corr-2015-2016-2ndeA-DS04-fonctions-vecteurs-v2

Correction Devoir Surveillé 4 :
Seconde
fonctions et vecteurs
Correction Devoir
Seconde
Surveillé 4
Seconde
shtaM
Maths
Barème
Exercice. 1. 3 = 3 × 1
Exercice. 2. 5, 5 = 0, 25 + 0, 5 + (0, 5 + 0, 5) + (0, 5 + 0, 75) + 0, 75 + 0, 75 + 1
Exercice. 3. 3, 5 = (4 × 0, 5) + (3 × 0, 5)
Exercice. 4. 2, 5 = 5 × 0, 5
Exercice. 5. 4 = 0, 5 + 1, 5 + 1 + 1
Exercice. 6. 1, 5
Exercice 1. (3 points)
Pour chaque question, une seule réponse convient. Entourer la bonne réponse sur le sujet. Aucune
justification n’est à donner. Pour chaque question, la bonne réponse seule rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0, 5 point, l’absence
de réponse n’apporte, ni n’enlève aucun point.
RÉPONSES
QUESTIONS
Si une fonction f est strictement décroissante
sur [−2 ; 4] alors :
f (−1) < f (3)
f (3, 5) > f (4)
f (1) > f (−2)
La droite dans un repère du plan représentant
la fonction f définie par f (x) = 15 − 3x
passe par le point
B (15 ; −3)
passe par le point
C (0 ; 5)
passe par le point
Il n’y en a pas
−3 et 3
−9 et 9
Les solutions de l’équation x2 + 9 = 0 sont :
A (5 ; 0)
Explications (non demandées) :
● f est strictement décroissante sur [−2 ; 4] :
−2 ⩽ −1 < 3 ⩽ 4 donc f (−1) > f (3)
−2 ⩽ 3, 5 < 4 donc f (3, 5) > f (4)
−2 < 1 ⩽ 4 donc f (−4) > f (−1) ie f (1) < f (−2)
Ou à l’aide d’un tableau de variations :
x
−2
−1
1
3
3, 5
4
f (−2)
Variation
f (−1)
f (1)
f (3)
de f
f (3, 5)
f (4)
● f (15) = 15 − 3 × 15 = 15 − 45 = −30 ≠ −3 donc B (15 ; −3) ∉ Cf .
f (0) = 15 − 3 × 0 = 15 − 0 = 15 ≠ 5 donc C (0 ; 5) ∉ Cf .
f (5) = 15 − 3 × 5 = 15 − 15 = 0 donc A (5 ; 0) ∈ Cf .
2
● (−3) + 9 = 9 + 9 = 18 ≠ 0 et 32 + 9 = 9 + 9 = 18 ≠ 0 par conséquent ni −3 ni 3 n’est solution de x2 + 9 = 0.
2
(−9) + 9 = 81 + 9 = 90 ≠ 0 et 92 + 9 = 81 + 9 = 90 ≠ 0 par conséquent ni −9 ni 9 n’est solution de x2 + 9 = 0.
2
x + 9 = 0 ⇐⇒ x2 = −9, or un carré est positif ou nul, donc un carré ne peut être égal à un nombre négatif :
S = ∅ : il n’y a pas de solution à l’équation x2 + 9 = 0.
Roussot
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2015 - 2016
Correction Devoir Surveillé 4 :
Exercice 2. (5,5 points)
Seconde
fonctions et vecteurs
f et g deux fonctions dont les représentations graphiques respectives Cf et Cg sont tracées intégralement
ci-dessous :
4
3
2
Cg
1
0
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
Cf
−3
−4
Compléter directement sur le sujet pour répondre aux questions suivantes :
1. Lire l’ensemble de définition de g : Dg = [−7 ; 6]
2. Lire : f (−4, 5) = −1, 5
g(2) = −3
3. Résoudre les équations :
a. g(x) = −5 : S = ∅
b. f (x) = −1, 5 : S = {−4, 5 ; 5, 5}
4. Résoudre les inéquations :
a. g(x) ⩽ −3 : S = [2 ; 4]
b. f (x) < g(x) : S = [−7 ; −2[ ∪ ]5 ; 6]
5. Dresser le tableau de signe de la fonction f .
x
−7
Signe de f
(−2)
5
−3
−
0
+
0
6
−
(−3)
6. Dresser le tableau de variation de la fonction g.
x
Variation
de g
−7
−5
−2
1, 5
3
1
−0, 5
6
5
−4
7. En précisant où chacun sont atteints, lire le maximum (global) de f sur [−7 ; 6] : est 3 atteint en 4
et ses minimums locaux : sont −3 et −3 atteints respectivement en −6 et en 6.
Roussot
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2015 - 2016
Correction Devoir Surveillé 4 :
Seconde
fonctions et vecteurs
Exercice 3. (3,5 points)
D
L
M
Ð
→
t
A
P
Ð
→
b
C
Ð
→
a
B
Ð
→
p
Ð
→
k
1. Compléter sur le sujet le tableau ci-dessous par VRAI ou FAUX sans justifier ; une bonne réponse rapporte 0,5 point, une mauvaise
enlève 0,25 point et l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point :
a.
Ð
→ Ð
k et →
p sont des vecteurs opposés
FAUX
b.
Ð
→
Ð
→
a et b sont des vecteurs égaux
FAUX
c.
Ð→
Ð→
AD = −CB
VRAI
d.
Ð→ ÐÐ→
AB = CD
FAUX
Explications (non demandées) :
Ð
→
→
a. k et Ð
p sont de même direction et de sens opposé, par contre ils ne sont pas de même norme (longueur),
donc ils ne sont pas opposés (ni égaux).
