Fonctions et courbes - Page personnelle de Maxime Bailleul

ECE 1
TP 2 : Fonctions et courbes
I
Fonctions usuelles
Les fonctions usuelles sont prédéfinies dans Scilab et peuvent être utilisées directement.
Fonction
Exponentielle
Logarithme népérien
Racine carrée
Valeur absolue
Partie entière
Exercice 1. Donner des valeurs approchées de e, ln(2) et
II
√
Commande
exp
log
sqrt
abs
floor
13.
Définir une fonction
On peut construire à l’aide de la commande function des fonctions en utilisant les fonctions usuelles et les opérations
de base (somme, produit, ...). La syntaxe est la suivante :
function y=f(x)
y= expression de f(x);
endfunction
Par exemple pour définir le trinôme P définie pour tout x ∈ R par P (x) = 2x2 + 3x − 4, on utilise les instructions
suivantes :
function y=P(x)
y=2*x^2+3*x-4;
endfunction
Remarques.
. Il est intéressant de taper les instructions suivantes dans SciNotes et de les exécuter ensuite. On peut alors
utiliser la fonction dans la console comme si elle était déjà prédéfinie. Cela permet aussi de garder en mémoire
les fonctions « non usuelles » que l’on utilise tout de même régulièrement.
. Les variables x et y sont muettes dans les instructions suivantes. Ces variables sont justes utilisées pour que
Scilab retienne le lien entre x et f (x). Autrement dit, après exécution de cette commande, x et y n’ont pas
à priori de valeurs définies.
Exercice 2. Définir avec Scilab la fonction f définie pour tout x ∈ R par f (x) = xe1−2x et calculer f (1).
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Exercice 3. Définir avec Scilab la fonction g définie pour tout x ∈ R∗+ par g(x) =
III
ln(x)
·
x
Représentation graphique
Pour tracer une représentation graphique d’une fonction f , Scilab place des points de coordonnées (x, f (x)) et les
relie. Il faut donc lui fournir ces coordonnées : ce que l’on fait en lui « donnant » un vecteur contenant les abscisses
de ces points et un autre contenant les ordonnées de ces points.
III. 1
Création de vecteurs lignes
• l’instruction linspace(a,b,n) renvoie un vecteur ligne de longueur n dont les coefficients sont également
espacés et vont de a à b.
• l’instruction a:b:c renvoie un vecteur ligne dont le premier coefficient est a avec une progression arithmétique
de raison b jusqu’à atteindre c. Si b n’est pas précisé, la progression des coefficients est de 1 en 1 (l’instruction
est alors a:c).
Exemples.
. L’instruction linspace(1,5,3) renvoie le vecteur : [1, 3, 5] (Scilab utilise une notation matricielle avec des
crochets et non pas des parenthèses).
. L’instruction -3:2:7 renvoie le vecteur [−3, −1, 1, 3, 5, 7].
Remarque.
Pour l’instruction a:b:c, b peut être négatif.
Exercice 4. Donner la commande permettant de créer un vecteur ligne, noté x, contenant tous les entiers impairs
de 1 à 17.
Exercice 5. Donner la commande permettant de créer un vecteur ligne, noté y, dont les coefficients sont 100
nombres réels également espacés de 0 à 1.
III. 2
plot et plot2d
Pour tracer une représentation graphique d’une fonction f , on procède de la manière suivante :
1. On crée un vecteur ligne qui contient la liste des abscisses des points que l’on souhaite placer. On utilise pour
cela la commande linspace(a,b,n) ou la commande a:b:c.
2. On construit ensuite le vecteur qui contient la liste des ordonnées de ces points.
• Si f est une fonction usuelle, par exemple pour appliquer la fonction exponentielle, on utilise la commande
y=exp(x) qui crée un vecteur y de même taille que x dont les coordonnées sont les images par la fonction
exponentielle des coordonnées de x.
• Si f est une fonction que l’on a définie, on utilise la commande y=feval(x,f).
• Enfin pour afficher la représentation graphique de la fonction, on utilise l’instruction plot2d(x,y) ou
plot(x,y) (ce sont deux commandes différentes mais qui, pour notre utilisation, ont le même effet). Pour
effacer les anciens graphiques, il suffit d’utiliser la commande clf.
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Exemple. Si l’on souhaite tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle sur [0, 2], on peut utiliser
les instructions suivantes :
x=0:0.01:2;
y=exp(x);
plot(x,y);
Exercice 6. Que se passe t-il en remplaçant dans l’exemple précédent x=0:0.01:2; par x=0:0.5:2; ?
Exercice 7. Tracer la courbe de la fonction logarithme népérien sur [1, 10].
Exercice 8. Tracer la courbe de la fonction f définie par f (x) = xe1−x sur [0, 5].
Remarque. Si le vecteur colonne y peut être créé facilement avec des puissances de x, des sommes et des
produits, on peut directement écrire y en fonction x mais attention à la syntaxe : si la fonction associée est
la fonction carrée, on écrit y = x.2 et pas y = x2 . Cela fait comprendre à Scilab que le « carré » est appliqué
ponctuellement sur chaque coefficient.
Exemple. Si l’on souhaite tracer la courbe représentative de la fonction g définie sur [0, 5] par
g(x) = x2 − 3x + 1. On peut utiliser les instructions suivantes :
x=0:0.01:5;
y=x.^2-3*x+1;
plot(x,y);
Exercice 9. Tracer la courbe de la fonction cube sur [−3, 3].
Remarque.
Si l’on souhaite modifier le cadre ou les axes, il suffit d’utiliser l’onglet édition.
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III. 3
Quelques options
• Si vous souhaitez tracer une courbe avec une couleur particulière, on rajoute une option dans la commande
plot2d (cela ne marche pas avec plot).
Exemple.
Si l’on tape ces instructions :
clf;
x=0:0.1:1;
y=x.^2;
plot2d(x,y,7);
On obtient la représentation graphique de la fonction carré sur [0, 1] en jaune. Pour connaitre quel
chiffre est associé à quelle couleur, il suffit de taper l’instruction getcolor dans la console.
Exercice 10. Tracer en rouge la représentation graphique de la fonction f définie sur [−1, 3] par f (x) = x2 +1.
• Si vous souhaitez rajouter un titre et une légende, on utilise la commande xtitle. Il suffit d’utiliser l’instruction : xtitle("titre","abscisse","ordonnée").
Exercice 11. Reprendre l’exercice précédent en donnant un titre au graphique.
Remarque. Dans l’optique du concours, l’objectif de ce TP est clair : vous devez savoir tracer la représentation
graphique d’une courbe, conjecturer certaines propriétés de la fonction puis prouver ces propriétés.
Exercice 12. Conjecturer le signe de la fonction f définie pour tout x > 0 par f (x) = x2 + 3 − 2 ln(x). Montrer
cette conjecture.
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