Chapitre 1 Arithmétique Partie 2 : Division euclidienne ( ) ( ) ( )1 ( ) ) )

Chapitre 1
Arithmétique
Partie 2 : Division euclidienne
Propriété d'Archimède
Soit b un entier naturel non nul.
Pour tout entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < b × n.
Remarque
Cela revient à dire que si b est positif, il existe toujours un multiple positif de b plus grand que
n’importe quel entier naturel a fixé au préalable.
Démonstration
Nous donnons ici deux démonstrations de la proposition précédente.
• Démo 1 : comme b est un entier naturel non nul, 1 ≤ b . Donnons nous un entier a
quelconque. En multipliant l’égalité précédente par l’entier positif a + 1, on tire :
( a + 1) ≤ b × ( a + 1) or a < a + 1 et finalement : a < b × ( a + 1) . Choisissons n = a + 1 et
nous avons ainsi bien trouvé un entier n vérifiant a < b × n , ce qu’il fallait démontrer.
•
Démo 2 : Ecrivons notre propriété avec des quantificateurs :
Soit b ∈ ℕ, b ≠ 0. ( ∀a ∈ ℕ, ∃n ∈ ℕ / a < b × n ) .
Faisons une démonstration par l’absurde : supposons que le contraire de la
proposition ( ∀a ∈ ℕ, ∃n ∈ ℕ / a < b × n ) soit vrai, on aurait donc ( ∃a ∈ ℕ / ∀n ∈ ℕ, a ≥ b × n )
ce qui équivaut (b étant non nul) à l’existence d’un entier naturel a tel que
pour tout entier n,
a
a
≥ n . Tout entier n serait donc plus petit qu’un nombre réel fixé
b
b
ce qui ne se peut pas. La proposition contraire de la proposition à montrer étant fausse,
notre propriété est vraie.
Exemple
Si b = 5 et a = 51 dès que l’on choisit un entier n ≥ 11, on a < b × n.
Rappel : Technique de la division d'entiers naturels
Poser la division de 71 par 9.
On peut écrire 71 = 9 x 7 + 8.
71 s'appelle le dividende, 9 le diviseur, 7 le quotient et 8 le reste.
On a 8 < 9, le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur.
71
9
8
7
Remarque
Pour chercher le quotient q de la division de a entier naturel par b entier naturel non nul, on
cherche en pratique les multiples du diviseur b et on choisit celui qui précède immédiatement
le multiple strictement supérieur au dividende.
Si q × b, q ∈ ℕ est le multiple recherché, alors q est le quotient et r = a − b × q est le reste de la
division de a par b.
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Propriété 1 : Division euclidienne dans ℕ (Admis)
Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ; r) d'entiers naturels tel que : a = b × q + r et 0 ≤ r < b
On dit que a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste
de la division euclidienne de a par b.
On dit que le couple unique (q ; r) est le résultat de la division euclidienne de a par b.
Démonstration
On considère l’ensemble H = {n ∈ ℕ / a < b × n} .
Commençons par quelques remarques utiles pour la suite :
• Tout entier naturel élément de H vérifie a < b × n , tout entier naturel qui n’appartient
pas à H vérifie donc a ≥ b × n (P1)
• Comme a ≥ 0 , on peut écrire a ≥ b × 0 ce qui entraîne par (P1) que 0 ∉ H (P2)
• H est non vide, en effet la propriété d’Archimède assure de l’existence d’un entier
naturel n vérifiant a < b × n (P3)
• H est une partie de ℕ par construction (P4)
En utilisant (P3) et (P4) on déduit que H admet un plus petit élément d’après la propriété 0 du
polycopié précédent.
Notons p cet élément et étudions ses propriétés :
• p est un élément de H donc a < b × p ⇔ a − b × p < 0 (P5)
• 0 ∉ H par (P2) donc p ≠ 0 et comme p est un entier naturel, p ≥ 1 ⇔ p − 1 ≥ 0 ⇔ p − 1∈ ℕ (P6)
• p − 1∈ ℕ par (P6) et p − 1 est strictement plus petit que p qui est le plus petit élément de H,
donc p − 1∉ H et ainsi par (P1) a ≥ b × ( p − 1) (P7)
Existence du couple (q ; r) :
Posons q = p − 1 . En utilisant (P6) et (P7) on déduit que q ∈ ℕ et a − b × q ≥ 0 .
Posons r = a − b × q. r est un entier et d’après ce qui précède r ≥ 0 donc r ∈ ℕ .
−b× p + b < b .
De plus r = a − b × q = a − b × ( p − 1) = a
strictement
négatif par ( P 5 )
On a donc bien montré l’existence de deux entiers naturels p et q tels que a = b × q + r et 0 ≤ r < b .
Unicité du couple (q ; r) :
Supposons qu’il existe deux couples (q ; r) et (q’ ; r’) solutions du problème initial, on aurait
donc : a = b × q + r et a = b × q '+ r ' .
Quitte à soustraire membres à membres les deux égalités précédentes on obtient :
r ′ − r = b × ( q − q′ ) (P8)
Comme de plus : 0 ≤ r < b et 0 ≤ r ′ < b , on a 0 ≤ r < b et −b < − r ′ ≤ 0 , en ajoutant membre à
membre on tire −b < r ′ − r < b (P9).
Combinons (P8) et (P9) pour obtenir −b < b × ( q − q′ ) < b ce qui équivaut puisque b est
strictement positif après simplification à −1 < ( q − q′ ) < 1 et par suite q − q′ = 0 ⇒ q = q′ .
