Analyse vectorielle (PC*)

Analyse vectorielle (PC*)
Opérateurs gradient, divergence, rotationnel, laplacien :
1 – Gradient d’un champ scalaire :
Soit la fonction ou champ scalaire :
r
r
r → f (r ) ∈ ℜ
continue et dérivable. L’opérateur gradient agissant sur ce champ scalaire donne un champ
vectoriel défini par, où df représente la différentielle de f :
uuuuur r r r r r
df = grad f (r ).dr = ∇f (r ).dr
* Expressions en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques :
On définit des multiplicateurs µi de la manière suivante :
r 3
r
dr = ∑ µi dsi ui
i =1
Tableau des multiplicateurs
s1
s2
s3
µ1
µ2
µ3
Coordonnées cartésiennes
x
y
z
1
1
1
Coordonnées cylindriques
ρ
θ
z
1
ρ
1
Coordonnées sphériques
r
θ
ϕ
1
r
rsin θ
Dans l’un de ces trois systèmes de coordonnées orthogonales, on peut écrire :
3
uuuuur
1 ∂U r
gradU = ∑
ui
i =1 µi ∂si
r
* En tout point, le gradient du champ scalaire f (r ) est perpendiculaire à la surface de niveau (la
surface iso-f) passant par ce point et il est dirigé suivant la direction de variation la plus rapide de
r
r
f (r ) , dans le sens des valeurs croissantes de f (r ) .
Exemple en électrostatique : les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles et le
uuuuur
r
r
champ est dirigé vers les potentiels décroissants (car E = − grad (V (r )) .
2 – Divergence d’un champ vectoriel :
r r
r r
r
Soit le champ vectoriel : r → V (r ) . La divergence de V (r ) est, formellement, le résultat du
r
r r
produit scalaire de V (r ) avec l’opérateur nabla ∇ , soit :
r r
r r r
divV (r ) = ∇.V (r )
* Expressions en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques :
On utilise l’interprétation locale de la divergence, vue en cours lors de la démonstration locale du
théorème de Gauss :
r r d Φ sor tan t
divA(r ) =
dτ
A partir d’un point M de coordonnées orthogonales si, on construit un pavé élémentaire dont les
6 faces sont définies par les valeurs si + dsi, … des coordonnées. Les arêtes du pavé ont pour
longueur µidsi et son volume vaut :
dτ = µ1µ2 µ3 ds1ds2 ds3
Le flux élémentaire à travers les deux surface s1 et s1 + ds1 vaut :
d Φ1 = A1 ( s1 + ds1 , s2 , s3 ) µ 2 ds2 µ3 ds3 − A1 ( s1 , s2 , s3 ) µ2 ds2 µ3 ds3
Soit :
d Φ1 =
∂ ( µ 2 µ3 A1 )
ds1ds2 ds3
∂s1
Par conséquent :
r
divA =
 ∂ ( µ2 µ3 A1 ) ∂ ( µ1µ3 A2 ) ∂ ( µ1µ2 A3 ) 
+
+


µ1µ2 µ3  ∂s1
∂s2
∂s3

1
En coordonnées cylindriques :
r 1  ∂ (rAr ) ∂ ( Aθ ) ∂ (rAz )  1 ∂ (rAr ) 1 ∂ ( Aθ ) ∂ ( Az )
divA = 
+
+
=
+
+
r  ∂r
∂θ
∂z  r ∂r
r ∂θ
∂z
Et en coordonnées sphériques :
r
divA =
1  ∂ (r 2 sin θ Ar ) ∂ (r sin θ Aθ ) ∂ (rAφ )  1 ∂ (r 2 Ar )
1 ∂ (sin θ Aθ )
1 ∂ ( Aφ )
+
+
=
+
+
r 2 sin θ 
∂r
∂θ
∂φ  r 2 ∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ
Pour se persuader de limiter l’utilisation du vecteur Nabla aux seules
coordonnées cartésiennes, il suffit d’examiner les expressions du gradient et
de la divergence en coordonnées cylindriques : l’expression du gradient
suggère de postuler :
r ∂ r 1 ∂ r
∂ r
∇ = ur +
uθ + u z
∂r
r ∂θ
∂z
r r
mais si on effectue ∇.A (sans précaution !), on ne retrouve l’expression de
r
divA obtenue ci-dessus ! Alors, ATTENTION !!!!!
En dehors des coordonnées cartésiennes, il n’est pas nécessaire d’apprendre les expressions des
opérateurs (sauf celles du gradient !) ; s’il le faut, l’énoncé les donnera. On peut d’ailleurs par une
approche intégrale (théorèmes de Stockes et de Green Ostrogradsky) ne pas avoir besoin de
l’expression locale de ces opérateurs.
2
3 – Rotationnel d’un champ vectoriel :
r r
r r
r
Soit le champ vectoriel : r → V (r ) . Le rotationnel de V (r ) est, formellement, le résultat du
r
r r
produit vectoriel de V (r ) avec l’opérateur nabla ∇ , soit :
uuur r r
r r r
rotV (r ) = ∇ ∧ V (r )
* Expressions en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques :
En coordonnées cartésiennes, le calcul du rotationnel à l’aide du vecteur nabla est simple :
 ∂Az ∂Ay 
∂
−


 ∂x 
∂
y
∂z 

  A 
uuur r r r  ∂   x   ∂A ∂A 
rot A = ∇ ∧ A =   ∧  Ay  =  − z + x 
∂y
∂x
∂z 
   Az  
A
∂
 y ∂Ax 
∂
 ∂x − ∂y 
 ∂z 


4 – Laplaciens scalaire et vectoriel :
Par définition, pour un champ scalaire :
r r r
∆ = ∇.∇ = ∇ 2
soit
uuuuur
∆f = div( grad f )
En coordonnées cartésiennes, par exemple :
∆f =
∂2 f ∂2 f ∂2 f
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
r
Par définition, le laplacien d’un champ vectoriel est le vecteur ∆A dont les composantes, en
coordonnées cartésiennes, sont les laplaciens scalaires des composantes du champ vectoriel :
r
∆A = (∆Ax , ∆Ay , ∆Az )
5 – Quelques formules d’analyse vectorielle :
uuur uuuuur
r
r
r
rot ( gradU ) = ∇ ∧ (∇U ) = 0
uuur r
r r r r
div(rotA) = ∇.(∇ ∧ A) = 0
uuur uuur r uuuuur
r
r
rot (rotA) = grad (divA) − ∆A
3
Formulaires d’analyse vectorielle
4
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5