POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLES

Transcription

ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles
Cours
Octobre 2002
POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLES
Dans tout le chapitre, K désigne soit l’ensemble R des réels, soit l’ensemble C des
complexes.
1
1.1
Polynômes.
Généralités
On appelle monôme toute expression de la forme ak X k , où ak est un élément de K
appelé coefficient du monôme, et X une variable indéterminée.
On appelle polynôme à une indéterminée X sur K l'expression définie par
P( X ) = an X n + an −1 X n−1 + ....... + a2 X 2 + a1 X + a0 , n ∈ N
où a0 ,a1 ,......,an sont des éléments de K appelés coefficients du polynôme P ( X ) , et
X une variable indéterminée.
On utilise aussi la notation
P( X ) =
n
∑ ak X k
k =0
L’ensemble de tous les polynômes à coefficients dans K se note K [ X ] .
Si P ≠ 0 , on appelle degré de P , et on note deg ( P ) ou encore d°P, le plus grand
entier naturel n tel que an ≠ 0 . Le coefficient an est le coefficient du terme de plus
haut degré.
Une constante non nulle est un polynôme de degré 0.
Le polynôme nul n'a pas de degré.
Pour tout entier naturel n, l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n et
à coefficients dans K se note K n [ X ] .
On appelle fonction polynôme associée au polynôme P l’application
K→K
x ! P ( x)
On peut se permettre d’assimiler un polynôme à sa fonction polynôme, et ainsi par
exemple dériver un polynôme. Nous le ferons dans ce chapitre.
© Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Isabelle HENROT
1
Cours
Octobre 2002
On appelle racine ou zéro d’un polynôme P toute valeur de x telle que P ( x ) = 0 .
Le trinôme du second degré à coefficients dans R.
C’est un polynôme de la forme T ( x ) = ax 2 + bx + c avec
( a,b,c ) ∈ R* × R 2 .
Le
coefficient a est donc non nul d’où « second degré » et en général il y a trois termes
d’où « trinôme ».
Rappelons les résultats essentiels : on pose ∆ = b 2 − 4ac :
−b + ∆
−b − ∆
: la somme
et x2 =
• Si ∆ > 0 alors il y a deux racines : x1 =
2a
2a
b
c
des racines vaut S = − et le produit P = .
a
a
b
• Si ∆ = 0 il y a une racine double x0 = −
2a
• Si ∆ < 0 alors on pose ∆′ = −∆ et on a deux racines complexes conjuguées :
−b − i ∆′
−b + i ∆′
et z2 =
z1 =
.
2a
2a
1.2
Structure de l’ensemble des polynômes
La somme de deux polynômes, le produit de deux polynômes, et le produit d’un
polynôme par un réel sont des polynômes.
Plus précisément :
Soit K [ X ] l’ensemble des polynômes à une indéterminée, et pour tout entier naturel
n, K n [ X ] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
•
Si P et Q appartiennent à K [ X ] alors P + Q appartient à K [ X ] et pour tout
λ ∈ R, λ P ∈ K [ X ]
•
Si P et Q appartiennent à K n [ X ] alors P + Q appartient à K n [ X ] et pour tout
λ ∈ R,λ P ∈ K n [ X ] .
On dit alors que K [ X ] et K n [ X ] sont des espaces vectoriels sur K.
Cette notion sera étudiée au chapitre suivant.
deg ( PQ ) = deg ( P ) + deg ( Q ) .
deg ( P + Q ) ≤ max ( deg ( P ) ,deg ( Q ) )
Donc la deuxième propriété ne serait pas vraie si la définition de K n [ X ] était
« ensemble des polynômes de degré égal à n ».
Isabelle HENROT
2
Cours
Octobre 2002
En effet : si P ( x ) = x 2 + x + 1 et Q ( x ) = − x 2 − 2 x + 1 alors
P ( x ) + Q ( x ) = − x + 2 et P ( x ) Q ( x ) = − x 4 − 3 x3 − 2 x 2 − x + 1 , et on a bien
deg ( P + Q ) = 1 ≤ Max ( deg ( P ) ,deg ( Q ) ) = Max ( 2 , 2 ) = 2 ,
deg ( PQ ) =4= deg ( P ) + deg ( Q ) =2+2.
Donc :
Soit K [ X ] l’ensemble des polynômes à une indéterminée, et pour tout entier naturel
n, K n [ X ] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
•
Si P et Q appartiennent à K [ X ] alors PQ appartient à K [ X ]
•
Si P et Q appartiennent à K n [ X ] alors PQ n’appartient pas nécessairement à
Kn [ X ]
1.3
Division euclidienne ou division suivant les puissances décroissantes.
On dit que le polynôme B divise le polynôme A ( ou que A est divisible par B ) s’il
existe un polynôme C tel que A = BC .
Le polynôme nul est divisible par tout polynôme, mais il ne divise aucun polynôme.
Le
polynôme
2 x2 + 2 x −
P ( x) = x −
1
2
divise
le
polynôme
Q ( x ) = 2x2 + 2x −
3
2
car
3 ⎛
1⎞
= ⎜ x − ⎟ ( 2 x + 3) .
2 ⎝
2⎠
Etant donnés deux polynômes A et B avec B ≠ 0 , il existe un couple unique de
polynômes ( Q,R ) vérifiant :
A = BQ + R et ( deg ( R ) < deg ( B ) ou R = 0 ) .
Commençons par montrer l’existence.
• Si d " A < d " B alors Q = 0,R = A conviennent.
•
Si d " A ≥ d " B on note an X n le monôme de plus haut degré de A et bm X m celui
de B ; on pose Q1 =
an X n
bm X
m
et R = A − BQ1 . On a d " R1 < d " A .
•
Si d " R1 < d " B alors Q = Q1 ,R = R1 conviennent.
•
Si d " R1 ≥ d " B
Isabelle HENROT
3
Cours
Octobre 2002
Alors on appelle Q2 le quotient des monômes de plus haut degré de R1 et de B.
On pose R2 = R1 − BQ2 et on a d " R2 < d " R1 .
•
Si d " R2 < d " B alors Q = Q2 ,R = R2 conviennent
•
Si d " R2 ≥ d " B on recommence … on obtient une suite strictement
décroissante
d " R1 > d " R2 > d " R3 > .... > d " Rn
qui
se
termine
forcément par Rn tel que d " Rn < d " B .
Montrons à présent l’unicité.
Supposons qu’il existe deux couples ( Q,R ) et ( Q1 ,R1 ) tels que
A = BQ + R,d " R < d " B
A = BQ1 + R1 ,d " R1 < d " B1
On
a
alors
(
B ( Q − Q1 ) = R1 − R ⇒ d " ( R1 − R ) ≥ d " B ;
or
)
d’autre
d " ( R1 − R ) ≤ max d " R1 ,d " R < d " B contradiction. Donc le couple
( Q,R )
part
est
unique.
A est le dividende, B est le diviseur.
Le polynôme Q est le quotient de la division euclidienne de A par B.
Le polynôme R est le reste de la division euclidienne de A par B.
Si R = 0 , alors A est divisible par B (ou encore B divise A).
