avec Ai des fonctions scalaires de trois variables réelles indépendantes. On définit alors le rotationnel
−−−→
du champ ~
A, noté rot ~
A, le champ de vecteurs suivant
−−−→ →
−
rot ~
A = ∇ ∧~
A
(IV.22)
Dans le cas des coordonnées cartésiennes, on obtient
µ
¶
∂A z ∂A y ∂A x ∂A z ∂A y ∂A x
→
− ~
∇ ∧A=
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
(IV.23)
L’opérateur rotationnel transforme donc un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Le rotationnel d’un champ de vecteur est une mesure de la tendance à pivoter qu’aurait un petit objet situé
à l’endroit étudié et sur lequel la grandeur vectorielle aurait un effet quelconque d’entrainement. Dans
une tornade, le vent tourne autour de l’oeil du cyclone et le champ des vecteurs vitesses du fluide (vent)
a donc un rotationnel non nul autour de l’oeil.
Le physicien Ecossais James Clerk Maxwell (1831-1879), père de la théorie de l’électromagnétisme, proposa la notation anglo-saxonne curl, soit
−−→
curl~
A = rot~
A
(IV.24)
3.1 Rotationnel d’un champ de gradient
−→
Soit un champ de gradient ∇ f . Le rotationnel de ce champ de gradient est alors donné par
→
− −→
∇ ∧∇f =
µ
∂2 f
∂2 f ∂2 f
∂2 f ∂2 f
∂2 f
−
,
−
,
−
∂y∂z ∂z∂y ∂z∂x ∂x∂z ∂x∂y ∂y∂x
¶
(IV.25)
Or par utilisation du théorème de Cauchy-Schwartz (voir cours sur les fonctions de plusieurs variables),
on obtient
→
− −→
∇ ∧ ∇ f =~0
(IV.26)
On en déduit un résultat important à savoir que le rotationnel d’un champ de gradient est nul. On retrouve une fois de plus le fait que la circulation d’un champ de gradient le long d’une courbe fermée est
nulle.
3.2 Règles de calculs avec l’opérateur rotationnel
Soit deux champs de vecteurs notés ~
A et ~
B, deux fonctions scalaires réelles f et g de trois variables
2
indépendantes ainsi que (λ1 , λ2 ) ∈ R , alors
¢
→
− ¡ ~
→
−
→
−
∇ ∧ λ1 A + λ2~
B = λ1 ∇ ∧ ~
A + λ2 ∇ ∧ ~
B
→
− ¡ ~¢
→
− ~ −→ ~
∇ ∧ f A = f ∇ ∧ A+∇f ∧ A
−→ −→
→
− ³ −→´
∇ ∧ f ∇g
= ∇ f ∧ ∇g
(IV.27)
(IV.28)
(IV.29)
46
3.3 Le théorème de Stokes
Dans le cas des études sur les intégrales multiples, un théorème d’intégration important a été présenté : le théorème de Green. Ce théorème relie une intégrale double sur un domaine plan D délimité par
une courbe plane fermée C à une intégrale curviligne le long de cette même courbe. La généralisation
du théorème de Green au cas de surfaces délimitées par des courbes fermées non planes est associée au
théorème de Stokes.
Considérons une surface S dont le bord est une courbe fermée et orientée, notée C . Cette surface est
caractérisée par sa normale (vecteur normal) notée ~
n et orientée tel que le déplacement élémentaire,
−
→
noté d l , le long de C forme avec ce vecteur normal un repère direct (règle du tire-bouchon) de l’espace
affine (voir figure IV.4). Soit un champ de vecteurs ~
A dont les composantes sont continues et possèdent
des dérivées partielles sur une région ouverte de l’espace R3 contenant S .
~
n
~
n
z
S
C
x
y
Sens de parcours de C
F IGURE IV.4 – Figure associée au théorème de Stokes
On peut alors énoncé le théorème de Stokes par
Ï ³
I
−
→
→
− ~´
~
A.d l =
∇ ∧ A .~
nd S
(IV.30)
S
C
On peut encore noté l’analogie entre le Théorème de Stokes et le théorème fondamental de l’intégration,
i.e. la relation entre une forme intégrée (terme associé à l’intégrale curviligne) et l’intégrale d’une dérivée
(le terme présentant le rotationnel, celui-ci pouvant exprimé une notion de dérivée). On en déduit donc
que la circulation d’un champ de vecteurs ~
A le long de la courbe fermée C est égale à l’intégrale de son
rotationnel sur toute surface S s’appuyant sur la courbe C .
4 Divergence d’un champ de vecteurs
−−¡−−−−→¢
Soit le champ de vecteurs A x, y, z défini par
¢
 ¡
A x x, y, z
−−¡−−−−→¢
¡
¢
A x, y, z = A y ¡ x, y, z ¢
A z x, y, z
(IV.31)
On définit l’opérateur scalaire appelé divergence du champ de vecteurs ~
A, noté div~
A, l’opérateur tel que
−−→
div~
A = ∇.~
A
(IV.32)
→
− ~ ∂A x ∂A y ∂A z
∇ .A =
+
+
∂x
∂y
∂z
(IV.33)
Soit en coordonnées cartésiennes, il vient
L’opérateur divergence transforme donc un champ de vecteurs en un champ scalaire. La notion de divergence s’interprète souvent à l’aide de la notion de flux et on l’associe en physique à des lois de conservation (conservation de la masse, de la quantité de mouvement, ...). Plus généralement, la notion de
divergence rend compte de la variation infinitésimale d’une quantité vectorielle en un point de l’espace.
4. Divergence d’un champ de vecteurs
47
4.1 Rotationnel et divergence
→
−
