Le gradient d`une fonction scalaire

L3 Physique appliquée aux Sciences de la Vie et de la Planète
L. Rezeau
octobre 2004
Le gradient d’une fonction scalaire
Les vecteurs sont notés par des caractères gras.
Définition :
C’est une généralisation de la notion de dérivée pour une fonction à plusieurs variables.
∂f ∂f ∂f
Soit f une fonction de x, y et z. On peut définir ses trois dérivées partielles
, ,
(si la fonction
∂x ∂y ∂z
est continue et différentiable). A partir de ces trois valeurs on peut construire un vecteur, le gradient,
r
qu’on note grad ou ∇ .
∂f
∂x
r ∂f
∇f
∂y
∂f
∂z
Le gradient est un vecteur construit à partir d’une fonction scalaire.
Signification :
Considérons une fonction à deux variables pour qu’elle soit plus facile à représenter.
f(x, y) =100-x2-10y2
r − 2x
Son gradient vaut ∇f
.
− 20 y
Les figures ci-dessous représentent d’une part la fonction f en trois dimensions (x, y, f(x, y)) et d’autre
part le vecteur gradient en quelques points particuliers (la longueur des vecteurs est proportionnelle au
gradient, mais pas égale). On constate donc que la direction du gradient correspond à la ligne de plus
grande pente au point considéré, c’est la direction qu’il faut suivre en partant du point pour voir f
varier le plus. Le module du gradient donne la pente de la surface au point considéré.
3
2
100
1
80
60
0
Z
40
-1
y
20
-3
-2
0
-3
-1
-2
-2
0
-1
0
Y
1
1
2
2
3
3
-3
X
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
Lien entre gradient et différentielle totale d’une fonction :
La différentielle totale de la fonction f est définie par :
∂f
∂f
∂f
df =
dx + dy + dz
∂x
∂y
∂z
On voit que cette différentielle peut être comprise comme le produit scalaire du vecteur gradient par le
dx
vecteur dr, déplacement élémentaire de composantes dr dy .
dz
r
df = ∇f .dr
Cette formule étant vectorielle, elle est indépendante du repère dans lequel on projette. Elle permet
donc de calculer les composantes du gradient dans d’autres repères que le repère x, y, z.
Calcul des composantes du gradient en coordonnées cylindriques :
En coordonnées cylindriques un point M est caractérisé par les variables r, θ, z. z est la troisième
coordonnée du repère cartésien, r est la distance OM’ où M’ est la projection de M dans le plan x, y. θ
est l’angle polaire, entre l’axe x et OM’, il varie entre 0 et 2π.
On définit le repère ur, uθ, uz associé à ces coordonnées. Quand la distance r varie de manière
infinitésimale, le point M se déplace le long de la direction ur de drur. Quand l’angle polaire varie de
la quantité infinitésimale dθ, le point M se déplace le long de la direction uθ de rdθuθ.
Le vecteur déplacement élémentaire s’écrit donc en coordonnées cylindriques :
z
dr
z
M
dr rdθ
dz
uz
x
θ
r
uθ
M'
y
ur
On écrit les composantes du gradient que l’on cherche (∇f)r, (∇f)θ ,(∇f)z.
On connaît l’expression de la différentielle totale en fonction des variables de la fonction :
∂f
∂f
∂f
df =
dr +
dθ + dz qu’on identifie avec le produit scalaire grâce à la relation établie plus
∂r
∂θ
∂z
haut :
df = (∇f )r dr + (∇f )θ rdθ + (∇f )z dz
On en déduit donc les composantes du gradient en coordonnées cylindriques :
∂f
∂r
r 1 ∂f
∇f
r ∂θ
∂f
∂z
Calcul des composantes du gradient en coordonnées sphériques :
En coordonnées sphériques un point M est caractérisé par les variables r, θ, ϕ. r est la distance OM. θ
est l’angle entre l’axe z et OM, il varie donc entre 0 et π. ϕ est l’angle entre l’axe x et la projection de
OM dans le plan x, y, il varie entre 0 et 2π.
On définit le repère ur, uθ, uϕ associé à ces coordonnées. Quand la distance r varie de manière
infinitésimale, le point M se déplace le long de la direction ur de drur. Quand l’angle θ varie de la
quantité infinitésimale dθ, le point M se déplace le long de la direction uθ de rdθuθ. Quand l’angle ϕ
varie de la quantité infinitésimale dϕ, le point M se déplace le long de la direction uϕ de rsinθdϕuϕ
Le vecteur déplacement élémentaire s’écrit donc en coordonnées sphériques :
z
z
dr
dr rdθ
r sin θ dϕ
M
θ r
x
ur
uϕ
uθ
ϕ
Par le même raisonnement que ci-dessus, on obtient les coordonnées du gradient en coordonnées
sphériques.
∂f
∂r
r
1 ∂f
∇f
r ∂θ
1 ∂f
r sin θ ∂ϕ