Chapitre IV Dipôle électrostatique

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof . R.Tadili
Dipôle électrostatique
1ère partie
Chapitre IV
I. Définitions
Dipôle électrostatique = ensemble de deux charges électriques ponctuelles
opposés + q et – q, séparées par une distance a très petite par rapport à la
distance r au point M où l’on observe leurs effets.
Moment dipolaire :
r
r
C’est le vecteur : p = q. AB
dirigé de –q vers +q.
Dans SI, p s’exprime en C.m. Cette unité étant très grande on utilise le debye(D) :
1D = 13 .10 −19 C.m
Exemple de dipôle : molécule polaire : H2O
II. Potentiel créé par un dipôle
Le point M où l’on veut calculer le potentiel est repéré
par ses coordonnées polaires : r=OM, θ=(Ox,OM).
On suppose r >> a=AB, O étant le milieu de AB.
Le potentiel V créé en M par le dipôle est :
V =
1
4πε 0
−q
AM
+
1
4πε 0
+q
BM
=
1
(
4πε 0 BM −
q
1
AM
)
a
or : BM ² = ( BO + OM )² = (OM − OB)² = OM ² + OB² − 2OB.OM cos θ = r ² +
a²
− a.r. cos θ
4
a
a²
soit : BM = r. 1 − cos θ +
r
4r ²
a
a²
de même en changeant θ en π-θ, on obtient : AM = r. 1 + cos θ +
r
4r ²
D’où :
1
1
−
−
q ⎡⎢⎛ a
a² ⎞ 2 ⎛ a
a ² ⎞ 2 ⎤⎥
V=
⎜1 − cos θ +
⎟ − ⎜1 + cos θ +
⎟
4πε 0 r ⎢⎝
r
4r ² ⎠
r
4r ² ⎠ ⎥
⎝
⎦
⎣
r >> a d’où a/r << 1, on peut utiliser le développement limité au 1er ordre de la
forme (1+x)n ou (1-x)n :
On obtient :
V=
q ⎡⎛
a
a
⎞ ⎛
⎞⎤
1
+
cos
θ
−
1
−
cos
θ
⎜
⎟
⎜
⎟⎥
4πε 0 r ⎢⎣⎝ 2r
⎠ ⎝ 2r
⎠⎦
rr
q.a. cos θ
p.r
Où encore : V =
=
4πε 0 r ²
4πε0 r 3
avec
r = OM
Pour θ = π/2, V=0 pour tous les points du plan médiateur de AB. Ce plan est une
surface équipotentielle.
III. Champ électrostatique créé par un dipôle
Comme V ne dépend que de r et de θ, seules les composantes Er et Eθ de
r
r
r
E
=
−
gra
d
V , donc :
E seront non nulles. On a :
⎧ Er =− ∂V = 2p.cosθ
3
∂r
4πε 0 r
⎪
r ⎪
E ⎨Eϑ =− 1r ∂∂Vθ = 4pπε.sinrθ3
0
⎪
⎪ Ez =− ∂∂Vz = 0
⎩
Conclusion : Le champ créé par un
1
et le
r3
dipôle est proportionnel à
potentiel à
charge
1
, alors que pour une
r²
r
E
ponctuelle,
proportionnel à
créé
est
1
1
et V à .
r²
r
r
r
Æ pour M éloigné, E et V créés par le dipôle seront négligeable / à E et V créés
par des charges situées à proximité du dipôle.
IV .Lignes de champ et surfaces équipotentielles d’un dipôle
IV.1 Lignes de champ
r
Par définition, un élément dl de ligne de champ est tangent à E . On a :
⎧E
⎧ dr
r⎪
r
r⎪ r
r
r r r
dr E
E
et
d
l
gents
E
,
d
l
,
tan
→
^ d l = 0, donc : rdθ.E r − dr.E θ = 0 → = r dθ
E⎨
⎨
r Eθ
⎪E
⎪rdθ
⎩
⎩ θ
soit :
dr
cos θ
=2
dθ → Lnr = 2.Ln sin θ + Lnk → r = k. sin ²θ
r
sin θ
IV.2 Surfaces équipotentielles
Ensemble des points pour lesquels V = cte. Soit :
V=
p. cos θ
= cte → r ² = k ' cos θ
4πε 0 r ²
Ce sont des surfaces de révolution
Axe du
dipôle
autour de Ox.
Surface
V. Energie du dipôle
équipotentielle
V.1 Energie interne du dipôle
Ligne de
champ
C’est l’énergie contenu dans le dipôle, c’est à dire dans les deux charges – q et
+q situées à la distance a l’une de l’autre. Elle correspond à l’énergie nécessaire
pour amener une charge de l’infini à une distance a de l’autre charge.
Supposons – q en A et amenons +q de l’infini à B. Le travail mis en jeu est :
r r
dT = −F.d l = −
q²
( −dr ) ,
4πε 0 r ²
car r décroit Æ dl<0 et dT < 0
dT correspond à la variation de l’énergie interne du dipôle. L’énergie du dipôle est
alors :
r r a q²
W0 = T =∫− F.dl = ∫ 4πε 0
dr
r²
∞
= 4πε−q0² a = W f −Wi <0
V.2 Energie du dipôle placé dans un champ E
C’est l’énergie nécessaire pour amener +q et –q de l’infini à leur position en B et
A. On a : T = q ( Vfinal - Vinitial )
- pour (-q) on a : T∞ → A = (− q
)(VA − 0 ) =
− qVA
- pour (+q) on a : T∞ → B = (+ q
)(VB − 0 ) =
+ qVB
donc : W = q.VB – q.VA = q ( VB – VA)
Or :
r
dV = gradV.d l
→
r r
− dV = E.d l
B
r r B
r r
VA − VB = − dV = E.d l = E.dl.cos α = E. cos α. dl = E.cos α. a = E.AB
B
B
∫
∫
A
D’où :
A
∫
∫
A
Wdipôle = q (VB − VA
A
) = −q. E. AB = −pr . E
IV.3 Mouvement du dipôle dans un champ E uniforme
E
Le dipôle est soumis à un couple de forces :
FB
Même intensité, directions différentes
A
-q
et sens opposés.
Ce couple est caractérisé par son
r
moment Γ .
B
+q
FA
)
r r
r
r
r r
r
r r
r
r
r
r
r r
r
(
Γ = OA^ FA + OB^ FB = OA^ −q.E + OB^q.E = OB −OA ^ q.E =AB ^ q.E = q.AB ^ E
donc :
r
r
r
Γ = p ^ E
Equilibre du dipôle :
r
r
dipôle en équilibre → Γ = 0 → p.E.sinα = 0 → sinα = 0
α = 0 : équilibre stable du dipôle ;
α = π : équilibre instable du dipôle ;
Le couple tend à orienter le dipôle de façon que p ait la même direction et le
même sens que E.
Application : Matérialisation des lignes de champ : les particules qui sont des
dipôles (par exemple les grains de semoule), plongé dans E, s’orientent en
dessinant les lignes de champ.