Plan de phase ()

Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Introduction
Plan de phase
Dans mon jeune temps (a very long time ago ! ! !) lors de mon
premier baccalauréat en génie électrique à l’Université Laval j’ai eu
à faire un cours de Calculateurs analogiques.
On devait, simuler des systèmes basés sur des équations
différentielles ordinaires en utilisant des amplificateurs, des
sommateurs, des intégrateurs (ayant des condensateurs), des
potentiomètres et une table traçante. Et un spaghetti de fils.
Tout cela pour pouvoir étudier le comportement de modèles.
C’était avant l’invention de MATLAB ou Simulink...
Guy Gauthier
École de technologie supérieure
Département de génie de la production automatisée
14 septembre 2012
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Introduction
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Introduction
Supposons que nous désirions câbler l’équation différentielle
suivante :
ÿ + a1 ẏ + a0 y = u
(1)
avec y (0) = 0 et ẏ (0) = 0.
Il faut obtenir l’équation d’état de ce système pour pouvoir faire le
câblage.
Équation d’état
En définissant x1 = y et x2 = ẋ1 = ẏ , on trouve :
ÿ = ẋ2 = −a1 x2 − a0 x1 + u
(2)
Bilan, il faut câbler :
ẋ1 = x2
(3)
ẋ2 = −a1 x2 − a0 x1 + u
(4)
et :
Il faudra prévoir utiliser deux intégrateurs, un sommateur avec trois
entrées et deux amplificateurs (l’un ayant un gain −a0 et l’autre
ayant un gain −a1 ).
Ayant accès à la sortie de chaque intégrateur, nous pouvions
connecter ces sorties à des tables tracantes. Le graphique tracé est
la trajectoire du système dans le plan x1 /x2 . C’est ce que l’on
appelle le plan de phase.
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Système masse/ressort/ammortisseur
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Système masse/ressort/ammortisseur (suite)
Dans le cas d’un système masse/ressort/amortisseur, le modèle est
une équation du 2e ordre :
M ÿ + B ẏ + Ky = F
(5)
avec M la masse (kg), K la raideur du ressort (N/m), B le
coefficient de l’amortisseur (N s/m) et y la position de la masse
par rapport à sa position de repos en l’absence d’une force
extérieure F (N).
L’équation d’état est semblable à celle utilisée en introduction avec
les deux gain suivants :
K
(6)
a0 =
M
B
a1 =
(7)
M
L’état x1 correspond à la position y de la masse et l’état x2
correspond à la vitesse ẏ de la masse.
Le plan de phase représentera donc la trajectoire dans le plan
position vitesse.
Ainsi, si l’amplitude des paramètres sont tous égal à 1
(K = B = M = 1), alors l’équation d’état devient :
ẋ1 = x2
(9)
ẋ2 = −x2 − x1 + F
(10)
et :
et l’entrée u du système :
u=
Introduction
Exemple général
F
M
Systèmes linéaires
(8)
Systèmes non-linéaires
Système masse/ressort/ammortisseur (suite)
Si l’entrée F est un échelon unitaire, alors le système converse
vers :
ẋ1 = 0 = x2 ⇒ x2 = 0
(11)
ce qui correspond à une vitesse nulle, et :
ẋ2 = 0 = −x2 − x1 + 1 ⇒ x1 = 1
(12)
ce qui correspond a un déplacement de 1 mètre de la masse (par
rapport à la position de repos).
La masse passe donc dans le plan de phase de x = [0 0]T à
x = [1 0]T .
Question
Quel sera la trajectoire ?
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Système masse/ressort/ammortisseur (trajectoire)
L’état x2 évolue de la facon suivante :
√ !
2
3
x2 = √ sin
t e−t/2
2
3
L’état x1 évolue de la facon suivante :
√ !
