Thème N°15: PERIMETRE ET AIRE

Thème N°15:
PERIMETRE ET AIRE
A la fin du thème, tu dois savoir :
c Comparer géométriquement des périmètres.
d Calculer le périmètre d’un polygone.
e Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d’un cercle.
f Différencier périmètre et aire.
g Comparer géométriquement des aires.
6 Déterminer l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple.
7 Connaître et utiliser la formule donnant l’aire d’un rectangle.
8 Calculer l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont données.
Calculer l’aire d’un triangle rectangle, *d’un triangle quelconque dont une hauteur est tracée.
9 Connaître et utiliser la formule donnant l’aire d’un disque.
Effectuer pour les aires des changements d’unités de mesure.
A – PERIMETRE
Définition : le périmètre d’une figure est la longueur du contour de cette figure.
Attention : les dimensions doivent être exprimées dans la même unité!
A – 1) Périmètre de figures usuelles :
Le cerf-volant :
Le losange :
a
b
Le rectangle :
L
c
c
l
P=a+a+b+b
P=c+c+c+c
ou
ou
P=2×a+2×b
P=4×c
Le carré :
P=L+l+L+l
P=c+c+c+c
ou
ou
P=2×L+2×l
P=4×c
A – 2) Périmètre d’une figure quelconque :
Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de tous ses côtés.
Exemples : Calculer le périmètre des deux figures suivantes :
7 cm
5,8 cm
7,5 cm
4,9 cm
5 cm
P=5
2 + 7 = 10 + 7 = 17
Le périmètre de ce triangle est de 17 cm.
3,6 cm
1,2 cm
P = 5,8 + 7,5 + 4,9 + 1,2 + 3,6 = 23
Le périmètre de ce polygone est de 23 cm.
A – 3) Périmètre du cercle :
Pour calculer le périmètre du cercle on multiplie le diamètre du cercle par le nombre π (pi).
L=π×d
L=π×2×r
où d est le diamètre du cercle
où r est le rayon du cercle
r
π est un nombre qui a une infinité de décimales : π = 3,141592654….
Remarque : π n’est donc pas un nombre décimal !
On utilise dans les calculs une valeur approchée de π : souvent 3,14.
d
Exemple : Soit un cercle de rayon 6 cm. Calculer le périmètre du cercle arrondi au millimètre près.
On prendra π ≈ 3,14.
P=π×2×r
P
P
P
= π × 2 ×6
≈ 3,14 × 12
≈ 37,68
Le périmètre d’un cercle de rayon 6 cm est mesure environ 37,68 cm .
B – UNITES D’AIRE
Une surface est délimitée par une ligne qui se referme. L’aire est la mesure de la surface.
L’unité d’aire est le mètre carré On le note m².
Un mètre carré est la surface recouverte par un carré de 1m de côté.
On utilise aussi d’autres unités qui sont des multiples ou des parties de l’unité de référence.
Voici le tableau qui permet de faire des conversions :
kilomètre
carré
1 km2
hectomètre
carré
1 hm2
décamètre
carré
1 dam2
mètre carré
1 m2
1
décimètre
carré
1 dm2
0
centimètre
carré
1 cm2
millimètre
carré
1 mm2
0
Exemples : 1 m contient 10 dm, donc 1 m² contient 100 dm².
On a alors : 1 m² = 100 dm² = 100 × 100 cm² = 10 000 cm².
12 km² = 12 000 000
m²
5 m² = 500 dm²
74 cm² = 0,007 4 m²
C – AIRE D’UNE FIGURE
C- 1 ) Formules d’aires
Le rectangle :
Le carré :
l
l
A=L×l
Le triangle rectangle :
A=c×c
A
=
Remarque : La mesure du plus grand côté du triangle rectangle, appelé hypoténuse, n’intervient pas dans le
calcul de l’aire.
C- 2) CALCUL D’AIRE PAR DECOUPAGE
En découpant une surface et en assemblant autrement les morceaux, on obtient une surface qui :
♦ n’a pas la même forme ;
♦ a la même aire ;
♦ n’a presque jamais le même périmètre.
Exemple :
3
2 = 6 Ces deux figures ont la même aire : 6 cm²
P = 4 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 12
P = 2 + 3 + 2 + 3 = 10
Le périmètre de cette figure est de 12 cm.
Le périmètre de cette figure est de 10 cm.
Remarque : La figure qui a la plus grande aire n’a pas toujours le plus grand périmètre :
Exemple :
P = (1 + 2 + 1,5 + 2 + 1,5 + 2)
2 = 20
P = (...) = 20
Le périmètre de cette figure est de 20 cm.
Le périmètre de cette figure est de 20 cm.
A
A =1×3+1×2+1×3+1×1=9
= 1 × 6 + 1,5 × 2 + 1,5 × 2 = 6
L’aire de cette figure est de 12 cm².
L’aire de cette figure est de 9 cm².
C- 3) CALCUL D’AIRE PAR DECOMPOSITION
Quelle est l’aire de la figure suivante ?
3×2=6
1,5 × 2 = 3
On décompose la figure comme ci-dessous :
L’aire du rectangle est de 6 cm².
L’aire du triangle est de 3 cm².
6 + 3 = 9 donc l’aire de la figure de départ est de 9 cm².
C – AIRE DU DISQUE
Aire : π × r × r = π × r 2
π est un nombre environ égal à 3,14
Remarque : Ne pas confondre avec le périmètre du cercle qui est P = 2 × π × r
Exemple :
Quelle est l’aire d’un disque de diamètre 6,4 cm ? Tu donneras une valeur approchée au centième.
A=
π × r × r
A=
π × 3,2 × 3,2
A
≈ 3,14 × 10,24
A
≈ 32,15
L’aire d’un disque de diamètre 6,4 mesure environ 32,15 cm2 .