Sommes, réels - Alain TROESCH

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 16/10/2014
DM no 4 : Sommes, réels
Exercice 1 – Formules d’inversion de Pascal
1. Soit (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites telles que
∀n ∈ N, bn =
n X
n
ak .
k
k=0
Montrer que pour tout m ∈ N,
m
X
m
am = (−1)
k=0
2. Montrer que pour tout k ∈ N,
m
X
m
bk .
(−1)
k
k
m
(−1) p(p − 1) . . . (p − k + 1)
= (−1)m m!δk (m),
p
p=0
p
où δk est le symbole de Kronecker défini par :
δk (m) =
3. En déduire que pour tout k ∈ [[0, m]],
m
X
(−1)p pk
p=0

1
0
si k = m
sinon.
m
= (−1)m m!δk (m).
p
4. En déduire enfin la formule d’inversion polynomiale : si pour tout (m, n) ∈ N2 ,
bm (n) =
m
X
ak nk ,
k=0
alors, pour tout m ∈ N,
am =
m
1 X
m
(−1)j
bm (n − j).
m! j=0
j
Exercice 2 – Soit c la constante de Liouville, définie par :
c=
+∞
X
10−k! = lim
n→+∞
k=0
n
X
10−k! .
k=0
Le but est de démontrer que c est un nombre transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients
entiers ou rationnels. On établit en fait cette propriété pour une famille plus large de réels, appelés nombres de Liouville.
Nous démontrons d’abord dans la question 1 que c est bien défini, puis dans la question 2 que c est irrationnel.
1. Convergence de la série définissant c
En étudiant la convergence de la série, montrer l’existence de la constante de Liouville c =
+∞
X
k=0
2. Irrationnalité de c
(a) Montrer que pour tout n ∈ N,
+∞
X
10−k! 6
k=n+1
1
1
9·
10(n+1)!−1
.
10−k! .
(b) Supposons qu’il existe deux entiers p et q tels que c =
encadrant p10n! , trouver une contradiction. Conclure.
p
q.
En remarquant que 10n! Sn est entier, et en
3. Inégalité des accroissements finis
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. À l’aide d’une intégration, montrer que si f est une fonction dérivable sur un
intervalle [a, b], de dérivée continue sur [a, b] et telle que |f ′ | est majorée par M , alors |f (b) − f (a)| 6 M |b − a|.
Justifiez que cette expression est encore valable si b 6 a, l’inervalle considéré étant alors [b, a].
4. Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
Le but de cette question est de démontrer le théorème de Liouville, s’énonçant ainsi :
Théorème de Liouville. Soit α un nombre algébrique non rationnel.
p
d > 2, tels que pour tout nombre rationnel , ((p, q) ∈ Z × N∗ ), on ait
q
Alors
il existe
un réel A > 0 et un entier
p
A
: α − > d .
q
q
Ce théorème affirme que les nombres algébriques non rationnels sont « assez mal » approchés par des rationnels.
Soit α un nombre algébrique, c’est-à-dire tel qu’il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers vérifiant
P (α) = 0. On suppose de plus que α n’est pas rationnel.
On admettra dans cette question qu’une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée.
(a) Montrer qu’il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers tel que P (α) = 0, de degré minimal dans
l’ensemble de tous les polynômes non nuls vérifiant cette propriété. On se donne désormais un tel polynôme
P et on note d son degré.
(b) Justifier que d > 2.
(c) Montrer que P ne peut pas avoir de racine rationnelle.
p ∗ d
> 1.
(d) En déduire que pour tout (p, q) ∈ Z × N , q P
q (e) À l’aide de l’inégalité des accroissements finis,
l’existence d’un réel M > 0 tel que pour tout
en déduire
p
p
nombre rationnel ((p, q) ∈ Z × N∗ ) tel que α − 6 1, on ait :
q
q
α − p > 1 .
q M qd
1
(f) En posant A = min 1,
, montrer le théorème de Liouville.
M
5. Transcendance de c
On appelle nombre de Liouville un réel irrationnel x tel que :
1
pn 6
.
∀n ∈ N∗ , ∃(pn , qn ) ∈ Z × (N \ {0, 1}) , x −
qn (qn )n
(a) À l’aide du théorème de Liouville, montrer qu’un nombre de Liouville n’est pas algébrique (on dit qu’il est
transcendant).
(b) En déduire que c est transcendant.
Problème 1 – Nombres de Stirling
Partie I – Cycles et permutations de [[1, n]]
Soient n et k deux entiers positifs
Soit P = {P1 , . . . , Pk } une partition de [[1, n]]. Une répartition cyclique des éléments de [[1, n]] de support est la donnée
d’un rangement « circulaire » des éléments dans chaque part de la partition P, donc la donnée, pour chaque part Pi ,
d’un objet qu’on notera
[x1 , · · · , xℓ ],
2
dont les éléments sont les éléments de Pi , et déterminant un rangement cyclique de ces éléments. Formellement, un
tel objet peut être vu comme classe d’équivalence sur {x1 , . . . , xℓ }ℓ associée à la fermeture transitive de la relation
(x1 , · · · , xℓ ) ∼ (x2 , · · · , xℓ , x1 ).
On rappelle que la fermuture transitive de ∼ est la relation ∼t définie par :
X ∼t Y ⇐⇒ ∃k ∈ N, ∃Z1 , . . . Zk , X ∼ Z1 ∼ Z2 ∼ · · · ∼ Zk ≡ Y.