Considérons
la
division
euclidienne
du
polynôme
A ( x ) = x3 + x + 1
par
B ( x ) = x 2 + x + 1 . Le quotient Q ( x ) est donné par Q ( x ) = x − 1 et le reste R ( x ) par
R ( x ) = x + 2 . On a donc
(
) (
)
A ( x ) = x3 + x + 1 = x 2 + x + 1 ( x − 1) + x + 2
Disposition pratique de la division :
x3 + x + 1
x2 + x + 1
− x3 − x 2 − x
x −1
− x2 + 1
x2 + x + 1
x+2
Isabelle HENROT
4
Cours
Octobre 2002
Un polynôme est dit irréductible s’il est de degré au moins égal à 1 et s’il n’est
divisible que par lui-même.
ALGE01E01A
Effectuer la division euclidienne de x3 + x 2 − x − 3 par x − 2 .
1.4
Racine d’un polynôme. Ordre de multiplicité.
Soit a un élément de K et P un polynôme de K [ X ] .
Alors a est une racine de P si et seulement si P est divisible par ( x − a ) .
Soit k ∈ N et P un polynôme de K [ X ] .
Un nombre a est racine d'ordre k de P si et seulement si P ( x ) est divisible par
( x − a )k , mais pas par ( x − a )k +1 .
Le nombre entier k est l'ordre de multiplicité du zéro a de P.
Une racine simple est une racine d'ordre 1.
Une racine double est une racine d'ordre 2.
Le polynôme P ( x ) = x 2 + x − 6 admet 2 et –3 comme racines simples (d’ordre 1). Il
peut s’écrire sous la forme P ( x ) = x 2 + x − 6 = ( x − 2 )( x + 3) ; il est donc divisible
par ( x − 2 ) et par ( x + 3) .
Le polynôme P ( x ) = x 4 − 10 x3 + 21x 2 − 16 x + 4 admet 1 et 2 comme racines doubles
(d’ordre 2). Il peut s’écrire sous la forme
P ( x ) = x 4 − 10 x3 + 21x 2 − 16 x + 4 = ( x − 1)
( x − 1)2
2
( x − 2 )2
; il est donc divisible par
et par ( x − 2 ) .
2
Soit a ∈ K et P ∈ K [ X ] . Soit k ∈ N * .
Le nombre a est une racine d’ordre k de P si et seulement si les deux conditions
suivantes sont réalisées :
h
1) ∀h ∈ N , 0 ≤ h < k ,P ( ) a = 0
k
2) P( ) ( a ) ≠ 0 .
Isabelle HENROT
5
Cours
Octobre 2002
1) Si a est racine d’ordre k alors P = ( x − a ) Q avec Q ( a ) ≠ 0 . On en déduit
k
P′ = k ( x − a )
k −1
Q + ( x − a ) Q ′ qui est bien nul si x = a . Comme Q ( a ) ≠ 0 et
k
( x − a )h = 0
lorsque h > 0 , la dérivée d’ordre h s’annulera en a jusqu’à ce que
k
h = k − 1 . Ensuite on aura P ( ) ( a ) ≠ 0 .
2) Réciproquement, supposons le polynôme de degré n. La formule de Taylor
permet
d’écrire
k)
k +1)
n)
(
(
(
( a ) + x − a k +1 P ( a ) + ... + x − a n P ( a ) et on peut
k P
P ( x) = ( x − a)
(
)
(
)
k!
n!
( k + 1) !
( x − a )k
mettre
en
facteur
d’un
polynôme
k
k +1
(k ) a
P( ) ( a )
P( ) ( a )
( ) qui ne s’annule pas en
n−k P
Q=
+ ( x − a)
+ ... + ( x − a )
k!
k!
( k + 1) !
k
P( ) ( a )
a puisque
≠ 0 . Donc a est une racine d’ordre k de P.
k!
P ( x ) = x3 − 3x + 2
P′ ( x ) = 3 x 2 − 3
P′′ ( x ) = 6 x
On a P (1) = P′ (1) = 0 mais P′′ (1) ≠ 0 donc 1 est un zéro d’ordre 2 de P.
Un polynôme P est divisible par un polynôme Q si toutes les racines de Q sont aussi
racines de P avec au moins le même ordre de multiplicité.
Le polynôme Q ( x ) = ( x + 1) ( x + 2 ) divise le polynôme P1 ( x ) = ( x + 1) ( x + 2 )
2
2
2
mais pas le polynôme P2 ( x ) = ( x + 1)( x + 2 ) .
3
ALGE01E02A
Soit le polynôme P ( x ) = x 4 − 5 x3 + 13 x 2 − 19 x + 10 .
Calculer P (1) puis P ( 2 ) .
En déduire la factorisation du polynôme dans R [ X ] puis C [ X ] .
Isabelle HENROT
6
1.5
Cours
Octobre 2002
Factorisation des polynômes à coefficients réels.
1.5.1 Théorème de D’Alembert.
Tout polynôme de C [ X ] de degré n ≥ 1 admet au moins une racine complexe.
On en déduit :
Tout polynôme P ( x ) à coefficients complexes, de degré n > 0 , admet exactement n
racines complexes, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité et s'écrit
α1
P ( x ) = an ( x − x1 )
αp
( x − x2 )α 2 ....( x − x p )
avec α1 + α 2 + .... + α p = n .
Les valeurs x1 ,x2 ,....x p sont des nombres complexes tous distincts.
On a donc décomposé P ( x ) en produit de polynômes irréductibles.
(
)(
)
P ( x ) = x 4 − 1 = x 2 − 1 x 2 + 1 = ( x − 1)( x + 1)( x − i )( x + i )
Ces deux théorèmes sont admis.
1.5.2 Cas où les coefficients sont réels.
Si un polynôme P ( x ) à coefficients réels admet le nombre complexe z ∈ C − R
pour racine, alors le conjugué z de z est aussi racine, avec le même ordre de
multiplicité.
Ecrivons P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 avec des coefficients a0 , a1 ,..., an réels.
Comme z est racine de P :
an z n + an −1 z n −1 + ... + a1 z + a0 = 0
Prenons le conjugué de chacun des membres de l’égalité :
an z n + an −1 z n −1 + ... + a1 z + a0 = 0 = 0
()
Utilisons les propriétés des conjugués : z + z ′ = z + z ′, zz ′ = z z ′, z n = z
n
ainsi que
a ∈ R ⇒ a = a : il vient
Isabelle HENROT
7
()
an z
n
()
+ an −1 z
n −1
Cours
Octobre 2002
+ ... + a1 z + a0 = 0
ce qui prouve que z est également racine de P.
Ce
résultat
serait
faux
dans
C[X ] :
par
exemple
le
polynôme
x 2 + ( i − 1) x + i + 2 = ( x − i )( x − 1 + 2i ) a deux racines complexes absolument pas
conjuguées.
Le polynôme P ( x ) = x 2 − 2 x + 5 à coefficients réels admet 1 + 2i et donc 1 − 2i
comme racines simples (d’ordre 1). Il peut s’écrire sous la forme
P ( x ) = x 2 − 2 x + 5 = ( x − 1 − 2i )( x − 1 + 2i ) .
On peut regrouper deux à deux les racines complexes non réelles de P.
Tout polynôme à coefficients réels se factorise sous la forme
P ( x ) = ( x − a1 )n1 ......( x − ak )nk T1 ( x ) 1 T2 ( x )
m
m2
...Tr ( x )
mr
où les
Ti
sont des
trinômes du second degré à discriminant strictement négatif.
On en déduit aussi :
• Les polynômes irréductibles de C [ X ] sont de degré 1.
•
Les polynômes irréductibles de R [ X ] sont de degré 1 ou des trinômes de
degré 2 à discriminant strictement négatif.
Tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine dans
R. En effet, la fonction polynôme st continue, x 2n+1 tend vers +∞ si x → +∞ et
x 2n+1 tend vers −∞ si x → −∞ donc la fonction s’annule au moins une fois.
1.6
Division suivant les puissances croissantes.
Etant donné un entier naturel h et deux polynômes A ( x ) et B ( x ) avec B ( 0 ) ≠ 0 , il
existe un couple unique de polynômes ( Q ( x ) ,R ( x ) ) vérifiant :
A ( x ) = B ( x ) Q ( x ) + x h+1R ( x ) et ( deg ( Q ) ≤ h ou R ( x ) = 0 ) .
Le polynôme Q ( x ) est le quotient de la division de A ( x ) par B ( x ) suivant les
puissances croissantes jusqu'à l'ordre h et le polynôme R ( x ) le reste de la division
de A ( x ) par B ( x ) suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre h.
Isabelle HENROT
8
Cours
Octobre 2002
Disposition pratique de l’opération.
Déterminons le quotient de la division du polynôme suivant les puissances
croissantes jusqu'à l'ordre 2 du polynôme A ( x ) = x5 + x 4 + x3 + 2 x 2 + 4 par
B ( x ) = x3 + 2 .
4 + 2x 2 + x3 + x 4 + x5
2 + x3
−4 − 2x3
2 + x2
2x 2 − x3 + x 4 + x5
−2x 2 − x5
− x3 + x 4
Le quotient Q ( x ) est alors donné par Q ( x ) = x 2 + 2 et le reste R ( x ) par
R ( x ) = x3 ( x − 1) . On a donc
(
)(
)
A ( x ) = x5 + x 4 + x3 + 2 x 2 + 4 = x3 + 2 x 2 + 2 + x3 ( x − 1) .
Cette division ne se termine jamais ! C’est pour cela qu’on indique « jusqu’à l’ordre
n… » et on sait alors que le reste est constitué de monômes de degré au moins n + 1 .
ALGE01E03A
Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 3 de
A ( x ) = 2 + 3 x − 2 x 2 par B ( x ) = 1 + x 2 − 2 x 3 .
Isabelle HENROT
9
2
2.1
Cours
Octobre 2002
Fractions rationnelles
Généralités
2.1.1 Définition
Considérons deux polynômes P et Q ( Q ≠ 0 )
P
.
Q
On appelle fonction rationnelle F ( x ) le quotient de la fonction polynôme P ( x ) par
On appelle fraction rationnelle F le quotient de P par Q et on note F =
la fonction polynôme Q ( x ) et on note F ( x ) =
P ( x)
.
Q ( x)
2.1.2 Pôle d'une fraction rationnelle.
Soit a un nombre réel ou complexe.
On dit qu'un nombre a est un zéro d'ordre k de F ( x ) =
P ( x)
si et seulement si a est
Q ( x)
un zéro d'ordre k de P ( x ) et a n'est pas un zéro de Q ( x ) .
On dit qu'un nombre a est un pôle d'ordre k de F ( x ) =
P ( x)
si et seulement si a est
Q ( x)
racine d'ordre k de Q ( x ) .
1) F ( x )
2
x − 1)
(
=
, 1 est zéro d’ordre 2 ; la fraction admet i et –i comme pôles dans
x2 + 1
C, mais n’a pas de pôles réels.
x2 + 1
, i et –i sont des zéros dans C, mais la fraction n’a pas de zéros
2) F ( x ) =
( x − 1)2
dans R ; 1 est pôle d’ordre 2.
3) La fraction rationnelle F ( x ) =
x2 − 3
x3
admet
3 et − 3 comme zéros (simples)
et 0 comme pôle d’ordre 3.
Isabelle HENROT
10
Cours
Octobre 2002
2.1.3 Partie entière d'une fraction rationnelle.
P
. Effectuons la division euclidienne de P par Q : il existe un couple
Q
unique de polynômes ( E,R ) tel que :
Soit F =
⎧⎪ P = QE + R
⎨
⎪⎩deg ( R ) < deg ( Q )
Donc
F ( x) = E ( x) +
R ( x)
Q ( x)
E ( x ) est appelée la partie entière de F ( x ) .
si deg ( P ) < deg ( Q ) alors E ( x ) = 0 .
1) La fraction rationnelle F ( x ) =
s’écrire sous la forme F ( x ) =
3) F ( x ) =
x5 − 3
x −3
5
x
3
x
3
admet x 2 comme partie entière ; elle peut
= x2 −
3
x3
.
x3 + 2 x 2 − 2 x + 1
D’où F ( x ) =
x2 + 1
x3 + 2 x 2 − 2 x + 1
x +1
2
=
( x + 2 ) ( x 2 + 1) − 3x − 2
x +1
2
= x+2−
3x + 2
x2 + 1
Nous allons dans la suite du cours essayer de décomposer F en somme de fractions
plus simples.
L’intérêt est de pouvoir
• Calculer plus facilement des valeurs
• Déterminer la dérivée, des primitives
• Trouver les éventuelles limites au voisinage de réels ou de +∞ .
Or, une fois la partie entière déterminée, on a écrit F comme la somme d’un
R
polynôme E et d’une fraction rationnelle
avec deg ( R ) < deg ( Q ) .
Q
Donc il nous suffit de pratiquer cette décomposition sur des fractions dont le
numérateur a un degré strictement inférieur au dénominateur.
C’est ce que nous supposons désormais.
Isabelle HENROT
11
2.2
Cours
Octobre 2002
Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples de première espèce.
On suppose que le dénominateur de la fraction rationnelle peut se factoriser sous la
forme
( x − a1 )k1 ( x − a2 )k2 ....( x − a p )
kp
où a1 ,a2 ,...a p sont des nombres complexes distincts et k1 ,k2 ,...k p des entiers
naturels non nuls.
On va s’occuper séparément de chacun des pôles a1 ,a2 ,...a p .
Considérons la fraction F ( x ) =
x2 + 3
( x − 1)3
.
On souhaite écrire cette fraction comme une somme de fractions plus simples, de
dénominateurs égaux à des puissances de ( x − 1) avec des exposants ≤ 3 , et de
numérateurs constants.
A
B
C
+
+
.
F ( x) =
( x − 1)3 ( x − 1)2 x − 1
Un théorème permet d’affirmer l’existence, et l’unicité, de cette décomposition.
Soit F une fraction rationnelle et a un pôle de F d’ordre k, k ∈ N * .
On appelle partie principale de la fraction rationnelle F relative au pôle a d'ordre k,
l'expression
Ak
Ak −1
A
+
+ ........ + 1 où A1 , A2 ,....., Ak sont des constantes de K.
k
k −1
x−a
( x−a) ( x−a)
Soit F =
P
une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en
Q
Q ( x ) = ( x − a1 )
k1
( x − a2 )k2 ....( x − a p )
kp
et telle que d ° P < d °Q .
Il existe une décomposition unique de F sous la forme
F = F1 + F2 + ... + Fp
avec pour chaque Fi la formule
Ak
Ak −1
A1
+
+
+
Fi ( x ) =
........
x − ai
( x − ai )k ( x − ai )k −1
On dit que l’on a décomposé F en éléments simples de première espèce.
Cette décomposition est toujours possible dans C d’après le théorème de
d’Alembert.
Admise.
Isabelle HENROT
12
Cours
Octobre 2002
Comment déterminer pratiquement la partie principale relative à un pôle ?