Soit un champ de vecteurs ∇ ∧ ~
A, on désire calculer la divergence de ce champ de vecteurs, soit
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂ ∂A z ∂A y
∂ ∂A x ∂A z
∂ ∂A y ∂A x
→
− ³→
− ~´
∇. ∇ ∧A =
+
+
(IV.34)
−
−
−
∂x ∂y
∂z
∂y ∂z
∂x
∂z ∂x
∂y
Par utilisation du théorème de Cauchy-Schwartz, il vient un résultat important
´
→
− ³→
−
∇ . ∇ ∧~
A =0
(IV.35)
La divergence d’un champ de vecteurs définie comme étant le rotationnel d’un champ de vecteurs ~
A est
nulle.
4.2 Règles de calculs avec l’opérateur divergence
Soit deux champs de vecteurs notés ~
A et ~
B, une fonction scalaire f de trois variables réelles indépendantes et (λ1 , λ2 ), alors
¢
→
− ¡ ~
→
−
→
−
∇ . λ1 A + λ2~
B = λ1 ∇ .~
A + λ2 ∇ .~
B
(IV.36)
→
− ¡ ~¢
→
− ~ ~ −→
∇ . f A = f ∇ .A + A.∇ f
(IV.37)
4.3 Divergence et Théorème de Green
Dans l’études des intégrales multiples, une première forme du théorème de Green a été présentée. Il
est possible d’exprimer sous une autre forme appelée forme vectorielle du théorème de Green. Considérons toujours les hypothèses formulées pour exprimer le théorème de Green tout en définissant la
notion de vecteur normal ~
n et vecteur tangent ~t en un point de la courbe orientée et fermée C délimitant le domaine D (figure IV.5).
y
~t
~
n
D
C
x
F IGURE IV.5 – Définition du vecteur normal n et tangentiel t en un point de
la courbe C dans le cadre deu théorème de Green
Si la courbe C est représentée par les équations paramétriques x (t ) et y (t ), on définit alors le vecteur
−−→
position r (t ), soit
−−→
r (t ) = x (t )~
i + y (t ) ~
j
(IV.38)
On peut alors exprimer les vecteurs normal et tangentiel par
~t =
~t =
1 d x~
1 d y~
° °
i+° °
i
°dr ° dt
°dr ° dt
° °
° °
°dt °
°dt °
1 d x~
1 d y~
° °
i+° °
i
°dr ° dt
°dr ° dt
° °
° °
°dt °
°dt °
(IV.39)
(IV.40)
48
Il est alors possible de définir le théorème de Green sous forme vectorielle. Soit un champ de vecteurs F,
le théorème de Green sous forme vectorielle s’exprime par
I
C
~F.~
nd l =
Ï
D
→
−~
∇ .Fd S
(IV.41)
4.4 Théorème de Flux divergence
Le théorème de Flux-Divergence (ou théorème de Gauss ou encore de Green-Ostrogradski) permet
d’exprimer le flux d’un champ de vecteurs ~
A à travers une surface fermée S .
Soit le domaine Ω (volume) délimité par la surface S et le vecteur normal ~
n orienté vers l’extérieur du
volume, le théorème de Flux-Divergence s’exprime alors par
Ï
S
~
A.~
nd S =
Ñ
Ω
→
− ~
∇ .Ad V
(IV.42)
On retrouve une fois de plus un terme sous forme intégré (intégrale de surface) et un terme comme
l’intégrale d’une dérivée (associé à l’intégrale de la divergence). Le premier terme (intégrale de surface)
est aussi appelé flux du champ de vecteurs ~
A à travers la surface S .
5 Laplacien d’une fonction scalaire
Soit une fonction scalaire f de trois variables indépendantes, continue et dont les dérivées partielles
premières et secondes sont définies. On définit le Laplacien de la fonction f , noté ∆ f la fonction scalaire
obtenue par la divergence du gradient de la fonction f soit :
→
− −→
∆ f = ∇ .∇ f
(IV.43)
L’opérateur Laplacien transforme donc une fonction scalaire en une autre fonction scalaire. Cet opérateur est historiquement associé au mathématicien Français Pierre-Simon Laplace (1749-1827). En physique, cet opérateur apparaît dans un très grand nombre de théories (thermique, thermodynamique,
électrostatique, ...). On peut notamment cité l’équation dite de la chaleur (équation différentielles aux
dérivées partielles) dans le cas permanent (indépendant du temps) et sans sources extérieures de chaleur, avec T la fonction scalaire température absolue fonction uniquement des variables d’espaces, soit
∆T = 0 + conditions aux limites
(IV.44)
Cette équation est appelée équation de Laplace.
5.1 Règles de calculs avec l’opérateur Laplacien
Soit deux fonctions scalaires f et g de trois variables indépendantes de R3 et (λ1 , λ2 ) ∈ R2 . On peut
alors définir les règles suivantes
¡
¢
∆ λ1 f + λ2 g
= λ1 ∆ f + λ2 ∆g
¡ ¢
−→ −→
∆ fg
= g ∆ f + 2∇ f .∇g + f ∆g
(IV.45)
(IV.46)

Géométrie différentielle

Transcription

Documents pareils

Reconnaissance après la naissance

Mesure et Intgration - exigences aux tudiants

les machines d`occasion bihler

14/05/12 Réalisation Titre (traduction éventuelle) Année Côte IMDB

Intégrale par la méthode de Monte-Carlo

Lycée Technique de Taza CPGE de Taza FILIÈRE MP DEVOIR

Calculatrice graphique Casio Graph85 et Graph85 SD 14 : Calcul d

Suzuki Grand Vitara 2003 204000 Km

Demande d`une copie d`acte de naissance