info fond 2014

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INFO-F-302, Cours d’Informatique Fondamentale Logique pour l’Informatique
La Logique Propositionnelle
La déduction naturelle
81
Introduction
I
La Déduction Naturelle
I
I
L’algorithme des tableaux sémantique ne convient pas pour faire des
raisonnements “à la main” sur des formules propositionnelles.
Quand on fait des preuves en mathématique, on utilise des règles qui
nous permettent, pas par pas, de déduire des conclusions à partir de
prémisses.
La déduction naturelle est une formalisation de ce type de
raisonnement.
82
Introduction
83
I
Supposons donnée un ensemble de formules 1 , . . . , n que nous
appelons prémisses et une formule que nous appelons conclusion .
I
Supposons que l’on désire montrer que peut être dérivée de
1 , . . . , n ; on notera cette intention 1 , . . . , n ` , cette dernière
expression est appelée un séquent .
I
La notion de dérivation syntaxique est formalisée avec des règles de
déduction.
I
Les règles de déduction permettent de faire le lien entre la syntaxe
et la sémantique, en e↵et, on aura :
1, . . . ,
n
`
ssi
1, . . . ,
n
|=
La conjonction
Règles pour la conjonction :
I
I
Règle d’introduction :
^
Règle d’élimination :
^
^ e1
î
^
^ e2
Par exemple, la règle d’introduction se lit : si j’ai une preuve de
preuve de , alors j’ai une preuve de ^ .
et une
84
La conjonction
85
Double négation
Exemples d’utilisation de ces règles pour la conjonction :
I
p ^ q, r `? q ^ r .
Règles pour la (double) négation :
I
1
2
3
4
I
I
I
p^q
r
q
q^r
prémisse
prémisse
^ e2 , 1
î , 3, 2
I
Introduction :
Elimination :
¬¬
(p ^ q) ^ r , s ^ t ` q ^ s ;
Exemple : p, ¬¬(q ^ r ) ` ¬¬p ^ r
p^q ` q^p;
¬i
¬e
(p ^ q) ^ r ` p ^ (q ^ r ) ;
86
¬¬
Elimination de l’implication : Modus Ponens
Règle pour l’élimination de l’implication (Modus Ponens ) :
!
!e
Illustration
87
Analogie avec les types de fonctions dans les langages de
programmation
I
I
1. il pleut ;
2. si il pleut alors la route est mouillée.
alors on peut déduire que la route est mouillée.
I
Soient f une fonction d’éléments de type t1 vers des éléments de
type t2 , et e une valeur de type t1 , alors f (e) est une valeur de type
t2 . On note ceci f : t1 ! t2 , e : t1 et f (e) : t2 .
Une fonction f : t1 ! (t2 ! t3 ) est une fonction qui prend en
argument un élément de type t1 et retourne une fontion de type
t2 ! t3 . Etant donnés deux élements e1 : t1 et e2 : t2 , on a
f (e1 ) : t2 ! t3 et f (e1 )(e2 ) : t3 .
Une application du Modus Ponens correspond à appliquer une
fonction à son argument.
88
89
Contraposition ou Modus Tollens
Supposons que p ! q et ¬q soient vraies, si p est vrai alors par la règle
du modus ponens on peut dériver q ce qui est en contradiction avec le
fait que ¬q est vrai, donc on en déduit que ¬p est vrai. Ce raisonnement
est résumé dans la règle suivante, appelée règle de Modus Tollens :
Etant données les prémisses
1. p ;
2. p ! q ;
3. p ! (q ! r )
!
Peut-on déduire r ?
¬
MT
90
¬
91
Prouvons le séquent suivant :
p ! (q ! r ), p, ¬r ` ¬q
1
2
3
4
5
p ! (q ! r )
p
¬r
q!r
¬q
prémisse
prémisse
prémisse
!e 1et2
MT 4, 3
MT nous a permis de montrer :
p ! q, ¬q ` ¬p
et le séquent
p ! q ` ¬q ! ¬p
semble d’une certaine façon dire la même chose. Mais jusqu’à présent,
nous n’avons pas de règles pour introduire le connecteur “implication”.
