Equations et Inéquations

Equations et Inéquations
Table des matières
I
Révisions
I.1 Equations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2 Rappels sur les règles de base de l’algèbre . . . .
I.1.3 Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1 Problème introductif . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2 Rappels sur les inégalités . . . . . . . . . . . . .
I.2.3 Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3 Systèmes d’équations du premier degré à deux inconnues
II Equations et inéquations du second
II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . .
II.2 Cas particuliers simples . . . . . .
II.3 Méthode générale . . . . . . . . . .
II.4 Inéquations du second degré . . . .
II.4.1 Exemple . . . . . . . . . . .
II.4.2 Méthode générale . . . . . .
degré
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III Approfondissement
III.1 Pour comprendre la preuve du théorème 1
III.2 Polynômes de degré supérieur . . . . . . .
III.2.1 Equations, racines et factorisation
III.2.2 Inéquations polynomiales . . . . .
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Révisions
I.1
I.1.1
Equations du premier degré
Introduction
Lors d’un voyage aux Etats-Unis, mon enfant de 6 mois semble abattu. Bon, je commence
à avoir l’habitude et j’ai adopté la règle suivante : je prends sa température, puis
? en dessous de 38, 5◦ C, je ne fais rien,
? entre 38, 5 et 40◦ C, je considère qu’il a de la fièvre et je lui donne éventuellement un
antipyrétique de type paracétamol en attendant de voir un autre symptôme arriver,
? au-delà de 40◦ C, je file chez le médecin.
Bref, je trouve un thermomètre et prends sa température : le thermomètre indique 100, 4.
Après un instant de panique, je me rends compte que la température est affichée en degrés
Fahrenheit. Je n’ai aucune idée de ce que ce nombre signifie par rapport à mes habitudes.
Heureusement, la notice du thermomètre indique la relation entre la température en degrés
1
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Equations, inéquations – Cours
2016-2017
Celsius (l’échelle utilisée couramment en France), désignée par TC , et la température en
degrés Fahrenheit, désignée par TF :
TF = 1, 8 × TC + 32 .
(1)
Quelle conduite dois-je adopter ? Pour d’autres occasions, j’aimerais transcrire la règle
de conduite ci-dessus en une règle de conduite où les degrés Celsius sont remplacés par des
degrés Fahrenheit, pouvez-vous m’aider ?
Nous allons voir apparaître les mots-clefs suivants : variable, égalité, équation, résolution,
inégalité, inéquation, inconnue, paramètre, solution, ensemble des solutions, équivalence.
Première résolution. Pour répondre à la première question, remplaçons la variable TF
dans (1) par ce qu’elle vaut dans le cas présent : 100, 4. On obtient :
1, 8 × TC + 32 = 100, 4
(2)
Ça ne m’évoque toujours pas grand chose, et il faut maintenant que j’isole TC ou autrement
dit que je résolve l’équation (2) en l’inconnue TC .
Pour cela, on utilise les vieilles recettes de l’algèbre, qui nous permettent de manipuler
des équations à l’aide des quatre opérations pour obtenir des équations équivalentes. On
retranche 32 des deux côtés de l’égalité pour obtenir :
1, 8 × TC = 68, 4
et enfin on divise chaque côté de l’égalité par 1, 8 pour obtenir :
TC =
68, 4
1, 8
c’est à dire TC = 38. Conclusion : pas de panique, je peux attendre de voir. Au passage, on
a résolu l’équation (2) en l’inconnue TC , elle a une unique solution, qui est 38. Remarquons
qu’au lieu de remplacer TF par 100, 4 au début, on aurait pu le garder sous forme de variable
le plus longtemps possible, et ne résoudre le problème qu’à la fin. Le raisonnement ci-dessus
conduit à :
TC =
TF − 32
1, 8
(3)
La notice nous avait donné TF en fonction de TC , et on a réussi à exprimer TC en fonction
de TF . L’avantage est de ne pas devoir recommencer tout le calcul à partir de zéro à chaque
fois pour de nouvelles valeurs de TF , mais simplement la dernière étape (remplacer TF par
sa valeur dans (3)). TF joue ici le rôle de paramètre, c’est à dire une variable que l’on
considère comme connue mais arbitraire. Remarquons à ce propos que la relation (2) exprime
une relation entre deux variables, TC et TF , et que selon le contexte chacune de ces variables
peut être une inconnue ou un paramètre. Dans le raisonnement qui conduit à l’équation (3),
TC était l’inconnue et TF un paramètre. 1
Exercice no 1
Résoudre l’équation suivante en l’inconnue x :
−3x + 4 = 12
1. Pour un américain séjournant à Paris, ce serait l’inverse.
-2-
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I.1.2
Equations, inéquations – Cours
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Rappels sur les règles de base de l’algèbre
Comme nous avons vu l’importance des règles de base de l’algèbre pour la résolution des
équations, faisons tout d’abord quelques rappels sur ces règles.