Supposons que la fraction rationnelle F ( x ) =
P ( x)
admette un pôle a d'ordre k.
Q ( x)
Q ( x ) est donc de la forme Q ( x ) = ( x − a ) Q1 ( x ) , Q1 ( a ) ≠ 0 .
k
Pour obtenir la partie principale relative au pôle a, on pose h = x − a ⇔ x = a + h et
on effectue la division suivant les puissances croissantes de P ( x − a ) par Q1 ( x − a )
jusqu’à l’ordre k − 1 .
F ( x) =
x2 + 3
( x − 1)3
Il y a un seul pôle d’ordre 3 qui est a = 1 .
On pose h = x − 1 ⇔ x = 1 + h et on transforme la fraction :
4 + 2h + h 2
F ( x) =
h3
Ensuite on effectue la division de 4 + 2h + h 2 par h3 suivant les puissances
croissantes.
4 + 2h + h 2
-4
h3
4 2 1
+ +
h3 h 2 h
2h + h 2
−2h
h2
On repasse ensuite à la variable x :
4 + 2h + h 2 4
2 1
4
2
1
F ( x) =
= 3+ 2+ =
+
+
3
3
2
h ( x − 1) ( x − 1)
x −1
h
h
h
Il existe une autre méthode très sympathique : l’identification.
On sait que la décomposition sera de la forme
a
b
c
+
+
F ( x) =
3
2
( x − 1) ( x − 1) x − 1
Isabelle HENROT
13
Cours
Octobre 2002
On réduit la somme des fractions au même dénominateur et on identifie le nouveau
numérateur avec x 2 + 3 pour déterminer a, b et c.
Ici F ( x ) =
a + b ( x − 1) + c ( x − 1)
( x − 1)
2
3
=
cx 2 + ( b − 2c ) x + ( a − b + c )
( x − 1)
3
=
x2 + 3
( x − 1)
3
On en déduit
⎧c = 1
⎪
⎨b − 2c = 0
⎪a − b + c = 3
⎩
et finalement a = 4, b = 2, c = 1 .
F ( x) =
2.3
x2 + 3
4
=
+
2
( x − 1)3 ( x − 1)3 ( x − 1)2
+
1
x −1
Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples de seconde espèce.
Supposons maintenant que le polynôme soit à coefficients dans R, et que le
dénominateur ne se factorise plus aussi simplement que
( x − a1 )k1 ( x − a2 )k2 ....( x − a p )
kp
Il peut en effet apparaître des facteurs irréductibles du second degré, c’est-à-dire des
polynômes x 2 + px + q avec ∆ = p 2 − 4q < 0 .
On va d’abord envisager le cas où il n’y a que des facteurs du second degré au
dénominateur.
Soit F une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en
Q ( x ) = ( x 2 + p1 x + q1 )l1 ....( x 2 + pm x + qm )lm
F = G1 + G2 + ... + Gm
avec pour chaque Gi la formule
A x + Bk
A x + Bk −1
A x + B1
Gi ( x ) = 2 k
+ 2 k −1
+ ........ + 2 1
k
k −1
( x + px + q ) ( x + px + q )
x + px + q
On dit que l’on a décomposé F en éléments simples de deuxième espèce.
Admise.
F ( x) =
2 x 4 − 2 x3 + 4 x 2 + 3
( x2 + 1)
3
Isabelle HENROT
14
Cours
Octobre 2002
Ici la partie entière est nulle car le degré du numérateur est inférieur au degré du
dénominateur.
On sait d’après le théorème que la fraction va se décomposer en
A x + B3 A2 x + B2 A1 x + B1
F ( x) = 3
+
+
3
2
2
2
x2 + 1
x +1
x +1
(
) (
) (
)
Pour déterminer les coefficients Ai ,Bi on effectue les divisions euclidiennes
successives de F ( x ) par x 2 + 1 .
2 x 4 − 2 x3 + 4 x 2 + 3
−2 x 4 − 2 x 2
x2 + 1
2 x2 − 2 x + 2
−2 x 2 − 2
−2 x 3 + 2 x 2 + 3
2 x2 + 2 x
x2 + 1
2
−2x
2 x2 + 2 x + 3
−2 x 2 − 2
2x +1
La première division euclidienne se traduit par
2 x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 + 3 = ( x 2 + 1)( 2 x 2 − 2 x + 2 ) + ( 2 x + 1)
Et comme ensuite 2 x 2 − 2 x + 2 = 2 ( x 2 + 1) − 2 x , en injectant cette égalité dans la
précédente on obtient
2 x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 + 3 = ( x 2 + 1) ⎡⎣ 2 ( x 2 + 1) − 2 x ⎤⎦ + ( 2 x + 1) = 2 ( x 2 + 1) − 2 x ( x 2 + 1) + ( 2 x + 1)
2
On divise à présent par ( x 2 + 1) :
3
F ( x) =
2 x 4 − 2 x3 + 4 x 2 + 3
( x2 + 1)
3
=
(
)
2
(
)
2 x 2 + 1 − 2 x x 2 + 1 + ( 2 x + 1)
( x2 + 1)
3
=
2
x +1
2
−
2x
+
Autre méthode possible
On effectue la décomposition en éléments de première espèce sur C, puis on
regroupe les termes conjugués pour revenir dans R.
F ( x) =
x3 + 2 x
(x
2
+ 1)
2
=
x3 + 2 x
( x − i) ( x + i)
2
2
On peut écrire la décomposition dans C sous la forme
Isabelle HENROT
2x +1
( x2 + 1) ( x2 + 1)
2
15
3
F ( x) =
a
( x − i)
2
+
Cours
Octobre 2002
b
c
d
+
+
2
( x − i) ( x + i) ( x + i)
Pour obtenir la partie relative au pôle i on pose h = x − i ⇔ x = i + h et on effectue la
3
division suivant les puissances croissantes à l’ordre 2 de ( i + h ) + 2 ( i + h ) par
i h
i
1
: on obtient − + + .... donc a = − , b = .
4 2
4
2
Pour trouver c et d on peut recommencer une division ou remarquer que –i est le
i
1
conjugué de i : donc c = a = et d = b = .
4
2
i
1
i
1
−
4 + 2 + 4 + 2
Finalement F ( x ) =
2
2
x
−
( i) ( x − i) ( x + i) ( x + i)
( 2i + h )
2
On regroupe ensuite les fractions en ( x − i ) et ( x + i ) ensemble, ainsi que les
2
2
fractions en ( x − i ) et ( x + i ) :
F ( x) =
−
i
i
1
1
2
2
( x + i) + ( x − i)
( x + i) + ( x − i)
4
4
2
+2
2
2
x
i
x
−
( )( + i )
( x − i) ( x + i)
ce qui après simplification s’écrit
x
x
.
F ( x) =
+ 2
2
2
( x + 1) x + 1
Finalement, dans le cas général on admet que :
Soit F une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en
Q ( x ) = ( x − a1 )k1 ......( x − an )kn ( x 2 + p1x + q1 )l1 ....( x 2 + pm x + qm )lm
F = F1 + F2 + ... + Fn + G1 + G2 + ... + Gm
avec pour chaque Fi la formule
Ak
Ak −1
A
Fi ( x ) =
+
+ ........ + 1
k
k −1
x − ai
( x − ai ) ( x − ai )
et pour chaque Gi la formule
A x + Bk
A x + Bk −1
A x + B1
Gi ( x ) = 2 k
+ 2 k −1
+ ........ + 2 1
k
k −1
( x + px + q ) ( x + px + q )
x + px + q
Cette décomposition est unique.