Ð
→
→
b. Ð
a et b ont bien même direction et même norme (longueur) mais sont de sens opposé, ils ne sont donc
pas égaux mais sont opposés.
Ð→
Ð→
Ð→
c. AD et CB sont de même direction, de sens opposé et de même norme (longueur), par conséquent AD
Ð→
Ð→
Ð→
et CB sont des vecteurs opposés ie AD = −CB.
Ð→ ÐÐ→
d. AB et CD sont de même direction, de sens opposé et de même norme (longueur) : ils sont donc opposés
mais non égaux.
2. Répondre sur le sujet. Les trois affirmations suivantes sont fausses, pour chacune expliquer pourquoi :
ÐÐ→ Ð→
a. LM = LP
ÐÐ→
Ð→
LM et LP sont de même direction et de même sens, mais de normes (longueurs) différentes, ils ne sont
donc pas égaux.
ÐÐ→
Ð→
b. BD et AC sont opposés.
ÐÐ→
Ð→
BD et AC n’ont pas la même direction (« ils ne sont pas parallèles »), la question de sens n’a donc
pas lieu d’être, et ils n’ont pas non plus la même norme (longueur), le quadrilatère ABCD étant un
ÐÐ→
Ð→
parallélogramme qui n’est pas rectangle : BD et AC ne sont donc pas des vecteurs opposés (seul un des
arguments sur la direction ou la norme suffit) - ni égaux.
ÐÐ→
ÐÐ→
c. M L et M P sont égaux.
ÐÐ→ ÐÐ→
M L et M P sont de même direction, de sens opposé et de même norme (longueur) : ils sont donc opposés
et non égaux.
Exercice 4.
(2,5 points)
→
→, et le pentagone
Ci-dessous, on a représenté les trois points A, B et C, les deux vecteurs Ð
u et Ð
w
« maison » M . On complètera directement sur la figure du sujet.
D
Ð
→
w
C
Ð
→
w
Ð
→+Ð
→
w
u
Ð
→
u
Ð
→
u
C′
M
M
Ð
→
y
B
1.
2.
3.
4.
5.
Tracer
Tracer
Placer
Tracer
Tracer
Roussot
A
′
Ð
→
z
→
→
un représentant du vecteur Ð
u d’origine A, vous noterez ce représentant Ð
z.
→
→
un représentant du vecteur Ð
u d’extrémité B, vous noterez ce représentant Ð
y.
→.
C ′ l’image du point C par la translation de vecteur Ð
w
→.
M ′ l’image de la maison M par la translation de vecteur Ð
w
→+Ð
→
le représentant du vecteur somme Ð
w
u d’origine D.
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2015 - 2016
Correction Devoir Surveillé 4 :
Exercice 5. (4 points)
fonctions et vecteurs
Seconde
Répondre sur votre copie. Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
1. x (4x − 11) = 0
x (4x − 11) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou 4x − 11 = 0
⇐⇒ x = 0 ou 4x = 11
11
⇐⇒ x = 0 ou x =
4
11
Donc S = {0 ; } (= {0 ; 2, 75}).
4
2. (2x + 5) (5x − 4) − (2x + 5) (8x + 6) = 0
(2x + 5) (5x − 4) − (2x + 5) (8x + 6) = 0 ⇐⇒ (2x + 5) ( (5x − 4) − (8x + 6) ) = 0
⇐⇒ (2x + 5) (5x − 4 − 8x − 6) = 0
⇐⇒ (2x + 5) (−3x − 10) = 0
⇐⇒ 2x + 5 = 0 ou
Donc S = {−
10 5
;− }
3
2
− 3x − 10 = 0
⇐⇒ 2x = −5 ou − 10 = 3x
−10
−5
ou
=x
⇐⇒ x =
2
3
10
(= {− ; −2, 5}).
3
4. 17 − 2x ⩽ 3 + 9x
3. 6x − 12 > 3x + 2
6x − 12 > 3x + 2 ⇐⇒ 6x − 3x > 2 + 12
17 − 2x ⩽ 3 + 9x ⇐⇒ −2x − 9x ⩽ 3 − 17
⇐⇒ 3x > 14
3x 14
⇐⇒
>
3
3
14
⇐⇒ x >
3
14
Donc S = ] ; +∞[.
3
Exercice 6. (1,5 points) L’âge de M Igrec
⇐⇒ −11x ⩽ −14
−11x −14
⇐⇒
⩾
−11
−11
14
⇐⇒ x ⩾
11
14
Donc S = [ ; +∞[.
11
Répondre sur votre copie.
À une personne indiscrète qui lui demandait son âge, M Igrec répondit « Si je vis jusqu’à quatre-vingts ans, mon âge est égal au triple de
la moitié du temps qui me reste à vivre. »
Quel âge a-t-il ? (en expliquant votre raisonnement)
Notons y l’âge de M Igrec (y est un nombre positif, raisonnablement inférieur à 150).
Si il vit jusqu’à quatre-vingts ans, le temps qui lui reste à vivre est 80 − x.
80 − x
La moitié du temps qui lui reste à vivre est donc
.
2
80 − x
.
Ainsi le triple de la moitié du temps qui lui reste à vivre est 3 ×
2
80 − x
Finalement, on obtient l’équation : x = 3 ×
.
2
On résout :
80 − x
240 − 3x
x=3×
⇐⇒ x =
2
2
⇐⇒ 2x = 240 − 3x
⇐⇒ 5x = 240
⇐⇒ x = 48
⇐⇒ x = 240
5
Conclusion : M Igrec a 48 ans.
dd
E
E nn
Roussot
4/ 4
2015 - 2016