Quelques rappels sur l’addition de nombres réels
Pour tous réels a, b et c,
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
(commutativité)
(associativité)
Quelques rappels concernant la multiplication de nombres réels
Pour tous réels a, b et c,
a×b=b×a
(a × b) × c = a × (b × c)
(commutativité)
(associativité)
Notations et vocabulaire : a × b est appelé le produit de a et b, et a et b sont appelés
ses facteurs. Pour simplifier les écritures, lorsque cela n’engendre pas de confusion, le signe
de multiplication est souvent omis (il est alors sous-entendu) : par exemple, le produit de a
et b est noté ab au lieu de a × b.
Enfin, la propriété cruciale liant l’addition et la multiplication : la distributivité de
l’addition par rapport à la multiplication,
Pour tous réels a, b et c,
a × (b + c) = a × b + a × c
(distributivité)
Quand, dans un raisonnement, on utilise l’égalité ci-dessus en remplaçant le terme de
gauche par le terme de droite, on dit qu’on a effectué un développement. Quand on utilise
cette égalité en remplaçant le terme de droite par le terme de gauche, on dit qu’on a effectué
une factorisation.
En fait, il manque aux règles ci-dessus quelques règles que vous connaissez bien, et qui
expliquent les rôles particuliers des nombres 0 et 1.
Pour tout réel a,
a+0 = a
a×1 = a
a×0 = 0
-3-
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Tout nombre réel a possède un opposé, noté −a, tel que a + (−a) = 0.
Tout nombre réel différent de 0 possède un inverse, noté 1/a ou a−1 tel que :
a × (1/a) = 1
L’ensemble des règles énoncées ci-dessus constitue la base de tout le reste en algèbre, au
sens où tout énoncé doit pouvoir être démontré uniquement à partir de ces règles 2 .
Exemple 1 (Les identités remarquables)
Elles correspondent simplement à un enchaînement de deux développements. Développons (a + b)2 . Le
signe «2 » est un simple raccourci pour dire qu’on multiplie (a+b) par lui-même. En utilisant la distributivité
(I.1.2), on a, pour tous nombres réels a et b,
(a + b) × (a + b) = (a + b) × a + (a + b) × b
On utilise à nouveau la distributivité (et la commutativité de la multiplication) pour obtenir :
(a + b) × a + (a + b) × b = a × a + b × a + a × b + b × b
Enfin, on rassemble les termes égaux : b × a + a × b = 2 × a × b pour obtenir :
(a + b)2 = a × a + b × b + 2 × a × b
Soit, en écriture plus compacte,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Exercice no 2
Démontrer les deux autres identités remarquables : pour tous réels a et b,
(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Exercice no 3
Démontrer que (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.
I.1.3
Formalisation
Donnons d’abord une définition formelle de ce qu’est une équation à une inconnue :
Définition 1
Une équation en l’inconnue x est la donnée :
? d’une égalité entre deux fonctions 3 de la variable x ,
? d’un domaine D, ensemble des valeurs dans lequel on cherche les solutions.
Une formulation typique est donc f (x) = g(x), x ∈ D.
L’ensemble des solutions de l’équation est le sous-ensemble des valeurs x de D
telles que f (x) = g(x) est vrai.
Résoudre une équation, c’est déterminer l’ensemble de ses solutions.
Deux équations de même inconnue et même domaine sont dites équivalentes si elles
ont exactement les mêmes solutions.
2. La soustraction et la division peuvent être vues à partir de cela comme de simples notations : a − b
signifie a + (−b) et ab signifie a × 1b .
-4-
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Exemples :
3x
(a) 5x2 − 357 = x−1
,
(b) (2x − 1)3 + (1 − 2x)(3 − 2x) = 0,
(c) 34x − 4 = 12x + 7,
Remarquons que dans bien des cas, l’inconnue x et le domaine D ne sont pas explicites
et sont à déduire du contexte 4 .
Pour résoudre les équations, on les transforme par une suite d’opérations simples (dites
élémentaires), qui ne changent pas l’ensemble des solutions, jusqu’à arriver à une équation
dont l’ensemble des solutions est évident, du type x = 2, ou 1 = 3 (pas de solution).
Voici les deux opérations élémentaires de base.
Propriété 1 (Opérations élémentaires sur les équations)
? Si l’on ajoute un même nombre à chaque membre d’une équation, on obtient une
équation équivalente.
? Si l’on multiplie chaque membre d’une équation par un même nombre non nul, on
obtient une équation équivalente.
Avec une définition aussi générale que la Définition 1, on peut se retrouver avec des
équations très difficiles à résoudre. On se contentera dans ce premier cours d’étudier les
équations et inéquations les plus simples (affines, puis polynomiales).
Les équations les pus simples sont les équations du premier degré, ou affines, c’est-àdire celles qui peuvent se mettre sous la forme
ax + b = 0
avec a et b des paramètres réels, a 6= 0, comme celle traitée dans l’exemple introductif. 5
Propriété 2 (Equation du premier degré générale)
Soient a et b des paramètres réels, avec a 6= 0. L’équation ax + b = 0 a une unique
solution, x = − ab .