92
Introduction de l’implication
93
Le raisonnement à partir d’hypothèses :
On sait que p ! q est vrai. Si on suppose (on fait l’hypothèse) que ¬q
est vrai alors on peut déduire grâce à la règle MT que p est faux. Donc
en supposant ¬q on peut déduire ¬p donc “¬q implique ¬p”, exprimé de
manière symbolique ¬q ! ¬p est déduit.
L’argument pour p ! q ` ¬q ! ¬p peut être résumé de la façon
suivante :
1
2
3
4
p!q
¬q
¬p
¬q ! ¬p
Règle pour l’introduction de l’implication :
hyp.
·
·
·
prémisse
hyp.
MT 1, 2, fin hyp.2
!i , 2 3
!
!i
94
fin hyp.
95
Preuves de formules vraies sans prémisse :
Prouvons le séquent ¬q ! ¬p ` p ! ¬¬q :
1
2
3
4
5
¬q ! ¬p
p
¬¬p
¬¬q
p ! ¬¬q
prémisse
hyp.
¬¬i , 2
MT , 1, 3, fin hyp.2
!i , 2 4
1
2
3
p
¬¬p
p ! ¬¬p
hyp.
¬¬i , 1, fin hyp.1
!i , 1 2
Donc on a établi ` p ! ¬¬p
Note : les formules telles que ` sont appelées théorèmes. Comme on
le verra dans la suite du cours, ` ssi |= et donc pour le systéme de
déduction naturelle en logique propositionnelle, les théorèmes coincident
avec les formules valides.
96
97
Prouvons le séquent suivant :
`? (q ! r ) ! ((¬q ! ¬p) ! (p ! r ))
Toute preuve de 1 , . . . , n ` est facilement transformable en un
preuve de ` 1 ! 2 ! . . . n ! , on obtient donc le lemme suivant :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lemme
Pour toutes formules
1, . . . ,
1, . . . ,
n
`
n,
,
ssi `
1
!
2
! ...
n
!
hyp.
hyp.
hyp.
¬¬i , 3
MT 2, 4
¬¬e 5
!e 1, 6, fin hyp.3
!i 3 7, fin hyp.2
!i 2, 8, fin hyp.1
!i 1, 9
98
q!r
¬q ! ¬p
p
¬¬p
¬¬q
q
r
p!r
(¬q ! ¬p) ! (p ! r )
(q ! r )
! ((¬q ! ¬p) ! (p ! r ))
Introduction de la disjonction
99
Comment éliminer la disjonction ?
Imaginons que l’on puisse :
1. établir une formule
sous hypothèse que
2. et que l’on puisse également établir
vrai,
Règle pour introduire la disjonction :
_
_i1
3. et qu’il existe une preuve pour
_
_i2
1
alors on devrait pouvoir déduire .
_
1
est vrai,
sous hypothèse que
2
Exemple
Supposons que les faits suivant soient vrais :
1. si ma note d’éxamen est excellente, j’irai boire un verre
2. si ma note d’éxamen est bonne, j’irai boire un verre
3. ma note sera bonne ou excellente
Je peux donc en déduire que j’irai boire un verre.
2
est
101
Elimination de la disjonction
Cette stratégie de preuve est formalisée dans la règle suivante :
1 hyp.
1
_
2
·
·
·
Prouvons le séquent
2 hyp.
fin hyp.
·
·
·
p_q `q_p
fin hyp.
1
2
3
4
5
6
_e
Attention : dans chacun des deux cas, on ne peut pas utiliser l’hypothèse
temporaire faite pour l’autre cas, sauf si cette hypothèse a été établie
avant.
prémisse
hyp.
_i2 , fin hyp.2
hyp.
_i1 , fin hyp.4
_e 1, 4 5, 2
3
102
p_q
p
q_p
q
q_p
q_p
Déduction naturelle
103
Règles pour la négation.