Isabelle HENROT
16
2.4
Cours
Octobre 2002
Méthodes pratiques de décomposition.
2.4.1 Cas général.
Si deg ( P ) ≥ deg ( Q ) , on cherche la partie entière de F ( x ) =
P ( x)
; celle-ci
Q ( x)
s'obtient en calculant le quotient de la division euclidienne de P ( x ) par Q ( x ) . Une
fois que E ( x ) est calculée, F ( x ) − E ( x ) est une nouvelle fraction rationnelle
F1 ( x ) =
P1 ( x )
avec deg ( P1 ) < deg ( Q1 ) .
Q1 ( x )
2.4.2 Décomposition en éléments simples de première espèce.
•
Pôle simple.
Si a est un pôle simple de F ( x ) alors Q ( x ) se met sous la forme
Q( x ) = ( x − a )Q1( x ) avec Q1( a ) ≠ 0
et la partie principale relative à a se met sous la forme
λ
x−a
avec λ =
P( a )
.
Q1( a )
B ( x)
.
x − a Q1( x )
De manière pratique, pour déterminer le coefficient λ , on multiplie les deux
P ( x)
membres de F ( x ) =
par ( x − a ) , c’est-à-dire
Q ( x)
Ainsi, F ( x ) est de la forme F ( x ) =
λ
+
( x − a) F ( x) =
et on fait x = a .
P ( x)
Q1( x )
en éléments simples dans R la fraction rationnelle
x + x +1
.
F ( x) =
( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )
La partie entière est nulle, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à
celui du dénominateur.
Il n'y a que des pôles réels et donc des éléments simples de première espèce.
La décomposition de F ( x ) en éléments simples est de la forme :
Décomposer
2
x2 + x + 1
A
B
C
=
+
+
( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3)
où A, B et C sont des nombres réels à déterminer.
F ( x) =
Isabelle HENROT
17
En
considérant
la
Cours
Octobre 2002
fraction
rationnelle associée et
1
x par −1 dans ( x + 1) F ( x ) , on obtient A = .
2
En remplaçant x par −2 dans ( x + 2 ) F ( x ) , on obtient B = −3 .
En remplaçant x par −3 dans ( x + 3) F ( x ) , on obtient C =
en
remplaçant
7
.
2
La décomposition est donc :
x2 + x + 1
1
3
7
.
=
−
+
F ( x) =
( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) 2 ( x + 1) ( x + 2 ) 2 ( x + 3)
x3
Considérons la fraction rationnelle F ( x ) =
.
( x + 1)( x + 2 )
La partie entière est non nulle, puisque le degré du numérateur 3 est supérieur au
degré du dénominateur 2.
On la détermine par division euclidienne : on développe ( x + 1)( x + 2 ) = x 2 + 3 x + 2
et x3 = ( x − 3) ( x 2 + 3x + 2 ) + ( 7 x + 6 ) .
x3
7x + 6
A
B
Donc F ( x ) =
= ( x − 3) +
= ( x − 3) +
+
x +1 x + 2
( x + 1)( x + 2 )
( x + 1)( x + 2 )
Calculons la partie principale relative au pôle simple –1.
On multiplie par ( x + 1) et on fait x = −1 : alors A =
On multiplie par ( x + 2 ) et on fait x = −2 : alors
( −1)
3
= −1 .
( −1 + 2 )
3
−2 )
(
= 8.
B=
( −2 + 1)
x3
1
8
= x −3−
+
.
On a ainsi F ( x ) =
( x + 1)( x + 2 )
( x + 1) ( x + 2 )
ALGE01E04A
Décomposer en éléments simples dans R [ X ] la fraction
F ( x) =
•
x3 − 2 x 2 − x − 3
x 2 − 3x + 2
Pôle multiple
P ( x)
P ( x)
= n
et Q1( 0 ) ≠ 0 . Les
Q ( x ) x Q1 ( x )
coefficients de la décomposition relative au pôle 0 sont ceux de la division suivant
Si 0 est pôle multiple d'ordre n alors F ( x ) =
Isabelle HENROT
18
Cours
Octobre 2002
les puissances croissantes de P ( x ) par Q1 ( x ) à l'ordre n − 1 (on obtient les
coefficients à l'envers).
Décomposer en éléments simples dans R la fraction rationnelle F ( x ) =
1
.
x ( x −1 )
La partie entière est nulle, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à
celui du dénominateur.
Le dénominateur de F ( x ) admet deux pôles réels : 0 est un pôle triple et 1 pôle
3
simple
F ( x) =
1
=
A1
+
A2
+
A3
B
+
x x −1
x ( x −1 ) x
x
où A1 , A2 , A3 et B sont des nombres réels à déterminer.
En considérant la fraction rationnelle associée et en remplaçant x par 1 dans
( x − 1) F ( x ) , on obtient B = 1 .
3
3
2
Le pôle triple étant le réel 0, il n'y a pas lieu d'effectuer de changement de variable.
On forme la division suivant les puissances croissantes de 1 par −1 + x jusqu'à l'ordre
2;
1 = ( −1 + x )( −1 − x − x 2 ) + x3
d’où par division par x3 ( 1 − x ) , on obtient
1
1
1 1
1
F ( x) = 3
=− 3 − 2 − +
x x −1
x ( x −1 )
x
x
et donc A1 = −1 , A2 = −1 et A3 = −1 (On retrouve la valeur B = 1 ).
Si a ≠ 0 est pôle multiple d'ordre n > 1 , on effectue d'abord le changement de
variable (on dit parfois la « translation ») h = x − a et on se ramène au cas précédent
en effectuant la division suivant les puissances croissantes de P( h ) = P( x + a ) par
Q1( h ) = Q1( x + a ) à l'ordre n − 1 .
Si l'ordre de multiplicité est 2 ou 3, on procède par identification en remplaçant x par
une valeur particulière (en évitant les pôles) ou en multipliant par x et en faisant
tendre x vers l'infini (ce n'est possible que si la partie entière est nulle).
Décomposer
F ( x) =
en
x +1
éléments
simples
dans
R
la
fraction
rationnelle
2
( x − 1 )2 ( x + 1 )3
.
La partie entière est nulle. Le dénominateur de F ( x ) admet deux pôles réels : 1 est
un pôle double et −1 pôle triple.
Isabelle HENROT
19
Cours
Octobre 2002
x2 + 1
B
A2
B1
B2
+
+
+ 3
3
2
x −1 ( x +1) ( x +1)
x +1
( x −1 ) ( x +1 )
( x −1 )
où A1 , A2 ,B1 ,B2 et B3 sont des nombres réels à déterminer.
Pour le pôle réel double 1, on effectue la translation x = 1 + h et on effectue la
division suivant les puissances croissantes de
x 2 + 1 = ( 1 + h )2 + 1 = 2 + 2h + h 2 par ( x + 1 )3 = ( 2 + h )3 = 8 + 12h + 6h 2 + h3
Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de
1 h
2 + 2h + h 2 par 8 + 12h + 6h 2 + h3 à l′ordre 1 est −
4 8
2
3
d’où par division par h ( 2 + h ) ,
F ( x) =
2
2 + 2h + h 2
=
1
=
1
3
=
−
1
+ ......
8h
+
1
+ ......