I.2
I.2.1
Inéquations du premier degré
Problème introductif
Revenons à l’exemple introductif et à la question “Pour d’autres occasions, j’aimerais
transcrire la règle de conduite ci-dessus en une règle de conduite où les degrés Celsius sont
3. Attention l’une des deux fonctions (ou même les deux !) peut ne pas dépendre de x, c’est-à-dire être
une fonction constante, comme par exemple dans : 2x + 1 = 5 (ici g(x) = 5), −3x + 1 = 0 (ici g(x) = 0).
4. Par défaut on prendra comme domaine D l’ensemble de toutes les valeurs pour lesquelles l’égalité
considérée a un sens, par exemple dans l’équation (a) on prend D = R − {1}.
5. Une fonction affine est une fonction de la forme f (x) = ax + b, avec a et b des paramètres réels.
Les fonctions affines sont très importantes, notamment parce que beaucoup de fonctions “ressemblent” à des
fonctions affines lorsqu’on les regarde d’assez près. C’est le sens de la notion de dérivée que l’on étudiera plus
tard.
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remplacés par des degrés Fahrenheit, pouvez-vous m’aider ?” Au lieu de faire la conversion en
degrés Celsius à chaque fois, j’aimerais transcrire la règle de conduite ci-dessus en une règle
de conduite où les degrés Celsius sont remplacés par des degrés Fahrenheit. Autrement dit,
j’aimerais comprendre comment s’expriment sur TF les règles que j’ai édictées pour TC . En se
−32
rappelant que TC = TF1,8
, nous sommes donc amenés à résoudre l’inéquation suivante :
TF − 32
≤ 38, 5
1, 8
(4)
Pour transcrire mes règles de manière exacte, on utilise également les règles de l’algèbre,
cette fois sur des inégalités.
TF − 32
≤ 38, 5 ,
1, 8
TF − 32
⇔
× 1, 8 ≤ 38, 5 × 1, 8 ,
1, 8
⇔ TF − 32 ≤ 38, 5 × 1, 8 ,
TC ≤ 38, 5 ⇔
⇔ TF − 32 + 32 ≤ 38, 5 × 1, 8 + 32 ,
⇔ TF ≤ 38, 5 × 1, 8 + 32 ,
⇔ TF ≤ 101, 3 ,
Par conséquent, la première règle devient “en dessous de 101,3◦ F , je ne fais rien”. Nous avons
résolu l’inéquation (4) en l’inconnue TF , et l’ensemble des solutions est l’ensemble des réels
inférieurs ou égaux à 101, 3, que l’on note mathématiquement ] − ∞; 101, 3]. Remarquons
que cet ensemble est en fait inutilement grand d’un point de vue physique, car certaines
températures ne peuvent être atteintes (on ne peut descendre en-dessous du “zéro absolu”,
qui vaut environ -459,67◦ F ). Cela permet de souligner que l’on n’a pas été très précis au
début de la résolution de l’inéquation : en toute rigueur il faudrait préciser l’ensemble dans
lequel on cherche une solution, ensemble qui pourrait être ici [−459, 67; +∞[, auquel cas
l’ensemble des solutions de l’inéquation (4) serait [−459, 67; 101, 3]. 6
Exercice no 4
Traduire le reste de ma règle de conduite.
Avant de traiter le cas général, commençons par revoir les règles de base sur les inégalités.
I.2.2
Rappels sur les inégalités
Pour manipuler les inéquations à l’aide des quatre opérations, nous allons utiliser les règles
suivantes.
Propriété 3 (Règles de manipulations des inégalités)
Pour tous réels a, b et c,
a<b⇔a+c<b+c
6. En fait, d’un point de vue biologique, on peut ne considérer que des températures comprises entre 12◦ C
et 42◦ C. À vous de trouver l’ensemble dans lequel on chercherait alors une solution.
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Si c est un réel strictement positif,
a < b ⇔ ac < bc
Si c est un réel strictement négatif,
a < b ⇔ ac > bc
Remarquons que les mêmes énoncés sont vrais avec des inégalités larges dans les équivalences. Une autre propriété que nous utiliserons constamment est celle concernant le signe
d’un produit :
Propriété 4 (Signe d’un produit)
Pour tous réels a et b
ab > 0 ⇔ (a > 0 et b > 0) ou (a < 0 et b < 0)
Exercice no 5
Exprimer ces énoncés sans notation mathématique et les visualiser sur la droite réelle.
Exercice no 6
Soient a et b deux nombres réels tels que 1, 3 < a < 1, 4 et 0, 01 < b < 0, 02. Encadrer a + b, a − b, ab
et a/b.
I.2.3
Formalisation
Exercice no 7
Ecrire une définition d’une inéquation à une inconnue.
Revenons sur la méthode de résolution d’une inéquation du premier degré.
Exercice no 8
Résoudre −3x + 4 < 0.
Exemple de résolution : On essaie d’isoler x en utilisant les règles de base de l’algèbre :
−3x + 4 < 0 ⇔ −3x + 4 − 4 < 0 − 4
⇔ −3x < −4
1
1
⇔ −3x ×
> −4 ×
−3
−3
4
⇔ x>
3
4
Donc l’ensemble des solutions est ] , +∞[.