Ainsi, deux rangements cycliques d’une part donnée sont égaux si on obtient l’un de l’autre par permutation circulaire.
Par exemple, [1, 3, 4, 2] = [4, 2, 1, 3], mais [1, 3, 4, 2] 6= [4, 2, 3, 1].
On note C l’ensemble des rangements en cycles des entiers de [[1, n]], de support quelconque.
1. Montrer que ∼t est une relation d’équivalence sur {x1 , . . . , xℓ }. Ceci justifie la définition précédente.
2. Étant donnée une partition P = {P1 , . . . , Pk } de [[1, n]], on note pour tout i ∈ [[1, n]], ni le nombre de parts de
cardinal i.
n
X
ini ?
(a) Que vaut
i=1
(b) Déterminer le nombre de rangements en cycles de support P.
(c) Déterminer le nombre de rangements en cycles dont le support a des parts de même taille que P.
3. Étant donné C un rangement cyclique d’entiers de [[1, n]], de partition support P, on appelle successeur de
x ∈ [[1, n]] l’élément qui suit x dans l’unique cycle contenant x. Par exemple, dans le cycle [1, 4, 3], le successeur
de 1 est 4, le successeur de 3 est 1. Pour un cycle de longueur 1, par exemple [1], 1 est successeur de lui-même.
On note σC l’application de [[1, n]] dans lui-même associant à un élément x de [[1, n]] sont successeur dans le
rangement en cycles C.
(a) Montrer que σC est bien défini
(b) Montrer que σC ∈ Sn .
(c) Montrer que Φ : C 7→ σC est une injection de C dans Sn .
4. Montrer que Φ est bijective.
Partie II – Nombres de Stirling
" #
n
, le nombre de façons de ranger les n entiers de 1 à n dans
Soit n et k deux entiers strictement positifs. On définit
k
k cycles, dont la somme des tailles est n (mais
" la
# taille de chaque cycle n’est pas imposée). On précise que les cycles
n
ne sont pas ordonnés entre eux. Les nombres
sont appelés nombres de Stirling de première espèce.
k
( )
( )
n
n
sont appelés
le nombre de partitions de l’ensemble [[1, n]] en k parts. Ces nombres
On note également
k
k
nombres de Stirling de deuxième
)
" # ( )
" # ( espèce.
0
0
n
n
= 1.
=
= 0 si n ∈ N∗ , et
=
On pose par convention
0
0
0
0
1. Premières propriétés
(a)
(b)
(c)
(d)
" #
( )
n
n
Justifier que si k > n, alors
= 0 et
=0
k
k
" # " # " # " # " #
2
2
3
3
3
Calculer
,
,
,
,
.
1
2
1
2
3
" #
n
∗
Montrer que pour tout n ∈ N ,
= (n − 1)!
1
( )
n
Montrer que pour tout n > 2,
= 2n−1 − 1.
2
3
(e)
(f)
(g)
(h)
" # ( )
n
n
Soit n ∈ N , Que vaut
?
?
n
n
"
# (
) n
n
n
Montrer que pour tout n > 2,
=
=
.
2
n−1
n−1
" # ( )
n
n
Montrer que pour tout (n, k) ∈ (N∗ )2 ,
>
, avec égalité si et seulement si k > n − 1.
k
k
" #
n
X
n
En utilisant la partie I, montrer que
= n!
k
k=0
∗
2. Des relations de récurrence de type « Pascal »
( )
(
) (
)
n
n−1
n−1
(a) Montrer que pour tout n > 2, et pour tout k ∈ [[1, n]],
=k
+
.
k
k
k−1
" #
"
# "
#
n
n−1
n−1
(b) Montrer que pour tout n > 2, et pour tout k ∈ [[1, n]],
= (n − 1)
+
.
k
k
k−1
Indication : classer les répartitions en cycle suivant que [n] est à lui seul un cycle ou non.
3. Des formules de conversion entre puissances
Pour tout réel x et tout entier n, on note :
• xn = x(x − 1) · · · (x − n + 1) (puissance factorielle descendante)
• xn = x(x + 1) · · · (x + n − 1) (puissance factorielle ascendante).
( )
n
X
n
n
∗
xk .
(a) Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N , x =
k
k=1
(b) Qu’obtient-on pour x = n ? Justifier combinatoirement cette dernière égalité.
(c) Justifier combinatoirement la formule obtenue avec x = −1 dans la question (a).
" #
n
X
n k
x . Que retrouve-t-on pour x = 1 ?
(d) Démontrer de même que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N∗ , xn =
k
k=1
" #
n
X
n
n
n
n
∗
(e) En exprimant x en fonction de (−x) , en déduire que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N , x =
(−1)n−k xk .
k
k=1
∗
(f) Déduire des questions précédentes que, pour tout (m, n) ∈ (N∗ )2 ,
" #( )
n
X
n
k
(−1)n−k = 1m (n),
k
m
k=m
où 1m (n) prend la valeur 1 si m = n, et la valeur 0 sinon.
4. Deux autres formules amusantes
:)
(
( )
n X
n
+
1
k
n
∗ 2
(a) Pour tout (m, n) ∈ (N ) ,
=
.
k
m+1
m
k=m
(
)
( )(
) X
n
n
k
n
−
k
ℓ
+
m
n
(b) Pour tout (m, n, ℓ) ∈ (N∗ )3 ,
=
.
ℓ
k
ℓ+m
ℓ
m
k=1
4