denombrement

Filière E
Denis Pasquignon
Dénombrement
Résumé du cours :
1. Ensembles finis
• Définitions E et F sont équipotents si il existe une bijection de E sur F .
E est dénombrable si E est équipotent à N .
E est un ensemble fini si E est vide ou il existe n ∈ N ∗ tel que E soit équipotent à
{1, ..., n}. Dans ce cas, le cardinal de E, noté card(E), est 0 si E est vide, n dans l’autre
cas.
• card(E
S
F ) = cardE + cardF − card(E
T
F ), card(E × F ) = card(E) × card(F ).
• Formule de Poincaré.
2. p-listes d’un ensemble E à n éléments
• Définition Une p-liste d’éléments de E est un p-upletde E.
• Le nombre de p-listes d’un ensemble à n éléments est np .
• Le nombre d’applications de Ep dans Fn : np .
3. p-listes d’éléments distincts de E à n éléments
• Définition
Une p-liste d’éléments distincts de E est une p-liste (x1 , ..., xp ) d’éléments de E telle que :
xi 6= xj pour i 6= j.
• Le nombre de p-listes d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments est
• Le nombre d’injections de Ep dans Fn : (n ≥ p) :
n!
(n−p)!
n!
(n−p)!
• Une permutation de E est toute n-liste d’éléments distincts de E.
Le nombre de permutations est n!.
• le nombre de bijections de En dans Fn ( n = p) : n!.
4. Parties de E à p éléments , Combinaisons
• Définition
Une combinaison à p éléments d’un ensemble E toute partie de E contenant p éléments.
• Le nombre de combinaisons à p éléments de E se note
n
p
•
– Pour 0 ≤ p ≤ n,
n
p
=
n
n−p
=
n
p
et l’on a :
n!
.
(n − p)!p!
– Formule de Pascal : pour 1 ≤ p ≤ n,
n
p
=
n−1
p
+
n−1
p−1
n
– Binôme de Newton : ∀n ∈ N et ∀(a, b) ∈ C 2 , (a + b) =
Pn
p=0
n
p
an−p bp .
– Formule de Vandermonde (A redémontrer dans les problèmes): pour (n, m, k) ∈ N 3 ,
Pk n m Pk n2
= n+m
, cas particulier :
= 2n
,
n
k−i
k
i=0 i
i=0 i
• Soit E un ensemble de cardinal n (n ∈ N ∗ ). Soit P (E) l’ensemble des parties de E, alors
card[P (E)] = 2n .
5. Applications strictement croissantes de {1, ..., p} dans {1, ..., n}
Le nombre d’applications strictement croissantes de Ep dans Fn est
Le nombre d’applications croissantes de Ep dans Fn est n+p−1
.
p
1
n
p
.
Exercice 1
1. Une puce se déplace sur une droite. Elle part d’un point A et fait des sauts successifs
d’égale longueur soit à droite, soit à gauche. Quel est le nombre de trajets possibles que la puce
peut effectuer en n sauts ? Quel est le nombre de trajets possibles lorsque au bout de n sauts,
elle est revenue en A ?
2. Notre puce se déplace maintenant dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j). Elle
part de l’origine 0, si après le ième saut elle se trouve en Mi = (xi , yi ), alors après le (i + 1)ème
saut, elle se trouve en Mi+1 = (xi+1 , yi+1 ) avec (xi+1 , yi+1 ) = (xi + 1, yi ) ou (xi+1 , yi+1 ) =
(xi , yi + 1) :
(a) Quel est le nombre de chemins possibles effectués en n sauts ?
(b) a et b sont deux entiers strictement positifs, M (a, b) est le point de coordonnées (a, b). Quel
est le nombre de chemins possibles pour aller de 0 à M (a, b) ?
Exercice 2 On considère une population de N individus, on effectue n prélèvements successifs avec
remise d’un individu dans cette population. La suite de ces prélèvements constitue un résultat.
1. Combien existe-t-il de résultats différents pour lesquels un individu X est prélevé k fois ?
2. Combien existe-t-il de résultats différents pour lesquels X est prélevé m fois au cours des r
premiers tirages (m ≤ r ≤ n) ?
3. Combien existe-t-il de résultats différents pour lesquels X est prélevé pour la sième fois au tième
tirage (s ≤ t ≤ n) ?
Exercice 3 Soit E un ensemble fini à n éléments, et soient X et Y deux parties de E. Calculer le
nombre de couples (X, Y ) tels que X ⊂ Y .
Exercice 4 Oral HEC : Dans un zoo, un gardien doit distribuer 8 bananes à cinq singes. On demande
le nombre de façons de distribuer ces bananes si :
• les bananes et les singes sont discernables, chaque singe pouvant recevoir de 0 à 8 bananes.