3
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On peut, de la même manière, résoudre toutes les inéquations du premier degré,
c’est-à-dire toutes les inéquations pouvant se mettre sous l’une des formes
ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0 ou ax + b > 0 ou ax + b < 0,
où a et b sont deux réels (avec a 6= 0).
Exercice no 9 (Inéquation du premier degré générale)
Soient a et b des paramètres réels. Résoudre l’inéquation ax + b < 0.
I.3
Systèmes d’équations du premier degré à deux inconnues
Exemple de problème. Hier, je suis allé chez mon boulanger et j’ai acheté 2 baguettes
et 4 croissants. J’en ai eu pour 6 euros et 10 cents. Ce matin, je n’ai acheté qu’une baguette
et trois croissants, et j’en ai eu pour 4 euros et 5 cents. Quel est le prix de la baguette et du
croissant 7 ?
Exemple de résolution. On introduit les notations suivantes : xb désigne le prix de la
baguette et xc le prix du croissant. L’énoncé du problème nous donne donc deux informations :
2xb + 4xc = 6, 10 et xb + 3xc = 4, 05. Il y a deux inconnues : xb et xc , et deux équations qui
doivent être réalisée toutes les deux. Il s’agit d’un système d’équations, que l’on présente
souvent avec une accolade 8 :
2xb + 4xc = 6, 10
(5)
et xb + 3xc = 4, 05
Ce qu’on vient de faire s’appelle une mise en equations du problème.
Une méthode simple pour résoudre ce genre de système consiste à résoudre une des deux
équations en xb , en faisant comme si xc était fixée, puis à substituer la valeur obtenue pour
xb dans l’autre équation, qui deviendra une équation à une inconnue, facile à résoudre. On
appelle cette méthode la méthode par substitution.
Essayons : Soient xb et xc deux nombres réels quelconques. Alors
2xb = 6, 10 − 4xc
2xb + 4xc = 6, 10
⇔
et xb + 3xc = 4, 05
et xb + 3xc = 4, 05
c
xb = 6,10−4x
2
⇔
et xb + 3xc = 4, 05
xb = 3, 05 − 2xc
⇔
et 3, 05 − 2xc + 3xc = 4, 05
xb = 3, 05 − 2xc
⇔
et 3, 05 − 2xc + xc = 4, 05
xb = 3, 05 − 2xc
⇔
et xc = 1
xb = 3, 05 − 2 × 1
⇔
et xc = 1
xb = 1, 05
⇔
et xc = 1
7. En supposant qu’il n’ait pas augmenté ses prix pendant la nuit !
8. Le “et” entre les deux équations est en général sous-entendu
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Equations, inéquations – Cours
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On constate donc qu’il y a une unique solution au système (5), qui est : xb = 1, 05
et xc = 1. Pour éviter les confusions, on considère que le système d’équations a une seule
inconnue : le couple (xb ; xc ), et chaque solution est alors un couple de nombres réels. Ici on
écrira que le système a une unique solution : (xb ; xc ) = (1, 05 , 1).
Exercice no 10
Dans l’exemple introductif ci-dessus, on change légèrement les données du problème : on suppose qu’on
a acheté deux croissants seulement et non trois ce matin, et qu’on en a eu pour 3 euros et 5 cents. Que
se passe-t-il ?
Un système d’équations du premier degré comme ci-dessus (aussi appelé système linéaire) n’a pas toujours une unique solution. Il peut y en avoir aucune, une seule, ou une
infinité. Voici quelques exemples illustrant les différentes situations que nous pouvons rencontrer.
Exemple 2
x+y = 1
Le système
admet une unique solution. Cette solution est (x; y) = (−1; 2), que l’on
y = 2
obtient en remplaçant y = 2 dans la première équation.
Exemple 3
x+y = 1
Le système
n’a pas de solution : en effet, si ce système admet une solution (x; y), alors
x+y = 2
x + y = 1 et x + y = 2, ce qui signifie que 1 = 2...
Exemple 4
Le système
x+y = 2
On remarque que les deux équations sont équivalentes (l’une est un
−2x − 2y = −4
multiple de l’autre). On peut par exemple choisir une valeur arbitraire pour x, qu’on notera par exemple
t. En remplaçant x par t on voit qu’alors il existe une unique solution y = 2 − t. Il y a donc une infinité de
solutions, qu’on peut décrire comme les couples (t; 2 − t), pour t parcourant R. L’ensemble S des solutions
s’écrit alors
S = {(t; 2 − t), t ∈ R}
-9-
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II
II.1
Equations, inéquations – Cours
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Equations et inéquations du second degré
Introduction
Exemple de problème concret : Un enfant lance une balle en l’air. Le principe fondamental de la dynamique 9 implique que tant que la balle n’est soumise qu’à son propre poids,
sa hauteur (en mètres) au-dessus du sol à l’instant t est donnée par la formule suivante 10 :
h(t) = 1 + 6t − 5t2 ,
où le temps t est mesuré en secondes. À quel instant la balle va-t-elle toucher le sol ?
Il s’agit de résoudre l’équation du second degré :
1 + 6t − 5t2 = 0,
t ∈ [0, +∞[
(6)
(où l’inconnue est t).