∈ℤ
On a donc a = b × q + r et a = b × q + r ' donc r = r ′ .
L’unicité du couple (q ; r) est finalement démontrée.
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Remarque
Si le reste r est nul, alors a est divisible par b et réciproquement.
Exemple
Division euclidienne de 249 par 7: 249 = 7 x 35 + 4.
a = 249 ; b = 7 ; q = 35 et r = 4. Remarquons que l’on a bien 0 ≤ r < 7 .
Avec une calculatrice
On dit qu’un nombre réel x admet pour partie entière a si et seulement si a est l’unique entier
relatif tel que a ≤ x < a + 1 . Par exemple la partie entière de 208,32 est 208 ; celle de 249 est
249 lui-même, celle de -17,31 est -18 !
Pour faire par exemple avec une calculatrice quelconque la division euclidienne de a par
b si a est entier naturel et b entier naturel non nul :
Evaluer a/b, si le résultat est un entier c’est le quotient et le reste est
nul. Sinon prendre la partie entière q du résultat obtenu et
calculer r = a − b × q . q est le quotient et r est le reste de la division de
a par b. Dans l’exemple ci contre, on a réalisé la division euclidienne
de a = 1815 par b = 17, on trouve q = 106 et r = 13
Programme de division euclidienne
de deux entiers naturels pour une TI 82
Programme de division euclidienne
de deux entiers naturels pour une Casio
PROGRAM:DIVISION
:ClrHome
:Lbl A
:Disp "B>0"
:Input "A=",A
:Input "B=",B
:If B<=0
:Goto A
:int(A/B)→Q
:A-B*Q→R
:Disp "Q=",Q
:Disp "R=",R
"A"?→A
"B"?→B
Int(A ÷ B)→Q
A-B × Q→R
"LE QUOTIENT EST"
Q
"LE RESTE EST"
R
Remarque
•
•
•
Le reste d'une division euclidienne par 2 est soit 0 soit 1.
Tout nombre pair s'écrit sous la forme 2k avec k ∈ ℤ .
Tout nombre impair s'écrit sous la forme 2k + 1 avec k ∈ ℤ .
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Propriété 2 : Division euclidienne dans ℤ (Admis)
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ; r) q ∈ ℤ et r ∈ ℕ tel que : a = b × q + r et 0 ≤ r < b
On dit que a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste
de la division euclidienne de a par b.
On dit que le couple unique (q ; r) est le résultat de la division euclidienne de a par b.
Remarque
Ce résultat bien qu’admis est démontré en annexe de cette leçon.
Exemple
la méthode de division d’un entier relatif a par un entier naturel non nul
b à l’aide d’une calculatrice est strictement identique à celle décrite dans
le cadre de la division dans ℕ .
Par exemple pour la division euclidienne de -477 par 13 :
Evaluer -477/13 et en prendre la partie entière :
attention la partie entière de -36,69… est -37 !!
Calculer -477-(-37 × 13) = 4. On a donc q = -37 et r = 4.
Exercices sur la division euclidienne
Exercice 1
a/ Quels peuvent être le diviseur et le quotient d’une division dont le dividende est 557 et
le reste 89 ?
b/ Quels peuvent être le diviseur et le reste d’une division dont le dividende est 1517 et le
quotient 75 ?
Exercice 2
La différence de deux entiers naturels est 538.
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est 13 et le reste est 22.
Quels sont ces entiers ?
Exercice 3
Soit x est un entier relatif tel que le reste de la division euclidienne de x par 7 est 2.
Quels sont les restes des divisions euclidiennes par 7 de x 2 et de x3 ?
Exercice 4
Quel est le reste dans la division euclidienne par 11 de 10 ; 100 ; 1 000 ; 10 000
Quelle conjecture peut-on faire sur le reste dans la division euclidienne par 11 de 10n lorsque n ∈ ℕ ?
Exercice 5
Démontrer que si n est un entier naturel impair, alors n 2 − 1 est divisible par 8.
Exercice 6
Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne d'un entier naturel n par 3.
En déduire que tout entier relatif peut s'écrire sous l'une des formes 3k ; 3k + 1 ou 3k + 2 avec k ∈ ℤ .
Exercice 7
Le 9 septembre 2010 est un jeudi, quel jour de la semaine sera le 9 septembre 2011 ?
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Annexe
Démonstration de la division euclidienne dans ℤ
On peut effectuer une démonstration utilisant celle effectuée dans ℕ qui traîne dans n’importe
quel livre de terminale S.
Nous présentons ici une démonstration valable dans le cas de la division euclidienne
dans ℕ et ℤ . Son seul désavantage est de faire intervenir un nombre réel, ce qui dans le cadre
de l’étude des propriétés des entiers est mal venu.
Sa simplicité reste le meilleur argument en sa faveur.
Existence du couple (q ; r)
a
a
et q sa partie entière. On a donc q ∈ ℤ et q ≤ < q + 1 et quitte à
b
b
multiplier chaque membre de l’inégalité par b positif on déduit : b × q ≤ a < b × q + b .
Posons r = a − b × q : r est entier relatif et des inégalités précédentes on tire 0 ≤ r et r < b .
On considère le réel
L’existence du couple (q ; r) est démontrée.
Unicité du couple (q ; r)
Elle est strictement identique à celle démontrée dans le cadre de la division euclidienne dans ℕ .
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