8k
A1
2
+
4h
h (2+h)
1
1
et donc A1 = et A2 = −
4
8
Pour le pôle réel triple −1, on effectue la translation x = −1 + k et on effectue la
division suivant les puissances croissantes de
x 2 + 1 = ( −1 + k )2 + 1 = 2 − 2k + k 2 par ( x − 1 )2 = ( −2 + k )2 = 4 − 4k + k 2
Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de
1 k2
2 − 2k + k 2 par 4 − 4k + k 2 à l′ordre 2 est +
2 8
3
2
d’où par division par k ( 2 − k )
2
3
2 − 2k + k 2
2
k 3 ( 2 − k )2 2k 3
1
1
et donc B1 = , B2 = 0 et B3 =
2
8
Par conséquent,
x2 + 1
1
1
1
1
F ( x) =
=
−
+
+
2
3
2 8( x − 1 )
3 8( x + 1 )
4( x − 1 )
2( x + 1 )
( x −1 ) ( x +1 )
ALGE01E05A
F ( x) =
27
( x + 1)( x − 2 )
3
Isabelle HENROT
20
Cours
Octobre 2002
2.4.3 Décomposition en éléments simples de seconde espèce.
M m x + Nm
Pour déterminer les éléments simples de la forme
( x 2 + px + q )m
, m > 1 , en
multipliant par ( x 2 + px + q )m et en remplaçant x par la racine complexe, en
identifiant partie réelle et partie imaginaire des deux membres, on obtient un système
de deux équations à deux inconnues sur M m et N m qui permet de calculer ces deux
coefficients.
M x + Nm
On considère alors la fraction rationnelle F ( x ) − 2 m
que l'on simplifie,
( x + px + q )m
puisqu'il y a unicité de la décomposition en éléments simples.
M m−1 x + N m −1
en utilisant la méthode
On calcule alors les coefficients du terme
( x 2 + px + q )m−1
précédente, c'est la méthode de diminution du degré.
Cas particulier :
S'il n'y a que des pôles complexes, c'est-à-dire si la fraction rationnelle se présente
P ( x)
sous la forme F ( x ) = 2
, on effectue les divisions euclidiennes
( x + px + q )m
successives de P ( x ) (puis des différents quotients) par x 2 + px + q
Décomposer
F ( x) =
en
x +2
éléments
simples
dans
R
la
fraction
rationnelle
6
.
( x − 1 )( x 2 + 1 )2
1 est pôle simple et i et −i sont pôles doubles.
Comme le degré du numérateur est 6 et le degré du dénominateur 5, il existe une
partie entière de degré 1 : on l’obtient par division euclidienne du numérateur par le
dénominateur et vaut E ( x ) = x + 1 .
La décomposition est de la forme
x6 + 2
A
ax + b
cx + d
F ( x) =
= x +1+
+ 2
+ 2
2
2
2
x −1 ( x +1 )
( x − 1 )( x + 1 )
x +1
Le coefficient A est obtenu en multipliant par x − 1 et en faisant x = 1 ; A =
La fraction
ax + b
( x 2 + 1 )2
+
cx + d
3
.
4
peut être calculée par la différence
x2 + 1
x6 + 2
( x − 1 )( x + 1 )
2
2
− ( x + 1) −
3
.
4 ( x − 1)
On trouve ainsi
ax + b
( x 2 + 1 )2
+
cx + d
x2 + 1
=
−7 x 3 − 7 x 2 − 9 x − 9
(
)
4 x2 + 1
2
Isabelle HENROT
21
Cours
Octobre 2002
La division de −7 x3 − 7 x 2 − 9 x − 9 par x 2 + 1 suivant les puissances décroissantes
donne
(
On en déduit, en divisant par 4 ( x + 1)
)
−7 x3 − 7 x 2 − 9 x − 9 = x 2 + 1 ⎡⎣ −7 ( x + 1) ⎤⎦ − 2 ( x + 1) .
2
ax + b
( x + 1)
2
2
+
cx + d
x +1
2
2
:
=−
(
x +1
)
2 x2 + 1
2
−
7x + 7
(
)
4 x2 + 1
d’où
F ( x) =
x6 + 2
( x − 1 )( x + 1 )
2
2
= x +1+
3
7x + 7
x +1
.
−
−
2
2
4 ( x − 1) 2( x + 1 )
4( x 2 + 1 )
ALGE01E06A
F ( x) =
(x
x5
2
+ x + 1)
3
Isabelle HENROT
22
ALGE01 : Polynômes, Fractions rationnelles
Exercices supplémentaires
ALGE01S01
1) Soit ( m,n, p ) ∈ N 3 , montrer que X 2 + X + 1 divise X 3m + 2 + X 3n+1 + X 3 p
dans C [ X ] .
2) Factoriser dans R [ X ] le polynôme Q ( x ) = x5 + 3x 4 + 4 x3 + 4 x 2 + 3x + 1 .
ALGE01S02
F ( x) =
x2 + 3
x5 + 3x 4 + 4 x3 + 4 x 2 + 3x + 1
Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Isabelle HENROT
Mai 2003
ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Exercices
Mai 2003
ALGE01E01B
Soit P un polynôme dont le reste de la division euclidienne par ( x − 1 ) est −4 et par
( x − 2 ) est 3 . Quel est le reste de la division euclidienne de P par ( x − 1 )( x − 2 ) ?
Isabelle HENROT
ALGE01E01C
Déterminer le reste de la division de
A = ( x − 2 )2 n + ( x − 1 )n + 1
par B = ( x − 1 )2 ( x − 2 )
Isabelle HENROT
Mai 2003
Mai 2003
ALGE01E02B
Montrer que le polynôme P( x ) = x 4 + 2 x 2 − 8 x + 5 admet une racine double. En
déduire la décomposition en produit de polynômes irréductibles dans R [ X ] .
Isabelle HENROT
ALGE01E02C
Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme P de R [ X ]
P( x ) = x5 − 5 x 4 + 14 x3 − 22 x 2 + 17 x − 5
Isabelle HENROT
Mai 2003
Mai 2003
ALGE01E03B
Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 4 de A ( x ) = 4 par
B ( x ) = ( x − 2) .
2
Isabelle HENROT
Mai 2003
ALGE01E05B
F ( x) =
(x
4
2
− 1)
2
Isabelle HENROT
Mai 2003
ALGE01E06B
x2 + 1
( x − 1)
4
(x
3
+ 1)
Isabelle HENROT
ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Solutions
Mai 2003
ALGE01E01A
x3 + x 2 − x − 3
x−2
− x3 + 2 x 2
x 2 + 3x + 5
3x 2 − x − 3
−3 x 2 + 6 x
5x − 3
−5 x + 10
7
x3 + x 2 − x − 3 = ( x − 2 ) ( x 2 + 3x + 5 ) + 7
Le dividende est x3 + x 2 − x − 3 , le diviseur est x − 2 , le quotient x 2 + 3x + 5 et le
reste 7.
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons de cliquer sur Exercice
Isabelle HENROT
1
Mai 2003
ALGE01E01B
P ( x ) = Q1 ( x )( x − 1) − 4
P ( x ) = Q2 ( x )( x − 2 ) + 3
P ( x ) = Q ( x )( x − 1)( x − 2 ) + R ( x )
avec R ( x ) = ax + b puisque d o R ≤ 1 .
