Chapitre 10 : Conditionnement et indépendance

Chapitre 10 : Conditionnement et indépendance
QCM Pour bien commencer
(cf. p. 360 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Exercice n°1
A et B sont des événements incompatibles d’une même expérience aléatoire tels que P(A) = 0,4 et
P( B ) = 0,6.
La probabilité de la réunion des événements A et B est :
A 1.
B 0,24.
C 0,4.
D 0,8.
Réponse juste : D.
P(A∪B) = P(A) + P(B)
= P(A) + (1 – P( B ))
= 0,4 + (1 – 0,6) = 0,8.
(incompatibles)
(événement contraire)
Exercice n°2
A et B sont des événements d’une même expérience aléatoire tels que P( A ) = 0,7, P(B) = 0,4 et
P(A∪B) = 0,5.
La probabilité de l’intersection des événements A et B est :
A 0,9.
B 0,2.
C 0,1.
D 0,08.
Réponse juste : B.
P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A∪B)
= (1 – P( A )) + P(B) – P(A∪B)
= (1 – 0,7) + 0,4 – 0,5 = 0,2.
(événement contraire)
Exercice n°3
A et B sont des événements d’une même expérience aléatoire tels que P( A ∪ B ) = 0.
On peut alors affirmer que :
A l’intersection de A et B est l’événement certain.
B les événements A et B sont incompatibles.
C l’événement A est l’événement contraire de l’événement B.
D la réunion de A et de B est l’événement certain.
Réponses justes : A et D.
P( A ∪ B ) = 0. Par suite, A = B = ∅ et A = B = E.
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Exercice n°4
Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés octaédriques dont les faces sont numérotées de 1 à
8, puis à faire la somme des numéros des faces supérieures obtenues.
a. La probabilité d’obtenir une somme égale à 5 est :
A
4
.
64
B
4
.
36
C
2
.
36
D
2
.
64
Réponse juste : A.
4 issues sur 64 réalisent cet événement :
Dé 1 \ Dé 2 1
2
1
2
3
2
3
4
3
4
5
4
5
6
5
6
7
6
7
8
7
8
9
8
9 10
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8
9
10
11
12
13
14
15
16
b. La probabilité d’obtenir une somme inférieure ou égale à 11 est :
A
15
.
64
B
35
.
36
C
49
.
64
D
1
.
36
Réponse juste : C.
49 issues sur 64 réalisent cet événement :
Dé 1 \ Dé 2 1
2
1
2
3
2
3
4
3
4
5
4
5
6
5
6
7
6
7
8
7
8
9
8
9 10
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6
7
8
9
10
11
12
13
14
c. La probabilité d’obtenir au moins une face numérotée 4 est :
A
15
.
64
B
2
.
32
C
11
.
32
D
1
.
6
Réponse juste : A.
15 issues sur 64 réalisent cet événement : (4 ; 1) ; (4 ; 2)…
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Exercice n°5
Dans un lycée, un sondage sur les loisirs de 150 élèves en classe de Seconde indique que 15 élèves
font du sport et jouent d’un instrument de musique, 45 élèves font du sport et 70 élèves ne pratiquent
ni sport, ni musique.
On interroge au hasard un élève de Seconde de ce lycée.
a. La probabilité qu’il pratique un sport est :
A
15
.
45
B 0,3.
C
45
.
150
D
7
.
15
Réponses justes : B et C.
En noir les données de l’énoncé ; en rouge les données calculées :
Font du sport Ne font pas de sport
Jouent d’un instrument
15
35
Ne jouent pas d’un instrument
70
30
45
Total
105
Lecture du tableau :
Total
50
100
150
45
= 0,3.
150
b. La probabilité qu’il ne pratique pas de sport et qu’il joue d’un instrument de musique est :
B
70
.
105
Lecture du tableau :
35
.
150
A
70
.
150
C
35
.
105
D
35
.
150
Réponse juste : D.
c. La probabilité qu’il ne joue pas d’un instrument de musique est :
A
1
.
3
B
2
.
3
C
1
.
15
D 0,4.
Réponse juste : B.
Lecture du tableau :
100 2
= .
150 3
d. La probabilité qu’il pratique un sport ou qu’il joue d’un instrument de musique est :
A
10
.
15
B
Réponse juste : D.
Lecture du tableau :
3
.
15
C
7
.
15
D
8
.
15
15 + 35 + 30 80
8
.
= =
150
150 15
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Exercice n°6
Lors d’une interrogation écrite, Yoann décide de répondre au hasard aux trois questions qui composent
un QCM. Pour chaque question, une seule réponse parmi les quatre proposées est exacte.
a. La probabilité que Yoann ait au plus une bonne réponse est :
A
9
.
64
B
27
.
64
C
54
.
64
D
63
.
64
Réponse juste : C.
On appelle X la variable aléatoire qui à toute copie possible rendue par Yoann associe le
nombre de bonnes réponses au QCM. X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Le QCM étant composé de trois questions (supposées indépendantes !), n = 3. Le nombre de
1
réponses proposées étant de 4 avec une seule exacte, p = .
4
54
P(« Yoann ait au plus une bonne réponse ») = P(X = 0) + P(X = 1) =
.
64
b. La probabilité que Yoann ait au moins deux bonnes réponses est :
A
1
.
64
B
10
.
64
C
27
.
64
D
54
.
64
Réponse juste : B.
L’événement contraire de « Yoann a au moins deux bonnes réponses » est l’événement
« Yoann a au plus une bonne réponse ».
54 10
Par suite, P(« Yoann ait au moins deux bonnes réponses ») = 1 –
=
.
64 64
Exercice n°7
Lors de l’ouverture d’un nouveau magasin, chaque client peut gagner un
bon d’achat de 15 euros en tournant une roue représentée ci-contre. Le
magasin autorise trois tentatives par client.
a. La probabilité qu’un client gagne dès la première tentative un bon
d’achat est :
A
1
.
3
B
1
.
9
C
1
.
18
D
1
.
27
Réponse juste : B.
4 secteurs de 10 degrés. Donc
40
4 1
.
= =
360 36 9
b. La probabilité qu’un client gagne à la troisième tentative un bon d’achat est :
A
1
.
729
B
8
.
729
C
16
.
729
D
64
.
729
Réponse juste : D.
8 8 1 6 4
× × = .
9 9 9 729
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