Définition 2
Une équation du second degré en l’inconnue x est une équation qui peut se mettre
sous la forme
ax2 + bx + c = 0
où a, b et c sont des nombres réels, avec a 6= 0.
L’expression P (x) = ax2 + bx + c est appelée un polynôme de degré 2 (car le plus
grand exposant de x est 2), ou un trinôme.
Une racine de P (x) est un nombre r tel que P (r) = 0. Résoudre l’équation P (x) = 0,
c’est donc chercher les racines de P .
Avant de présenter la méthode générale de résolution, et de résoudre l’équation (6), nous
allons nous pencher sur des cas plus simples d’équations du second degré, qui se résolvent
plus facilement (et qui sont à connaître).
II.2
Cas particuliers simples
Equations produits et factorisation. Une première remarque extrêment importante est
que lorsque P (x) est factorisé (c’est alors un produit P (x) = A(x)B(x) de deux facteurs
du premier degré), par exemple pour :
P (x) = (2x − 1)(2x − 4)
le problème est facile à résoudre, car l’équation P (x) = 0 se ramène à résoudre séparément les deux équations du premier degré A(x) = 0 et B(x) = 0. Ici :
(2x − 1)(2x − 4) = 0 ⇔ 2x − 1 = 0 ou 2x − 4 = 0
1
⇔ x = ou x = 2
2
9. Aussi appelé “Deuxième loi de Newton”.
10. la constante devant t2 est approximative et devrait valoir g/2, où g est l’accélération du champ de
pesanteur terrestre
-10-
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Equations, inéquations – Cours
2016-2017
L’équation possède donc toujours ou bien deux solutions (ici x = 12 et x = 2), ou une seule
(si les deux équations de degré 1 ont la même solution, par exemple pour (x − 2)(2x − 4) = 0)
(On parle alors de racine double).
Remarquons que nous avons utilisé la propriété suivante : un produit de deux nombres
réels est nul si et seulement si l’un au moins des deux nombres est nul. Sous forme
plus compacte, cela s’énonce comme suit :
Propriété 5 (Produit nul)
Pour tous nombres réels a et b,
a × b = 0 ⇔ (a = 0 ou b = 0)
Equations de la forme x2 + c = 0 (sans terme de degré 1) Par exemple
x2 − 4 = 0
Quelles sont les solutions de cette équation ? Elle est équivalente à x2 = 4. Connaissonsnous des nombres qui élevés au carré font 4 ? 2 est une solution bien sûr et −2 en est une
autre. Pour prouver formellement qu’il n’y a pas d’autres solutions, une méthode consiste
à factoriser, en reconnaissant que x2 − 4 = x2 − 22 et en utilisant l’identité remarquable
(a2 − b2 ) = (a − b)(a + b). En effet :
x2 − 4 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) = 0
⇔ x − 2 = 0 ou x + 2 = 0
⇔ x = 2 ou x = −2
et ainsi l’équation x2 − 4 = 0 a exactement deux solutions : 2 et −2. Ou encore, l’ensemble
des solutions est {−2; 2}.
Autre exemple :
x2 + 1 = 0
Cette équation est équivalente à x2 = −1. Mais il n’existe pas de nombre réel dont le carré est
strictement négatif. Cette équation n’a donc pas de solution. À noter qu’on considère qu’on
a bien résolu l’équation ! On dit alors que l’ensemble des solutions S est l’ensemble vide,
qui est noté S = ∅.
Equations de la forme (x + a)2 + b = 0 Par exemple :
(E) (x + 2)2 − 3 = 0
En considérant que l’inconnue est t = x + 2 (changement d’inconnue, appelé changement
de variable), on est ramené à résoudre l’équation
(E 0 ) t2 − 3 = 0
0
ce que
√ l’on sait faire
√ (vu précédemment). On obtient que l’équation (E ) a deux√solutions
t = 3√et t = − 3, donc comme x = t − 2, l’equation (E) a deux solutions x = 3 − 2 et
x = − 3 − 2.
-11-
DAEU-B
Equations, inéquations – Cours
2016-2017
Une autre méthode équivalente est de factoriser directement le membre de gauche de
(E), pour se ramener à une équation produit en utilisant l’identité remarquable (a2 − b2 ) =
(a − b)(a + b) :
√
√
√
(x + 2)2 − 3 = (x + 2)2 − ( 3)2 = (x + 2 + 3)(x + 2 − 3)
Donc
√
√
(E) ⇔ (x + 2 + 3)(x + 2 − 3) = 0
√
√
⇔ x + 2 + 3 = 0 ou x + 2 − 3 = 0
√
√
⇔ x = −2 − 3 ou x = −2 + 3
La technique mise en œuvre ci-dessus marche √
pour l’équation (x√+ a)2 + b = 0 générale,
lorsque b ≤ 0. On obtient deux racines x1 = −a − −b et x2 = −a + −b, distinctes si b 6= 0,
confondues (x1 = x2 = −a si b = 0).
