Exercices de Cosmologie

Exercices de Cosmologie
SARRIA David, GHERBI Salah-Eddin
Table des matières
1 Distance angulaire
1.1 Einstein-De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2 Ages
2.1 Galaxie à z = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Univers Ωm0 = Ωλ0 = 0 et Ωc0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
3 Quelques relations de base (incomplet)
3.1 Ḣ si courbure nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
4 Horizon et fond cosmologique
6
5 Photons lourds
9
1
1
Distance angulaire
1.1
Einstein-De Sitter
L’équation de Einstein-Friedmann-Lemaître s’écrit dans le cas général :
8πGρ kc2 Λ
− 2 +
3
R
3
Dans le cas Einstein-De Sitter on a k = 0 et Λ = 0 :
H2 =
Ωc0 = Ωλ0 = 0
⇒ Ωm0 = 1
⇒
8πGρ0
= H02
3
De plus
H2 =
Ṙ
R
8πGρ
3
!2
Ṙ2 =
=
8πGρ
3
8πGρ 2
R
3
R0
= (1 + z)3
R
3
ρ = ρ0 (1 + z) = ρ0
R0
R
3
8πGρ0 R0 3
Ṙ =
3
R
2
2
Ṙ =
3
2 R0
H0
R
3
dR
R2
= H0 √ 0
dt
R
√
3
R02 H0 dt = RdR
3
2 3 2 3
R02 H0 [t − t0 ] = R 2 − R02
3
3
A t = 0 on a R = 0 donc :
3
2 3
−R02 H0 t0 = − R02
3
H0 t0 =
2
2
3
Donc :
3
2 3 2 3
2
= R 2 − R02
3
3
3
R02 H0 t −
3
2 3
R02 H0 t = R 2
3
On a :
R = R0
Mattig dans le cas k = 0 :
ˆ
t0
"
r=
t
ˆ
2
3
H0 t
2
cdt
R(t)
#


t0



r=
t
cdt
R0
n
r=
R0
n
ˆ
3
H
2 0
o2
3
c
r=
n
3
H
2 0


o2 
3
Ht
2 0
c
R0
3
t0
3
3
t− 2 dt
t
"
2
2
√ −√
t0
t
#
"
2
2
√ −√
t0
t
#
o2
3
La distance angulaire vaut donc :
R0 r = n
1.2
c
3
H
2 0
o2
3
De Sitter
EFL :
kc2 Λ
H =− 2 +
R
3
2
Ṙ2 = −kc2 +
dR
=
dt
Λ 2
R
3
s
dt = q
dt = q
−kc2 +
Λ 2
R
3
dR
−kc2 + Λ3 R2
dR
−kc2 + Λ3 R2
On va supposer k = 0 pour que l’intégrale ne soit pas trop dure :
dR
dt = q
Λ 2
R
3
3
∆t ≡ t0 − t ⇒ d∆t = −dt
s
R
Λ
∆t = ln
−
3
R0
 s

Λ 
R = R0 exp −
∆t
3
Mattig générale :
ˆ
t0
"
r=
t
ˆ


t+4t
r=
t0 −∆t
c
r=
R0
ˆ



t+4t
t0 −∆t
cd∆t
q
R0 exp −


Λ
∆t
3
s
q

t+4t
Λ
∆t
3
 exp

q

Λ
c
R0



Λ 
d∆texp 
∆t
3

r=
#
cdt
R(t)
3



t0 −∆t
s

s

c 1 
Λ
Λ
q
[t + 4t] − exp 
[t0 − ∆t]
r=
exp 
R0 Λ
3
3
3
La distance angulaire :