• les bananes sont indiscernables, les singes sont discernables et chaque singe peut recevoir de 0 à
8 bananes.
• les bananes sont indiscernables, les singes sont discernables et chaque singe reçoit au moins une
banane.
Exercice 5 Soit n ∈ N ∗ , on appelle mot de n lettres toute n-liste à valeurs dans {0, 1}. Par exemple
(0010) est un mot de 4 lettres et (111) est un mot de 3 lettres. On appellera Mn l’ensemble des mots
de n lettres.
1. a) Quel est le nombre de mots de n lettres ?
b) Quel est le nombre de mots de n lettres contenant p fois la lettre 1 (p ∈ N , p ≤ n) ?
2. On appelle An l’ensemble des mots de n lettres ne comportant pas deux 1 consécutifs et an le
cardinal de An . On note Bn l’ensemble des mots de An se terminant par 1 et Cn l’ensemble des
mots de An se terminant par 0.
a) Calculer a1 , a2 , a3 .
b) En utilisant Bn et Cn , montrer que : ∀n ∈ N , an+2 = an + an+1 .
c) Déterminer an en fonction de n et trouver un équivalent de an lorsque n tend vers +∞.
3. 17712 personnes ont participé à un concours qui comportait vingt questions numérotées de 1 à 20.
Au dépouillement, les organisateurs constatent qu’aucun participant n’a répondu juste à deux
questions consécutives. Peut-on affirmer que deux candidats au moins ont répondu de la même
manière au questionnaire : c’est-à-dire juste aux mêmes questions et faux aux mêmes questions?
Exercice 6 Soit En et Fk deux ensembles finis tels que card(En ) = n et card(Fk ) = k et n > k. On
désigne par Sn,k le nombre d’applications surjectives de En dans Fk .
1. Calculer Sn,2 .
2. Montrer que pour tout n > 1 et tout k > 0, Sn,k = k(Sn−1,k + Sn−1,k−1 ).
3. Construire un tableau donnant Sn,k pour tous n, k compris entre 1 et 6.
4. Dénombrer à l’aide de la formule de Poincaré l’ensemble des applications non surjectives de En
dans Fk . En déduire
Sn,k =
k
X
i
(−1)
i=0
2
k
(k − i)n .
i
Exercice 7 Soit E = {1, 2, ..., n} avec n ∈ N ∗
1. Trouver le nombre de couples (i, j) de E 2 tels que i > j.
2. Trouver le nombre de couples (i, j) de E 2 tels que i ≤ j.
3. Trouver le nombre de triplets (i, j, k) de E 3 tels que i < j < k.
Exercice 8 Soient (p, n) ∈ N 2 tels que 0 < p ≤ n. Montrer que :
n X
k
k=p
p
=
n+1
p+1
Exercice 9 Oral HEC : On dispose d’un alphabet de 3 lettres a, b, c. Combien y a-t-il de mots de n
lettres commençant par a et finissant par a, n’ayant jamais deux lettres identiques consécutives.
Exercice 10 Oral HEC : Soit n ∈ N ∗ , on considère les suites de n termes à valeurs dans {0, 1, ...., 9}.
On note : an le nombre de ces suites ne comportant pas trois chiffres identiques consécutifs, bn le nombre
de suites ne comportant pas trois chiffres identiques consécutifs et dont le dernier et l’avant dernier
chiffre sont différents, cn le nombre de suites ne comportant pas trois chiffres identiques consécutifs et
dont le dernier et l’avant dernier chiffre sont égaux.
1. Calculer a1 , a2 et a3 .
2. Montrer que : bn+1 = 9an et cn+1 = 9an−1 .
3. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , an+2 = 9an+1 + 9an . En déduire la valeur de an .
4. Montrer par un raisonnement de dénombrement que :
E(n/2)
an = 10
X n − k k=0
sol : an =
√
√
3+√ 5 1+ 5 n
( 2 )
2 5
+
k
9n−k−1 .
√
√
−3+
√ 5 ( 1− 5 )n .
2
2 5
1. Combien d’anagrammes différentes peut-on composer : a) avec les lettres du mot BAL ? b) avec
les lettres du mot BALKAN ?
2. Une multinationale décide de lancer un dentifrice pour chien. Le nom de cet indispensable produit
doit comporter trois lettres.
(a) Combien de noms peut-on théoriquement former avec toutes les lettres de l’alphabet ?
(b) Combien de noms peut-on former comportant une consonne et deux voyelles?
(c) Combien de noms peut-on former comportant une consonne et deux voyelles différentes ?
3. Vous devez organiser une ronde de 2n enfants. Combien y a-t-il de dispositions possibles ? S’il y
a n filles et n garçons, et si vous désirez respecter l’alternance fille/garçon, combien de possibilités
avez-vous alors ?
