Tableaux d`amortissement TS

Tableaux d’amortissement
TS
Fiche Professeur
Auteurs : Jean-Marc Duquesnoy, Pierre Lapôtre, Raymond Moché
But de l’activité : réflexion sur un problème concret (tableau d’amortissement du remboursement
d’un emprunt à mensualité constante), application en algorithmique.
Niveau de difficulté de l’activité : la partie théorique est un peu plus délicate.
Mots-clefs : Analyse : suites géométriques, somme des n premiers termes d’une suite géométrique,
manipulations d’égalités ; algorithmique : exécuter un algorithme, boucle « pour », affichage des
résultats (si on utilise un ordinateur), ou calculatrice.
Matériels utilisés : calculatrice ou ordinateur.
Durée indicative : fiche « Élève » à préparer à la maison, puis une heure en classe (salle informatique).
Noms des logiciels utilisés : « scilab » ou tout autre logiciel de calcul.
Documents utiles à télécharger :
3 « Fiche Élève » (pdf),
3 « Tableaux d’amortissement », fichier sce (« scilab »).
Solution :
1 - Il suffit de remplacer C par A1 + · · · + An dans les membres de droite des égalités (S1 ) et de
conserver les membres de gauche tous égaux à m.
2 - (An−1 + An )· j = An · j =⇒ An = An−1 · (1 + j) et ainsi de suite, en soustrayant membre à membre
chaque égalité de celle qui la précède, en partant de l’avant-dernière.
!
!
1
1
m
1
m
· 1+
+ ··· +
= · 1−
4-C=
1+j
1+j
(1 + j)n−1
j
(1 + j)n
j· C· (1 + j)n
ce qui implique m =
.
(1 + j)n − 1
5 - S’il y a une solution, on peut donc calculer m, A1 , . . . , An en fonction des données n, C et i, ce
qui prouve que cette solution éventuelle est unique. C’est vraiment une solution parce que l’on peut
remonter les calculs.
6 - Voici le tableau d’amortissement rempli :
Paramètres du crédit
Montant de l’emprunt : 4000 euros
Durée du prêt : 6 mois
Taux annuel du crédit : 6 %
Mensualité du crédit : 678,38 euros
Échéance
1
2
3
4
5
6
Date Capital restant dû
2/2011
3341,62
3/2011
2679,94
3/2011
2014,96
4/2011
1346,66
5/2011
675,01
6/2011
0
Mensualité dont capital
678,38
658,38
678,38
661,67
678,38
664,98
678,38
668,31
678,38
671,65
678,38
675,01
dont intérêts
20
16,71
13,4
10,07
6,73
3,37
On peut faire les calculs à l’aide de l’algorithme « Tableaux d’amortissement » (algorithme sce (« sci-
1
lab ») téléchargeable) ci-dessous :
Listing 1 – Tableaux d’amortissement
// Tableau d ’ a m o r t i s s e m e n t
i=input ( ’ i= ’ ) ; // t a u x d ’ i n t é r ê t annuel
j=i / 1 2 ; // t a u x d ’ i n t é r ê t mensuel
C=input ( ’C= ’ ) ; // c a p i t a l emprunté
n=input ( ’ n= ’ ) ; // durée du remboursement
j=i / 1 2 ; // t a u x d ’ i n t é r ê t mensuel
m=j ∗C∗(1+ j )^ n/((1+ j )^n −1);
A=m./(1+ j ) . ^ [ n : − 1 : 1 ] ;
B= [ ] ;
for k=1:n
B=[B, round ( 1 0 0 ∗ (C−sum(A( 1 , 1 : k ) ) ) ) / 1 0 0 ] ;
end ;
m=round (100∗m) / 1 0 0 ;
disp ( " Le montant de l a m e n s u a l i t é c o n s t a n t e e s t "+string (m) ) ;
disp ( " Le c a p i t a l r e s t a n t dû e s t s u c c e s s i v e m e n t é g a l à " )
disp (B ) ;
A=round (100∗A) / 1 0 0 ;
// P a r t s du c a p i t a l r e m b o u r s é e s s u c c e s s i v e m e n t :
disp ( " p a r t s du c a p i t a l r e m b o u r s é e s " ) ;
disp (A ) ;
// Montants d e s i n t é r ê t s p a y é s s u c c e s s i v e m e n t :
int=m∗ones ( 1 , n)−A;
disp ( " Les montants des i n t é r ê t s payés s u c c e s s i v e m e n t s o n t " ) ;
disp ( int ) ;
// Coût du c r é d i t (somme d e s i n t é r ê t s p a y é s )
c out 1=n∗m−C;
disp ( " l e c o û t du c r é d i t e s t "+string ( cout1 ) ) ;
// Coût du c r é d i t s i on rembourse d ’ un s e u l coup
c out 2=C∗6∗ j ;
disp ( " l e c o û t du c r é d i t de l a deuxième o p t i o n e s t "+string ( cout2 ) ) ;
Nous n’avons pas utilisé la commande « format(n) » qui compliquerait le problème puisque nous voulions un algorithme qui fonctionne quels que soient C, i et n. Celui-ci arrondit les sommes calculées
au nombre en euros et centimes d’euros le plus proche.
7 - Il est évident qu’il vaut mieux rembourser le plus vite possible pour limiter le montant des intérêts. On paie 70,28 euros d’intérêt en remboursant mois par mois à mensualité constante et 120 euros
si l’on rembourse 4000 euros d’un seul coup au bout de 6 mois (exécuter l’algorithme ci-dessus).