s

s

c
Λ
Λ
r = q exp 
[t + 4t] − exp 
[t0 − ∆t]
Λ
3
3
3
2
Ages
2.1
Galaxie à z = 10
Einstien-de Sitter, EFL :
H2 =
8πGρ
3
ρ = ρ0 (1 + z)3
dR 1
dt R
!2
dR 1
dt R
8πGρ0 (1 + z)3
=
3
!2
= H02 (1 + z)3
3
dR 1
= H0 (1 + z) 2
dt R
4
Comme
R0
=1+z
R
dR = −R0 (1 + z)−2 dz
On a donc :
3
−R0 (1 + z)−2 (1 + z)
dz = H0 (1 + z) 2
dt
R0
3
− (1 + z)−1
dz = H0 (1 + z) 2
dt
5
−dz
= H0 (1 + z) 2
dt
−dz
dt =
5
ˆ
H0 (1 + z) 2
10
−dz
∆t =
5
H0 (1 + z) 2
ˆ 0
1
dz
∆t =
H0 10 (1 + z) 52
0
∆t = −
2.2
0.65
= −0.65 × 13.7Gyr = −8, 9Gyr
H0
Univers Ωm0 = Ωλ0 = 0 et Ωc0 = 1
EFL :
H2 = −
kc2
R2
H 2 = H02 R02
1
R2
dR 1
1
= H0 R0
dt R
R
− (1 + z)−1
dz = H0 (1 + z)
dt
dz
= −H0 (1 + z)2
dt
−dz
H0 (1 + z)2
ˆ 0
1
dz
∆t =
H0 10 (1 + z)2
dt =
∆t = −0.9 × 13, 7Gyr = −12, 45Gyr
5
3
Quelques relations de base (incomplet)
3.1
Ḣ si courbure nulle
Univers de courbure nulle, EFL :
H2 =
8πGρ Λ
+
3
3
ou
H 2 = H02 Ω0m (1 + z)3 + H02 Ω0λ
H 2 = H02 Ω0m
s
H=
R0
R
H02 Ω0m
3
R0
R
+ H02 Ω0λ
3
+ H02 Ω0λ
3H02 Ω0m R03
Ḣ = −Ṙ
r
2R4
H02 Ω0λ R3 +H02 Ω0m R03
R3
Ou encore :
H=
Ṙ
R
R̈R − Ṙ2
R2
Ḣ =
Ḣ =
R̈
− H2
R
Ḣ = −H 2 (1 + q)
4
Horizon et fond cosmologique
1.
Univers Einstein-De Sitter ΩM = 1 et Ωc = Ωλ = 0 , c’est à dire que l’univers contient
uniquement de la matière, a une courbure nulle et n’a pas de constante cosmologique.
Dans la relation de Mattig généralisée, on a dans ce cas, comme k = 0 :
Sk−1 (rs ) = rs
ˆ
Et donc
t0
rs =
ts
cdt
R (t)
(1)
De plus
H=
Ṙ
dR 1
⇒
=H
R
dt R
dR
⇒ dt =
RH
6
(2)
De plus
R0
R
=1+z ⇒R=
R0
1+z
donc en différentiant :
−R0
dz
(1 + z)2
dR =
(3)
Donc en combinant (2) et (3) on obtient
−R0
dz
RH (1 + z)2
dt =
Et on a
R0
R
= 1 + z donc :
dt =
− (1 + z)
dz
H (1 + z)2
dt =
−1
dz
H (1 + z)
(4)
Donc (1) nous donne avec (4)
ˆ
0
rs =
zCM B
Et on a
R0
R
−1
cdz
H (1 + z) R (t)
(5)
= 1 + z donc :
ˆ
zCM B
rs =
0
c
dz
HR0
Comme ΩM = 1, il n’y a que de la matière classique donc P = 0 et donc :
ρR3 = ρ0 R03
ρ = ρ0
⇒
R03
= ρ0 (1 + z)3
3
R
ρ
= (1 + z)3
ρ0
(6)
Comme ΩM = 1, l’équation de Friedmann-Lemaître nous donne :
Ṙ
R
!2
=
8πGρ
= H2
3
En particulier à l’instant actuel
8πGρ0
8πGρ0
8πGρ
= H02 =
⇒ H02 =
3
3
3
Donc (7) devient :
H2 =
8πGρ
8πGρ0 ρ
ρ
=
= H02
3
3 ρ0
ρ0
Donc avec (6) :
H 2 = H02 (1 + z)3
7
(7)
Donc :
3
H = H0 (1 + z) 2