P (1) = R (1) = a + b = −4
P ( 2 ) = R ( 2 ) = 2a + b = 3
On résout le système
a = 7 ,b = −11 ⇒ R ( x ) = 7 x − 11
Isabelle HENROT
2
Mai 2003
ALGE01E01C
A = ( x − 2 ) + ( x − 1) + 1
2n
n
B = ( x − 1) ( x − 2 )
Si n = 0 ou si n = 1 le polynôme est de degré 2 et le reste est A.
Sinon, on écrit A = BQ + R, d 0 R ≤ 2 .
2
Il faut donc trouver 3 réels a,b,c tels que R = ax 2 + bx + c .
A (1) = R (1) = 1
A ( 2) = R ( 2) = 1
On dérive : A′ = B′Q + BQ′ + R′ ⇒ A′ (1) = R′ (1) = −2n
On a donc le système :
a + b + c = 2

4a + 2b + c = 2
 2 a + b = −2 n

qui fournit a = 2n, b = −6n, c = 2 + 4n .
Donc R = 2nX 2 − 6nX + 2 + 4n .
conseillons de contacter votre tuteur
Isabelle HENROT
3
Mai 2003
ALGE01E02A
P (1) = 0 ,P ( 2 ) = 0 donc on peut diviser P par le produit ( x − 1)( x − 2 ) = x 2 − 3 x + 2 .
La division donne
(
)(
P ( x ) = x 2 − 3x + 2 x 2 − 2 x + 5
)
Le trinôme x 2 − 2 x + 5 a un discriminant négatif donc il est irréductible dans R [ X ] .
En revanche on peut le factoriser dans C [ X ] : x 2 − 2 x + 5 = ( x − 1 + 2i )( x − 1 − 2i ) .
Donc :
(
)
•
Dans R [ X ] on a P ( x ) = ( x − 1)( x − 2 ) x 2 − 2 x + 5
•
Dans C [ X ] on a P ( x ) = ( x − 1)( x − 2 )( x − 1 + 2i )( x − 1 − 2i ) .
Isabelle HENROT
4
Mai 2003
ALGE01E02B
P′ ( x ) = 4 x3 + 4 x − 8 a une racine évidente 1 qui est aussi racine de P donc au moins
racine double.
On effectue la division euclidienne de P par ( x − 1) : P ( x ) = ( x − 1)
2
2
( x2 + 2 x + 5) .
Le polynôme x 2 + 2 x + 5 étant irréductible sur R, la décomposition sur R [ X ] est
terminée.
Isabelle HENROT
5
Mai 2003
ALGE01E02C
P (1) = 0
P′ ( x ) = 5 x 4 − 20 x3 + 42 x 2 − 44 x + 17 ⇒ P′ (1) = 0
P′′ ( x ) = 20 x3 − 60 x 2 + 84 x − 44 ⇒ P′′ (1) = 0
P′′′ ( x ) = 60 x 2 − 120 x + 84 ⇒ P′′′ (1) ≠ 0
On en déduit que 1 est racine triple de P.
Isabelle HENROT
6
Mai 2003
ALGE01E03A
2 + 3x − 2 x 2
1 + x 2 − 2 x3
−2 − 6 x + 4 x 2
2 + 3x − 4 x 2 + x3
3x − 4 x 2 + 4 x3
−3x − 3x3 + 6 x 4
−4 x 2 + x3 + 6 x 4
4 x 2 + 4 x 4 − 8 x5
x3 + 10 x 4 − 10 x5
− x3 − x5 + 2 x 6
10 x 4 − 9 x5 + 2 x 6
2 + 3x − 2 x 2 = (1 + x 2 − 2 x3 )( 2 + 3x − 4 x 2 + x3 ) + (10 x 4 − 9 x5 + 2 x 6 )
Isabelle HENROT
7
Mai 2003
ALGE01E03B
Il faut commencer par développer B ( x ) = ( x − 2 ) = x 2 − 4 x + 4 = 4 − 4 x + x 2 .
2
4
−4 + 4x − x 2
4 − 4x + x 2
1+ x +
3 2 1 3 5 4
x + x + x
4
2
16
4x − x 2
−4 x + 4 x 2 − x3
3x 2 − x3
3
−3 x 2 + 3 x 3 − x 4
4
2 x3 −
3 4
x
4
1
−2 x 3 + 2 x 4 − x 5
2
5 4 1 5
x − x
4
2
5
5
5
− x 4 + x5 − x 6
4
4
16
3 5 5 6
x − x
4
16
Isabelle HENROT
8
Mai 2003
ALGE01E04A
On détermine la partie entière E ( x ) , puisque le degré du numérateur est supérieur à
celui du dénominateur. On effectue la division euclidienne du numérateur
x3 − 2 x 2 − x − 3 par le dénominateur x 2 − 3x + 2 .
ce qui donne x3 − 2 x 2 − x − 3 = ( x 2 − 3 x + 2 )( x + 1 ) − 5
5
D'où F ( x ) = x + 1 − 2
.
x − 3x + 2
Puisque x 2 − 3 x + 2 = ( x − 1 )( x − 2 ) , on cherche A et B réels tels que
5
A
B
R ( x) = −
=
+
( x − 1 )( x − 2 ) x − 1 x − 2
En passant aux fonctions rationnelles associées et en remplaçant x par 1 dans
( x − 1 )R( x ) on obtient A = 5 . En remplaçant x par 2 dans ( x − 2 )R( x ) , on obtient
B = −5 . D’où
5
5
x3 − 2 x 2 − x − 3
.
= x +1+
−
F ( x) =
2
x −1 x − 2
x − 3x + 2
Isabelle HENROT
9
Mai 2003
ALGE01E05A
Le degré du numérateur étant inférieur au degré du dénominateur, on sait que la
décomposition sera de la forme
A
B
C
D
F ( x) =
+
+
+
3
2
x + 1 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2)
Pour trouver A, on multiplie par ( x + 1) et on fait x = −1 : on a A =
27
( −3)
3
= −1 .
Pour déterminer les autres coefficients, on pose h = x − 2 ⇔ x = 2 + h et on divise le
numérateur 27 par x + 1 = 3 + h à l’ordre 2 :
3+h
27
-27-9h
9-3h+h²
-9h
9h+3h²
3h²
27
9 − 3h + h 2 + ... 9 3 1
=
= 3 − 2 + + ...
On en déduit F ( x ) = 3
h (3 + h )
h3
h h h
−1
9
−3
1
+
+
+
Et en remplaçant par la variable x : F ( x ) =
3
2
x + 1 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2)
Isabelle HENROT
10
Mai 2003
ALGE01E05B
Comme la partie entière est nulle, la décomposition sera de la forme
A
B
C
D
4
4
F ( x) =
=
=
+
+
+
2
2
2
2
2
( x2 − 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) x − 1 ( x + 1) x + 1
On peut comme pour l’exercice précédent effectuer le changement de variable
h = x − 1 et une division suivant les puissances croissantes pour trouver A et B, et le
changement de variable h = x + 1 et une division suivant les puissances croissantes
pour trouver C et D.
Je vous propose ici une méthode plus astucieuse adaptée à la fonction qui possède la
propriété d’être paire.
∀x, F ( x ) = F ( − x )
Comme la décomposition est unique, les coefficients de la décomposition de F ( x )
doivent correspondre à ceux de la décomposition de F ( − x ) :
A
( x − 1)
2
+
B
C
D
A
B
C
D
+
+
=
+
+
+
2
2
2
x − 1 ( x + 1)
x + 1 ( − x − 1) − x − 1 ( − x + 1) − x + 1
et on en déduit que A = C , B = − D ce qui permet de n’avoir que deux coefficients à
chercher.
