Chapitre 13 : « Périmètres et aires »

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Chapitre 13 : « Périmètres et aires »
6ème7
2009-2010
Chapitre 13 : « Périmètres et aires »
I. Périmètres
1/ Définition
Donner le périmètre d'une figure, c'est donner la mesure le contour de cette figure.
Exemple
Calcul du périmètre de ABCDEFGH :
P ABCDEFGH = AB BCCD DE EF  FGGH HA=24 cm
2/ Périmètre des figures usuelles
a. Triangle
Triangle quelconque
G
E
F
P EFG = EF FGGE
Triangle équilatéral
Il suffit de prendre le triple de la longueur d'un des côtés.
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b. Quadrilatères
Rectangle
On prend le double de la largeur et le double de la longueur.
Par exemple, si EFGH est un rectangle tel que EF =5,8 cm et EH = 3,7 cm , son
périmètre est P EFGH =2× 5,83,7=2× 9,5=19 cm
Losange et carré
On calcule le quadruple de la longueur d'un côté.
c. Cercle
On parle, indifféremment, de longueur d'un cercle, de circonférence d'un cercle ou de
périmètre d'un cercle.
On remarque que l'on obtient le périmètre d'un cercle en multipliant son diamètre par un
nombre légèrement supérieur à 3 : le périmètre semble proportionnel au diamètre.
Ce nombre , proche de 3 , a une partie décimale infinie : 3,141592653589793 ... .
Ce nombre se note  et se dit « pi ».
On a ≈3,141592653589793 ! (à méditer)
Exemple
Calcule le périmètre d'un cercle de rayon 5 cm .
Le diamètre est 5×2=10 cm et donc le périmètre est :
P=×10
P≈3,14×10
P≈31,4 cm
Formules à connaître
r représente le rayon, d le diamètre et  le nombre environ égal à 3,14 .
P=×d
P=2××r ou encore P=2 r .
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Exemples
Complète le tableau suivant en prenant ≈3,14 .
Rayon
Diamètre
Périmètre
5
10
P≈31,4 cm
3
6
P≈6×3,14
P≈18,84 cm
10
20
P≈20×3,14
P≈62,8 cm
2
4
P≈ 4×3,14
P≈12,56 cm
II. Aires
1/ Activité (pavage)
• Figure 1 : elle contient 92 petits carreaux.
• Figure 2 : elle contient aussi 92 petits carreaux.
Ces deux figures ont la même aire. Par contre, elles n'ont pas le même périmètre !
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2/ Aire d'un rectangle
Pour calculer l'aire d'un rectangle, il suffit de multiplier la longueur par la largeur...
Formule
Arectangle = L×l où l est largeur et L est la longueur.
Si l et L sont en cm , l'aire est en cm 2 .
3/ Aire d'un triangle rectangle
On remarque que l'aire de ABC est la même que celle de AB ' C . De plus, ABCB ' est un
rectangle. Donc :
A ABC = A AB ' C = AB× BC ÷2=36÷2=18 cm 2
A retenir
Pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, on multiplie les longueurs des côtés de l'angle droit
puis on divise par 2 .
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4/ D'un triangle quelconque
On remarque que l'aire de ABH est la même que celle de AA' B , que l'aire de BHC est la
même que celle de BCC ' , donc que l'aire du rectangle A' C ' CA est le double de l'aire du
triangle ABC .
Donc A ABC = BH × AC ÷2=4×8,5÷2=17 cm² .
Exemples
D
P
H
G
Dans ce triangle, on a PG=3 cm , HG =5 cm , DG =2,5 cm , HD=4 cm et DP =1 cm .
Calcule l'aire de PGH .
A PGH =GD×PH ÷2=2,5×5÷2=12,5÷2=6,25 cm 2
5/ Aire d'un disque
r
Formule pour calculer l'aire d'un disque de rayon r
A=×r ×r ou encore A=×r 2
Exemple
Pour r =4 cm , on a A≈3,14×4×4≈50,24 cm²