Si b > 0, par exemple pour :
(E) (x + 2)2 + 3 = 0
alors il n’y a aucune solution réelle : En effet, pour tout x ∈ R, on a (x + 2)2 ≥ 0, donc
(x + 2)2 + 3 ≥ 3 > 0, en particulier (x + 2)2 + 3 6= 0.
Minimum : Remarquons qu’on a démontré au passage que P (x) = (x + 2)3 + 3 est
toujours supérieur ou égal à 3. De plus on a
P (x) = 3 ⇔ (x + 2)2 = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = −2
donc la valeur minimale possible pour P (x) est 3, et elle est atteint pour une unique valeur
de x, qui est x = 3.
II.3
Méthode générale
Pour un polynôme du second degré général, on peut démontrer (voir section III.1) qu’on
peut toujours l’écrire sous la forme P (x) = a((x + a0 )2 + b0 ), que l’on sait traiter (voir
précédemment). On obtient alors le théorème suivant, qui fournit une méthode simple pour
savoir si on peut factoriser ou pas P (x), et pour trouver ses racines : le calcul du discriminant.
Théorème 1
Soient a, b, c trois paramètres réels, avec a 6= 0 11 . On souhaite résoudre l’équation suivante
en l’inconnue x dans l’ensemble des nombres réels.
ax2 + bx + c = 0
(7)
On pose ∆ = b2 − 4ac. Alors,
? Si ∆ > 0, alors on a une factorisation de la forme ax2 +bx+c = a(x−x1 )(x−x2 ),
avec
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
et x2 =
,
2a
2a
En particulier, l’équation (7) a deux solutions distinctes x1 et x2 .
Ordre des racines :Notons que x1 < x2 si a > 0, tandis que x1 > x2 si a < 0.
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Equations, inéquations – Cours
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? si ∆ = 0, on a une factorisation de la forme ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 , avec
x0 =
−b
2a
en particulier l’équation (7) a une unique solution x0 .
? si ∆ < 0, l’équation (7) n’a pas de solution, et le trinôme et ax2 + bx + c ne peut
pas être factorisé.
∆ est appelé le discrimant de l’équation (7).
Exemple 5
Résolvons maintenant la question du problème introductif, c’est à dire l’équation (6) :
h(t) = 1 + 6t − 5t2 = 0, t ∈ [0, +∞[
Solution :
On reconnait un polynome du second degré h(t) = −5t2 + 6t + 1.
Le discriminant est ∆ = 62 − 4 × (−5)
×1 =
36 + 20 = 56.√On a ∆√> 0, donc h(t) a deux racines
√
√
6+ 56
56
−6− 56
= 6−10 56 .
distinctes dans R, qui sont t1 = 2×(−5) = 10 et t2 = −6+
√
√
√
√
√ 2×(−5)
√
√
14
On a 56 = 4 × 14 donc 56 = 4 × 14 = 4 × 14 = 2 14. Donc t1 = 6+2
= 3+5 14 et
2×5
√
√
14
= 3−5 14
t2 = 6+2
2×5
On a t1 ≥ 0 donc t1 est√solution de l’équation (6).
Comme 14 > 32 , on a 14 > 3, donc t2 < 0.
√
L’équation (6) a donc une unique solution t1 = 3+5 14 ' 1, 348s
Cas où on connait une racine - Racines évidentes : Si on connait une racine
x1 de P (x), alors on sait que P (x) peut se factoriser sous la forme
P (x) = a(x − x1 )(x − x2 )
Il suffit donc de trouver x2 à partir de ça. C’est en général bien plus rapide que de calculer
∆!
Une méthode possible : en faisant x = 0 dans
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
on obtient c = ax1 x2 et donc x2 =
c
ax1 .
Exemple 6
Résoudre 2x2 + 1246x + 1244 = 0 en remarquant que −1 est solution.
−1 est racine donc on sait que 2x2 + 1246x + 1244 = 2(x − (−1))(x − x2 ) = 2(x + 1)(x − x2 ). Pour
x = 0 on a alors 1244 = −2x2 , donc x2 = − 1244
2 = 622.
Conclusion :
? 2x2 + 1246x + 1244 = 2(x + 1)(x − 622)
? l’équation (E) a deux solutions, −1 et 622.
11. Si a = 0 on a une équation du degré 1 que l’on sait déjà résoudre.
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Equations, inéquations – Cours
La première chose à faire quand on veut résoudre une équation du second
degré ou factoriser un trinôme est donc
? Regarder si on connait déjà une racine ;
? chercher une racine évidente : c’est-à-dire essayer 1, −1, voire 2 et −2.
Exercice no 11
Résoudre l’équation 2x2 − 3x + 1 = 0.
II.4
Inéquations du second degré
II.4.1
Exemple
Commençons par un exemple : on voudrait résoudre (x − 1)(x + 4) > 0. On sait qu’un
produit de deux nombres du même signe est positif, et qu’un produit de deux nombres de
signes opposés est négatif. Par conséquent :
(x − 1)(x + 4) > 0 ⇔ (x − 1 > 0 et x + 4 > 0) ou (x − 1 < 0 et x + 4 < 0)
⇔ (x > 1 et x > −4) ou (x < 1 et x < −4)
⇔ (x > 1 ou x < −4)
On en déduit que l’ensemble des solutions est ] − ∞, −4] ∪ [1, +∞[.