Règle de copie pour conclure un raisonnement sous-hypothèse.
copie
Les contradictions sont des formules de la forme :
¬ ^
Considérons le séquent :
` p ! (q ! p)
p
q
p
q!p
p ! (q ! p)
hyp.
hyp.
copie1, fin hyp.2
!i 2, 3, fin hyp.1
!i 1 4
^¬
I
Notons qu’aucune valuation ne satisfait une contradiction. Donc on
a ¬ ^ |= pour n’importe quel . Donc si la méthode de
déduction est complète, on devrait avoir : ¬ ^ ` pour
n’importe quel .
I
intuition : si le faux est vrai, alors tout est vrai.
I
Toutes les contradictions sont logiquement équivalentes à la formule
?.
Et la preuve suivante :
1
2
3
4
5
ou
Règles pour la négation.
Supposons que l’on fasse une hypothèse et que l’on arrive a déduire une
contradiction, dans ce cas l’hypothèse est fausse. Ceci est formalisé par la
règle de preuve suivante :
Le fait que l’on peut tout déduire à partir d’une contradiction est
formalisé par la règle suivante :
?
hyp.
?e
·
·
·
? fin hyp.
Le fait que ? represente une contradiction est formalisé par la règle
suivante :
?
Comment introduire une négation ?
¬
¬e
¬
106
¬i
Exemple avec la négation
107
Règles pour l’équivalence
On est maintenant en mesure de prouver le sequent de l’exemple
introductif (taxi-train-invité) :
p ^ ¬q ! r , ¬r , p ` q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
p ^ ¬q ! r
¬r
p
¬q
p ^ ¬q
r
?
¬¬q
q
prémisse
prémisse
prémisse
hyp.
î 3, 4
!e 1, 5
¬e 6, 2, fin hyp.4
¬i 4 7
¬¬e 8
1
!
2
1
1
1
!
2
$
$
!
1
2
2
2
($i )
($e1 )
$ 2
($e1 )
2 ! 1
1
108
Règles dérivées
109
Règles Dérivées
Autres règles dérivées :
Notons que MT
!
¬
¬
¬
·
·
·
?
MT
est une règle dérivée. En e↵et :
1
2
3
4
5
6
¬
!
?
¬
prémisse
prémisse
hyp.
!e 1, 3
¬e 4, 2, fin hyp.3
¬i 3 5
hyp.
fin hyp.
RAA
RAA :reductio ad absurdum. Cela s’appelle encore un raisonnement par
l’absurde ou par contradiction.
¬¬
_¬
¬¬i
LEM
LEM : Law of the excluded middle. La loi du tiers exclu.
110
Théorêmes
111
Exercices
Démontrer les séquents suivants en déduction naturelle :
1. ` p ! p
2. ` ¬(p ^ ¬p)
3. ` p ! (q ! p)
Théorème (Adéquation)
Pour tout
1, . . . ,
n,
, si
1, . . . ,
n
` , alors
1, . . . ,
n
|= .
1, . . . ,
n,
, si
1, . . . ,
5. p ^ q ` p _ r
6. p ^ q ` r ! p
Théorème (Complétude)
Pour tout
4. ` p ! ((p ! q) ! q)
n
|= , alors
1, . . . ,
n
` .
7. p ! q ! r ` (p ^ q) ! r
8. p ! q ! r ` q ! p ! r
9. p !` ¬(p ^ ¬q)
10. p ! (q _ r ) ` ¬r ! (¬q ! ¬p)
11. p _ q, p ! r , ¬s ! ¬p ` r _ s
12. ` p _ ¬p (sans utiliser la règle LEM !)
112
` p _ ¬p
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
¬(p _ ¬p)
p
p _ ¬p
?
¬p
p _ ¬p
?
p _ ¬p
H1
H2
_i1 (2)
¬e (1, 3), FIN H2 ,
¬i (2 4)
_i2 (5)
¬e (1, 6) FIN H1
RAA (1 7)

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