1
3
x1 = 1 − √ sin
t + cos
2
3
√
3
t
2
(13)
!!
e−t/2
(14)
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Système masse/ressort/ammortisseur (trajectoire)
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Exemple #1 : découplage complet des états
Équation d’état :
Voici visuellement cette trajectoire :
" #
"
ẋ1
−2 0
=
ẋ2
0 −5
#" #
x1
x2
(15)
Valeurs et vecteurs propres
(
λ1 = −2 ⇒
(
λ2 = −5 ⇒
" #
ζ1 =
1
0
(16)
" #
0
ζ2 =
1
(17)
Système stable.
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Exemple #1 : découplage complet des états
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Exemple #1 : découplage complet des états
Noeud stable :
Équation d’état :
" #
"
ẋ1
−2 0
=
ẋ2
0 −5
#" #
x1
x2
Trajectoires
x1 (t) = e−2t x1 (0)
(18)
x2 (t) = e−5t x2 (0)
(19)
Les deux états sont indépendants l’un de l’autre.
Toutes les trajectoires convergent vers (0,0).
Systèmes non-linéaires
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Exemple #2 : découplage complet des états
Équation d’état :
" #
"
ẋ1
−2 0
=
ẋ2
0 5
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Équation d’état :
#" #
x1
x2
Introduction
Exemple #2 : découplage complet des états
(20)
" #
"
ẋ1
−2 0
=
ẋ2
0 −5
#" #
x1
x2
Valeurs et vecteurs propres
" #
(
λ1 = −2 ⇒
ζ1 =
(
λ2 = 5 ⇒
1
0
(21)
ζ2 =
0
1
(22)
Exemple général
Systèmes linéaires
Exemple #2 : découplage complet des états
Point de selle :
x1 (t) = e−2t x1 (0)
(23)
x2 (t) = e5t x2 (0)
(24)
Les deux états sont indépendants l’un de l’autre.
Système instable.
Introduction
Trajectoires
" #
Systèmes non-linéaires
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Exemple #3 :
Équation d’état :
" #
"
#" #
ẋ1
−2 −1
=
ẋ2
−1 −5
x1
x2
(25)
Valeurs et vecteurs propres
(
λ1 = −1.6972 ⇒
(
λ2 = −5.3028 ⇒
Système stable.
"
ζ1 =
"
−0.9571
0.2898
#
(26)
#
−0.2898
ζ2 =
−0.9571
(27)
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Exemple #3 :
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Exemple #4 :
Équation d’état :
Noeud stable :
" #
"
ẋ1
−2 −1
=
ẋ2
−1 5
#" #
x1
x2
(28)
Valeurs et vecteurs propres
(
"
λ1 = −2.1401 ⇒
ζ1 =
(
"
λ2 = 5.1401 ⇒
#
0.9903
0.1387
(29)
#
−0.1387
ζ2 =
−0.9903
(30)
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Système instable.
Introduction
Exemple général
Exemple #4 :
Point de selle :
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Introduction
Exemple général
Exemple #5 :
Équation d’état :
" #
"
ẋ1
2 3
=
ẋ2
−3 2
#" #
x1
x2
(31)
Valeurs et vecteurs propres
(
λ1 = 2 + 3j ⇒
(
λ2 = 2 − 3j ⇒
Système instable.
"
ζ1 =
"
0.7071
0.7071j
#
0.7071
ζ2 =
−0.7071j
(32)
#
(33)
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Exemple #5 :
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Exemple #6 :
Noeud instable :
Équation d’état :
" #
"
ẋ1
−1 −1
=
ẋ2
4
1
#" #
x1
x2
(34)
Valeurs et vecteurs propres
(
λ1 = 1.7321j ⇒
(
λ2 = −1.7321j ⇒
"
ζ1 =
−0.3873 − 0.2236j
0.8944j
"
#
−0.3873 + 0.2236j
ζ2 =
−0.8944j
(35)
#
(36)
Système marginalement stable.
Spirales divergentes...
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Exemple #6 :
Systèmes non-linéaires
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Cas non-linéaires
Cycles limites :
Un système non-linéaire peut avoir plusieurs points d’équilibre.