Donc finalement en cobinant cette dernière équation avec (5) :
ˆ zCM B
c
rs =
dz
3
0
H0 (1 + z) 2 R0
ˆ zCM B
3
c
rs =
(1 + z)− 2 dz
R0 H0 0
Et la distance angulaire vaut Dang = RrS donc :
ˆ zCM B
3
c
1
Dang =
(1 + z)− 2 dz
H0 (1 + z) 0
En prenant z = zCM B = 1000 on trouve :
Dang = 8.06 Mpc
Remarque : le fait que H0 soit en km/s/Mpc permet de faire l’application numérique
facilement en donnant une distance en Mpc si on prend la peine d’exprimer c en km/s.
2.
Pour l’horizon on a r qui vaut
c
rH =
R0 H0
ˆ
z→∞
3
(1 + z)− 2 dz
z=zCM B +1=1001
Donc on trouve :
R0 rH = 263, 26 Mpc
3.
La taille angulaire vaut donc :
θ=
(z + 1) R0 rH
1001 × 263, 26
= 0, 0329 = 1, 87o
=
Dang
8, 06.106
Car(z + 1) R0 rH est la taille actuelle (car R0 rH est sa taille initiale qui a ensuite subit une
expansion, d’où le facteur 1 + z)
8
5
Photons lourds
1.
Pour un photon normal on a :
dl = cdt1
Pour un photon massique on a :
dl = c (1 − ) dt2
Donc en faisant la différence des deux :
0 = (dt1 − dt2 ) c + cdt2
Donc
dt2 − dt1 = dt2
Et donc
dl
c
De plus, en arrivant sur la Terre, le photon va subit l’expansion de l’univers.
4tsource = 4tterre = 4tsource (1 + z)
Donc le retard total vaut :
ˆ
ˆ
ˆ
dl
4tterre = 4tsource (1 + z) = (1 + z)
c
ˆ
Et comme dl = cdt on a
ˆ
4tterre =
dt (1 + z)
De plus
Ṙ
dR 1
⇒
=H
R
dt R
dR
⇒ dt =
RH
donc en différentiant :
H=
De plus
R0
R
=1+z ⇒R=
R0
1+z
dR =
−R0
dz
(1 + z)2
Donc en combinant (8) et (9) on obtient
dt =
Et on a
R0
R
−R0
dz
RH (1 + z)2
= 1 + z donc :
dt =
− (1 + z)
dz
H (1 + z)2
dt =
−1
dz
H (1 + z)
9
(8)
(9)
Donc le retard total vaut finalement :
ˆ
ˆ
4tterre = −
ˆ
z=0
z=zsource
ˆ
z=zsource
4tterre =
z=0
dz
H
dz
H
2.
4t entre les photons peut être contrainte précisément.
3.
On a
!
E
v (E) = c 1 − ξ
EQG
donc = ξ
E
EQG
Donc, comme on a H (z) = H0 E (z), le décalage temporel vaut donc :
ˆ
ˆ
z=zsource
4tterre =
ξ EEQG dz
H0 E
z=0
ˆ
4tterre =
ξ
ˆ
z=zsource
dz =
EQG H0
z=0
ξzsource
EQG H0
Et on peut le réécrire sous un forme plus usuelle en utilisant :
E = E0 (1 + z) ⇒
E0
(1 + z) = 1
E
Soit :
ˆ
4tterre
E0 1
=ξ
EQG H0
ˆ
z
0
(1 + z) dz
E
On a EQG ≈ 1019 GeV donc impossible en labo (ELHC = 104 GeV)
4tobs ∼ 1s, et H10 ∼ 4.1017 s
E 0 ξ
EQG ≤ 10−17
On arrive à contraindre
|ξE0 | ≤ 100 GeV
⇒ξ∼1
avec des photons de 100 GeV⇒detection possible
10