Une façon plus “graphique” de résoudre l’inéquation consiste à faire un tableau de signe :
x
x−1
x+4
(x − 1)(x + 4)
−∞
-4
+
0
0
+
-
1
0
0
+∞
+
+
+
Cette méthode est plus facile à généraliser à un produit de plusieurs facteurs (voir la
section III.2.2).
Revenons à l’exemple de la balle, au début de la section II.1. On aimerait savoir à quels
instants la balle est à une hauteur superieure ou égale à 2 mètre. Cela revient à résoudre
l’inéquation :
1 + 6t − 5t2 ≥ 2,
t ∈ [0; +∞[
(8)
Or,
1 + 6t − 5t2 ≥ 2 ⇔ −1 + 6t − 5t2 ≥ 0
La clef est de commencer par factoriser le polynôme −1 + 6t − 5t2 , si c’est possible, puis
d’utiliser la technique précédente.
Exercice no 12
Résoudre l’inéquation 1 + 6t − 5t2 ≥ 2.
II.4.2
Méthode générale
-14-
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Equations, inéquations – Cours
La méthode générale pour résoudre une inéquation P (x) < 0 de degré 2 est la suivante :
? factoriser P (x) si c’est possible ;
? si oui étudier le signe du produit (en faisant le tableau de signe).
? Si on ne peut pas factoriser P (x), c’est-à-dire lorsque ∆ < 0, alors P (x) n’a pas de
racines. Lorsque P (x) ne s’annule pas, il est toujours du même signe : soit
strictement positif, soit strictement négatif. Il suffit de l’évaluer en un point (par
exemple en x = 0) pour connaître ce signe. 12
Pour une équation avec second membre P (x) < Q(x), on se ramène à l’inéquation
équivalente P (x) − Q(x) < 0, puis on applique la méthode précédente.
En appliquant le théorème 1, on obtient la description complète suivante pour le signe
des trinômes.
Théorème 2
Soient a, b, c trois paramètres réels, avec a 6= 0 13 . On s’intéresse au signe du trinôme
P (x) = ax2 + bx + c.
On pose ∆ = b2 − 4ac. Alors,
? Si ∆ > 0, alors P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) est du signe de −a pour x entre les deux
racines, et du signe de a sinon.
Si a > 0 :
x
x − x1
x − x2
−∞
a(x − x1 )(x − x2 )
Si a < 0 :
x1
−
−
0
−
+
+
0
−
x2
0
0
ax2
+∞
+
+
x
x − x1
x − x2
+
a(x − x1 )(x − x2 )
)2
−∞
x2
−
−
0
−
+
−
0
+
x1
0
0
+∞
+
+
−
ax2
? si ∆ = 0,
+ bx + c = a(x − x0 et
+ bx + c est toujours du même signe, le
signe de a (pour x 6= x0 ).
x
−∞
x0
+∞
2
a(x − x0 )
signe de a 0 signe de a
? si ∆ < 0, ax2 + bx + c est toujours du même signe, le signe de a.
x
−∞
+∞
ax2 + bx + c
signe de a
Exercice no 13
Résoudre l’inéquation x2 + x + 1 ≥ 0.
III
III.1
Approfondissement
Pour comprendre la preuve du théorème 1
Nous allons expliquer comment on démontre le théorème 1 sur un exemple :
x2 + x − 1 = 0
13. Si a = 0 on a une inéquation de degré 1 que l’on sait déjà résoudre.
-15-
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Equations, inéquations – Cours
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L’idée est d’écrire x2 + x − 1 sous la forme (x + a)2 + b, car dans ce cas, on sera ramené
à une équation sans terme de degré 1 (en faisant comme si l’inconnue était x + a au lieu de
x), que l’on sait résoudre (voir précédemment).
Quelle valeur de a permet d’obtenir x comme terme de degré 1 ? Développons (x + a)2 :
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
Donc si on prend a = 1/2, on obtient :
1
1
(x + )2 = x2 + x +
2
4
D’où :
1
1
5
1
x2 + x − 1 = (x + )2 − − 1 = (x + )2 −
2
4
2
4
On dit que l’on a mis le trinôme x2 + x − 1 sous sa forme canonique. On obtient alors, à
l’aide de l’identité remarquable 14 (a2 − b2 ) = (a − b)(a + b) :
1
5
x2 + x − 1 = (x + )2 −
2
4
r !2
1 2
5
= (x + ) −
2
4
r !
r !
5
1
5
1
x+ +
=
x+ −
2
4
2
4
Ainsi,
r !
r !
5
1
5
x2 + x − 1 = 0 ⇔
x+ +
=0
4
2
4
r !
r !
1
1
5
5
x+ −
= 0 ou x + +
=0
⇔
2
4
2
4
r
r
1
5
1
5
⇔ x=− +
ou x = − −
2
4
2
4
q
q
Et l’équation x2 + x − 1 = 0 a deux solutions, qui sont − 21 + 54 et − 21 − 54 .