Voici deux exemples de systèmes non-linéaires.
On tourne autour de (0,0) dans le sens horaire.
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Cas non-linéaires
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Cas non-linéaires
Système bi-linéaire linéarisé :
Système bi-linéaire :
"
(
ẋ1 = x2 (x1 + 1)
ẋ2 = x1 (x2 + 3)
A=
(37)
#
x2s
x1s + 1
x2s + 3
x1s
(40)
Cas trivial
"
Points d’équilibre
Il y en a deux.
1) Cas trivial
A=
x1s = x2s = 0
(38)
x1s = −1
x2s = −3
(39)
#
0 1
⇒
3 0
√
λ1 = −√3
λ2 = + 3
(
Instable
Cas non trivial
2) Cas non trivial :
"
A=
#
−3 0
⇒
0 −1
(
λ1 = −3
λ2 = −1
Stable
Introduction
Exemple général
Système bi-linéaire - Résultats
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Introduction
Tracés :
Tracés :
Exemple général
Systèmes linéaires
Système bi-linéaire - Résultats (suite)
Systèmes non-linéaires
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Réacteur biologique (Taux de croissance — Monod)
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Réacteur biologique — fonction de Monod
Modèle mathématique :
(
ẋ1 = (µ − D)x1
ẋ2 = (x2f − x2 )D − µx1 /Y
(41)
x1 ≥ 0 représente la biomasse (les cellules) en grammes/litres ;
Le taux de croissance µ est défini par la fonction suivante (dite
fonction de Monod) :
µmax x2
(42)
µ=
km + x2
µmax = 0.53 représente le taux de croissance maximal en
heure−1 ;
x2 ≥ 0 représente le substrat (nourriture) en grammes/litres ;
x2f = 4.0 représente le substrat entrant en grammes/litres ;
km = 0.12 représente la constante de demi-saturation (ou
constante de Monod) en grammes/litres.
Y = 0.4 représente le rendement ;
D = 0.4 représente le taux de dilution en heure−1 ;
µ représente le taux de croissance en heure−1 .
Les paramètres du procédé sont tous des nombres positifs.
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Réacteur biologique
Systèmes non-linéaires
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Réacteur biologique - Version linéarisée
En régime permanent :
"
A=
(
ẋ1 = 0 = (µ − 0.4)x1
ẋ2 = 0 = (4.0 − x2 )0.4 − µx1 /0.4
µs − D
−µs /Y
#
x1s µs /(x2s (km + x2s ))
−Dx1s µs /(Yx2s (km + x2s ))
Cas trivial
Cas trivial
"
A=
x1s = 0, x 2s = 4
Les cellules ont été complètement évacuées du réservoir.
Cas non trivial
Dans ce cas : µ = D = 0.4, donc :
Instable : potentiellement si on insère une cellule dans le réservoir,
elle va se multiplier et x1 va croitre.
Cas non trivial
"
A=
x1s = 1.4523, x 2s = 0.3692
Point d’opération plus intéressant.
#
0.1146
0
⇒ λ1 = 0.1146, λ2 = −0.4
−1.2864 −0.4
Stable.
#
0
3.2159
⇒ λ1 = −0.4, λ2 = −8.0398
−1 −8.4398
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Réacteur biologique - Résultats
Introduction
Tracés :
Tracés :
Introduction
Exemple général
Systèmes linéaires
Systèmes non-linéaires
Fin de la présentation
Bilan :
Les points d’équilibre sont trouvés en solutionnant ẋ = 0.
Un système linéaire possède un seul point d’équilibre.
Un système nonlinéaire comporte au moins un point
d’équilibre.
Un point d’équilibre peut être :
Un
Un
Un
Un
Exemple général
Systèmes linéaires
Réacteur biologique - Résultats (suite)
noeud stable
noeud instable
point de selle (instable)
cycle limite (marginalement stable)
Systèmes non-linéaires