4. Combien de nombres de trois chiffres tous distincts peut-on former à l’aide des chiffres 2, 3, 4, 5,
6, 7 et 9. Combien de ces nombres sont inférieurs à 400 ? Combien sont des multiples de 5 ?
5. A un jeu télévisé, un candidat doit répondre à 7 questions choisies parmi dix.
(a) Combien de choix a-t-il ?
(b) Combien de choix a-t-il sachant qu’il doit répondre à au moins 3 des 4 premières ?
6. Cinquante élèves ont le choix entre trois spectacles. Il y a 20 places disponibles pour le premier,
12 pour le second et 18 pour le dernier. De combien de façons peut-on faire la distribution ?
7. De combien de manières peut-on répartir 30 étudiants en groupes de trois ?
8. Poker : On tire d’un seul coup cinq cartes parmi les 32 cartes d’un jeu. Combien y a-t-il de
résultats possibles ? Parmi ceux-ci, combien y en a-t-il qui correspondent à : a) une paire, b)
une double paire, c) un brelan, d) un full, e) un carré.
3
9. Bridge : Combien un joueur donné au bridge peut-il recevoir de mains différentes ? Parmi cellesci, combien y en a-t-il où il reçoit : a) un as exactement, b) au moins un as, c) un as et un roi
exactement, d) au moins un as et au moins un roi.
10.
(a) Une puce se déplace sur une droite. Elle part d’un point A et fait des sauts successifs
d’égale longueur soit à droite, soit à gauche. Quel est le nombre de trajets possibles que la
puce peut effectuer en n sauts ? Quel est le nombre de trajets possibles lorsque au bout de
n sauts, elle est revenue en A ?
(b) Notre puce se déplace maintenant dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j).
Elle part de l’origine 0, si après le ième saut elle se trouve en Mi = (xi , yi ), alors après le
(i + 1)ème saut, elle se trouve en Mi+1 = (xi+1 , yi+1 ) avec (xi+1 , yi+1 ) = (xi + 1, yi ) ou
(xi+1 , yi+1 ) = (xi , yi + 1) : a) Quel est le nombre de chemins possibles effectués en n sauts
? b) a et b sont deux entiers strictement positifs, M (a, b) est le point de coordonnées (a, b).
Quel est le nombre de chemins possibles pour aller de 0 à M (a, b) ?
11. On considère une population de N individus, on effectue n prélèvements successifs avec remise
d’un individu dans cette population. La suite de ces prélèvements constitue un résultat.
(a) Combien existe-t-il de résultats différents pour lesquels un individu X est prélevé k fois ?
(b) Combien existe-t-il de résultats différents pour lesquels X est prélevé m fois au cours des r
premiers tirages (m ≤ r ≤ n) ?
(c) Combien existe-t-il de résultats différents pour lesquels X est prélevé pour la sième fois au
tième tirage (s ≤ t ≤ n) ?
12. On considère un ensemble E de n personnes (n = 2). Chacune d’elles envoie un cadeau de Noel
et un seul à l’une quelconque des (n − 1) autres personnes. a) De combien de manières différentes
les n cadeaux peuvent-ils être adressés ? b) Julie fait partie de l’ensemble des n personnes. On
note f (j) le nombre de manières d’envoyer les cadeaux de telle sorte qu’elle reçoive exactement
j cadeaux (0 ≤ j ≤ n) . Calculer f (j).
13. Soit E un ensemble fini à n éléments, et soient X et Y deux parties de E. Calculer le nombre
de couples (X, Y ) tels que X ⊂ Y .
14. Soit E = {1, 2, ..., n} avec n ∈ N ∗
(a) Trouver le nombre de couples (i, j) de E 2 tels que i > j.
(b) Trouver le nombre de couples (i, j) de E 2 tels que i ≤ j.
(c) Trouver le nombre de triplets (i, j, k) de E 3 tels que i < j < k.
15. Calculer : S1 =
16.
Pn
k=0
(a) Calculer S1 =
entière.
k
n
k
PE(n/2)
k=0
Pn
, S2 =
n
2k
(b) Calculer de même : Rn =
k=0
k2
et S1 =
PE(n/2)
k=0
n
k
, S3 =
k=0 k+1
PE((n−1)/2)
n
2k+1
k=0
(−1)k
n
2k
(nk)
Pn
et Tn =
2
17. Soient (p, n) ∈ N tels que 0 < p ≤ n. Montrer que :
où E désigne la fonction partie
PE((n−1)/2)
Pn
k=p
k=0
k
p
=
(−1)k
n
2k+1
.
n+1
p+1
∗ 3
18. égalité de Van der Monde Soient (n, p, m) ∈ (N ) tels que p ≤ n + m . Montrer que :
m+n
p
=
p X
m
n
k=0
k
p−k
.
a) en écrivant que (x + 1)m+n = (x + 1)m (x + 1)n . b) en utilisant le dénombrement.