1
x+ −
2
Exercice no 14
1. Montrer que pour tous réels x, a, b, c,
b
ax + bx + c = a x +
2a
2
2
−
b2
+c
4a
forme canonique
2. Démontrer le Théorème 1.
√
14. On utilise aussi l’existence de la racine carrée y d’un nombre positif ou nul y, qui est l’unique nombre
positif ou nul dont le carré vaut y. L’existence de la racine carrée découle entre autres du théorème des valeurs
intermédiaires que l’on évoquera plus tard dans ce cours.
-16-
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III.2
Equations, inéquations – Cours
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Polynômes de degré supérieur
III.2.1
Equations, racines et factorisation
Un cas particulièrement important 15 d’équations est le cas des équations polynomiales,
c’est à dire des équations à une inconnue du type P (x) = 0 où P (x) est un polynôme. Un
polynôme en la variable x est une expression comportant uniquement des sommes et des
produits de nombres réels et de la variable x.
Exemple 7
√
√
x − 7 et sin(x2 +
? (3x2 + 2x) × (x − 29),x − 7, et x − sin( π5 ) sont des polynômes en x. (3x−1)
(x+12) ,
1) + x + 2 n’en sont pas.
? c’est plus difficile à voir s’il y a des paramètres : Soit a un nombre réel fixé. 1+x
1+a et sin(a) + x sont
1+a
et sin(x) + a n’en sont pas.
des polynômes en x. 1+x
Lorsqu’il est développé, un polynôme peut s’écrire sous la forme P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 +
. . . + ad xd avec a1 , . . . , ad des nombres réels et ad non nul. On dit que d est le degré du
polynôme.
Exercice no 15
1. Quel est le degré du polynôme (3x2 + 2x) × (x − 29) ?
2. Soit m un paramètre réel fixé. Quel est le degré du polynôme P (x) = (2mx+m2 )×(x2 −mx−1) ?
Une racine de P est nombre a tel que P (a) = 0.
Par exemple 0 et 1 sont tous les deux racines du polynôme x2 − x, mais 2 ne l’est pas.
Résoudre l’équation P (x) = 0, c’est donc chercher les racines de P . Chercher les racines
de P est étroitement lié à la question de la factorisation de P comme le montre la proposition
suivante.
Propriété 6
Soit a un nombre réel. Un polynôme P (x) de degré d ≥ 1 admet a pour racine si et
seulement si P (x) peut s’écrire P (x) = (x − a)Q(x) avec Q(x) un polynôme de degré
d − 1.
Exercice no 16 (Difficile)
Démontrer la Propriété 6.
Si l’on veut rester fidèle à la méthode développée pour le second degré, pour résoudre
l’équation P (x) = 0 il serait souhaitable de factoriser le polynôme P . En effet, il suffira
ensuite de chercher les racines de chaque facteur. On souhaite donc factoriser le polynôme
en produit de facteurs les plus simples possibles, c’est à dire de degrés les plus bas possibles,
donc si c’est possible, de degré 1.
15. Une raison de cette importance est la relative simplicité des polynômes, associée à l’observation suivante :
si l’approximation d’une fonction par une fonction affine n’est pas assez précise, on peut souvent mieux
l’approcher par un polynôme.
-17-
DAEU-B
Equations, inéquations – Cours
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Or à partir du degré 3, les choses se compliquent 16 . Néanmoins, il arrive que certaines
équations aient des solutions “évidentes”, comme dans l’Exercice 6 et en utilisant la Propriété 6, on abaisse alors d’un degré le polynôme à étudier, et avec un peu de chance on peut
trouver toutes les racines.
Exercice no 17
Factoriser x3 + x − 2.
De manière moins anecdotique on peut souvent, sans savoir expliciter les racines avec des
fonctions simples, dire tout de même des choses d’un point de vue qualitatif, ou de manière
approchée, notamment grâce aux techniques d’étude de fonction que l’on verra dans la suite
du cours.
III.2.2
Inéquations polynomiales
Une inéquation polynomiale est une inéquation de la forme P (x) < Q(x) (ou P (x) ≤
Q(x)) avec P et Q des polynômes. La méthode pour les résoudre est essentiellement la même
que précédemment : écrire l’inéquation équivalente P (x) − Q(x) < 0, factoriser P (x) − Q(x)
et étudier le signe du produit. Déterminer le signe d’un produit de plus de deux facteurs de
degré 1 n’est pas beaucoup plus difficile que lorsqu’il n’y en a que deux.
Exercice no 18
Résoudre l’inéquation (x − 3)(x + 2)(x − 7) < 0.
La difficulté principale est de factoriser le polynôme s’il ne l’est pas déjà.
Exercice no 19
Résoudre l’inéquation 2x2 + 8 < x3 + 4x.
16. Et on peut même montrer qu’à partir du degré 5, elles se compliquent en général terriblement. Il a été
démontré par Abel en 1824 qu’il n’existe pas de formule générale permettant d’obtenir les solutions d’une
équation polynomiale de degré supérieur ou égal à 5 à partir des coefficients du polynôme en utilisant les
quatre opérations et les racines n-èmes.
-18-