1. Oral HEC : On considère l’ensemble E des points d’abscisses 1, 2, ..., n sur une droite.
(a) a) Quel est le nombre de façons de placer 3 barres verticales divisant E en 4 sous-ensembles
tels qu’aucun ne soit vide ?
b) Quel est le nombre de solutions dans (N ∗ )4 de l’équation : x + y + z + t = n.
(b) a) Quel est le nombre de façons de placer 3 barres verticales divisant E en 4 sous-ensembles,
un ou plusieurs d’entre eux pouvant être vide.
b) Quel est le nombre de solutions dans N 4 de l’équation : x + y + z + t = n.
4
(c) On appelle u(n, p) = card{(x1 , ..., xp ) ∈ (N ∗ )p tel que x1 + x2 + ... + xp = n} et v(n, p) =
card{(x1 , ..., xp ) ∈ (N ∗ )pP
tel que x1 + x2 + ... + xp < n}.
n
Montrer que : v(n, p) = k=1 u(k, p). Montrer que : ∀n ≥ 2, ∀p ≥ 2, u(n, p) = v(n − 1, p −
1), puis que : v(n, p) = v(n − 1, p) + v(n − 1, p − 1). En déduire v(n, p) et u(n, p).
2. Oral HEC : Dans un zoo, un gardien doit distribuer 8 bananes à cinq singes. On demande le
nombre de façons de distribuer ces bananes si :
• les bananes et les singes sont discernables, chaque singe pouvant recevoir de 0 à 8 bananes.
• les bananes sont indiscernables, les singes sont discernables et chaque singe peut recevoir
de 0 à 8 bananes.
• les bananes sont indiscernables, les singes sont discernables et chaque singe reçoit au moins
une banane.
• Généraliser les questions 1 à 3 lorsqu’il y a n bananes et m singes.
3. Soit n ∈ N ∗ , on appelle mot de n lettres toute n-liste à valeurs dans {0, 1}. Par exemple (0010)
est un mot de 4 lettres et (111) est un mot de 3 lettres. On appellera Mn l’ensemble des mots
de n lettres.
(a) a) Quel est le nombre de mots de n lettres ?
b) Quel est le nombre de mots de n lettres contenant p fois la lettre 1 (p ∈ N , p ≤ n) ?
(b) On appelle An l’ensemble des mots de n lettres ne comportant pas deux 1 consécutifs et
an le cardinal de An . On note Bn l’ensemble des mots de An se terminant par 1 et Cn
l’ensemble des mots de An se terminant par 0.
a) Calculer a1 , a2 , a3 .
b) En utilisant Bn et Cn , montrer que : ∀n ∈ N , an+2 = an + an+1 .
c) Déterminer an en fonction de n et trouver un équivalent de an lorsque n tend vers +∞.
(c) 17712 personnes ont participé à un concours qui comportait vingt questions numérotées de
1 à 20. Au dépouillement, les organisateurs constatent qu’aucun participant n’a répondu
juste à deux questions consécutives. Peut-on affirmer que deux candidats au moins ont
répondu de la même manière au questionnaire : c’est-à-dire juste aux mêmes questions et
faux aux mêmes questions ?
4. Oral HEC : On dispose d’un alphabet de 3 lettres a, b, c. Combien y a-t-il de mots de n lettres
commençant par a et finissant par a, n’ayant jamais deux lettres identiques consécutives.
5. Oral HEC : Soit n ∈ N ∗ , on considère les suites de n termes à valeurs dans {0, 1, ...., 9}. On
note : an le nombre de ces suites ne comportant pas trois chiffres identiques consécutifs, bn le
nombre de suites ne comportant pas trois chiffres identiques consécutifs et dont le dernier et
l’avant dernier chiffre sont différents, cn le nombre de suites ne comportant pas trois chiffres
identiques consécutifs et dont le dernier et l’avant dernier chiffre sont égaux.
(a) Calculer a1 , a2 et a3 .
(b) Montrer que : bn+1 = 9an et cn+1 = 9an−1 .
(c) Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , an+2 = 9an+1 + 9an . En déduire la valeur de an .
(d) Montrer par un raisonnement de dénombrement que :
E(n/2)
an = 10
X n − k k=0
sol : an =
√
√
3+√ 5 1+ 5 n
( 2 )
2 5
+
√
√
−3+
√ 5 ( 1− 5 )n .
2
2 5
5
k
9n−k−1 .