2
Pour obtenir A on multiplie par ( x − 1) et on fait x = 1 : A = 1 ⇒ C = 1 .
Pour obtenir B et D on fait x = 0 dans l’égalité :
4 = 1 + B + 1 − D ⇔ 4 = 2 + 2 B ⇔ B = 1, D = −1
4
1
1
1
1
=
+
+
+
Finalement F ( x ) =
2
2
2
2
( x − 1) ( x − 1) x − 1 ( x + 1) x + 1
Isabelle HENROT
11
Mai 2003
ALGE01E06A
La partie entière est nulle, et la décomposition se fera en éléments simples de
seconde espèce.
On fait la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
x5
x2 + x + 1
− x5 − x 4 − x3
x3 − x 2 + 1
x2 + x + 1
− x 4 − x3
x 4 + x3 + x 2
− x3 − x 2 − x
x−2
−2 x 2 − x + 1
2 x2 + 2 x + 2
x2
− x2 − x −1
x+3
−x −1
x5 = ( x 2 + x + 1) ( x 2 + x + 1) ( x − 2 ) + ( x + 3)  + ( − x − 1)
F ( x) =
(x
x5
2
+ x + 1)
3
=
(x
−x −1
2
+ x + 1)
3
+
(x
x+3
2
+ x + 1)
2
+
x−2
( x + x + 1)
2
Isabelle HENROT
12
Mai 2003
ALGE01E06B
Factorisons le dénominateur :
x2 + 1
( x − 1)
4
(x
3
+ 1)
=
x2 + 1
( x − 1) ( x + 1) ( x 2 − x + 1)
4
La décomposition comporte donc deux éléments de première espèce dus au pôle
simple –1, au pôle quadruple 1 et un élément de seconde espèce de dénominateur
x2 − x + 1 .
Déterminons la partie principale relative au pôle –1 : on multiplie par ( x + 1) et on
fait x = −1 : on obtient A =
1
8
Déterminons la partie principale relative au pôle 1 en posant h = x − 1 ⇔ x = 1 + h et
en effectuant la division suivant les puissances croissantes de x 2 + 1 = 2 + 2h + h 2 par
x3 + 1 = 2 + 3h + 3h 2 + h3 .
2 + 2h + h 2
2 + 3h + 3h 2 + h3
−2 − 3h − 3h − h
2
3
h h 2 5h 3
1− − +
2 4
8
− h − 2h 2 − h 3
3h 2 3h3 h 4
h+
+
+
2
2
2
h 2 h3 h 4
+ +
2 2 2
h 2 3h3 3h 4 h5
+
+
+
2
4
4
4
−
5h3 5h 4 h5
+
+
4
4
4
La partie principale relative au pôle simple 1 est donc
1  h h 2 5h 3  1
1
1
5
1
1
1
5
1− − +
=
−
−
+
= 4 − 3 − 2 +
4
3
2
4 
h  2 4
8  h 2h 4h 8h ( x − 1) 2 ( x − 1) 4 ( x − 1) 8 ( x − 1)
Déterminons l’élément de seconde espèce de la décomposition : ici les racines du
trinôme x 2 − x + 1 sont simples, c’est − j et − j 2 , donc on va choisir de décomposer
dans C et de rassembler les conjugués pour obtenir la décomposition dans R.
La décomposition relative à − j et − j 2 est de la forme
α
x+ j
+
β
x + j2
.
Isabelle HENROT
13
Pour
α
calculer
on
multiplie
(− j ) +1
α=
=
4
( − j − 1) ( − j + 1) ( − j + j 2 )
2
Mai 2003
x+ j
par
et
on
fait
x=−j :
(1 − j )
(1 − j ) × j
=
j ×9
(1 − j ) (1 − j )
2 2
−j
j 8 × ( − j )(1 − j )
2
=
j8
2
2 2
2 2
9
2
 1
3  3
3  1
3   3 3i 3 
Or j = 1 et j (1 − j ) =  − + i
  + i
 =  − + i
 +
 = −3
2  2
2   2
2   2
2 
 2
D’autre part β = α = −3
2 2
9
Donc
α
x+ j
+
1 1
1 
1  2x + j + j2 
1  2x −1 

=−  2
=
−
+
=
−


2
2 
2
x+ j
3 x+ j x + j 
3  ( x + j)( x + j ) 
3  x + x +1 


β
x2 + 1
( x − 1 )4 ( x3 + 1 )
1
1
1
5
1
−2 x + 1
=
−
−
+
+
+
4
3
2 8 x −1
( ) 24 ( x + 1) 3 x 2 − x + 1
( x − 1) 2 ( x − 1) 4 ( x − 1)
(
)
Isabelle HENROT
14
Aides
ALGE01E01A
Posez la division comme un division dans l’ensemble des nombres …
Ecrivez les polynômes dans l’ordre décroissant des puissances.
Isabelle HENROT
Mai 2003
Aides
ALGE01E01B
Commencez par écrire
P ( x ) = Q1 ( x )( x − 1) − 4
P ( x ) = Q2 ( x )( x − 2 ) + 3
P ( x ) = Q ( x )( x − 1)( x − 2 ) + R ( x )
avec R ( x ) = ax + b puisque d o R ≤ 1 .
Et remplacez x par 1 puis 2 .
Isabelle HENROT
Mai 2003
Aides
ALGE01E01C
A = ( x − 2 ) + ( x − 1) + 1
2n
n
B = ( x − 1) ( x − 2 )
Si n = 0 ou si n = 1 le polynôme est de degré 2 et le reste est A.
Sinon, on écrit A = BQ + R, d 0 R ≤ 2 .
2
Il faut donc trouver 3 réels a,b,c tels que R = ax 2 + bx + c .
Remplacez x par 1 puis 2.
Isabelle HENROT
Mai 2003
Aides
Mai 2003
ALGE01E02A
P (1) = 0 ,P ( 2 ) = 0 donc on peut diviser P par le produit ( x − 1)( x − 2 ) = x 2 − 3 x + 2 .
Isabelle HENROT
Aides
Mai 2003
ALGE01E02B
P′ ( x ) = 4 x3 + 4 x − 8 a une racine évidente 1 qui est aussi racine de P donc au moins
racine double.
On effectue la division euclidienne de P par ( x − 1) .
2
Isabelle HENROT
Aides
Mai 2003
ALGE01E02C
On vérifie d’abord que P (1) = 0 , puis on calcule les dérivées successives de P en
regardant celles qui s’annulent pour x = 1 . Dès qu’une dérivée ne s’annule pas en 1
on s’arrête !
Isabelle HENROT
Aides
Mai 2003
ALGE01E03A
Contrairement à la division euclidienne, il faut écrire les polynômes dans l’ordre
croissant des monômes donc commencer par les termes constants quand il y en a
(c’est le cas ici).
Isabelle HENROT
Aides
Mai 2003
ALGE01E03B
Il faut commencer par développer B ( x ) = ( x − 2 ) = x 2 − 4 x + 4 = 4 − 4 x + x 2 .
2
Isabelle HENROT
Aides
Mai 2003
ALGE01E04A
On détermine la partie entière E ( x ) , puisque le degré du numérateur est supérieur à
celui du dénominateur. On effectue la division euclidienne du numérateur
x3 − 2 x 2 − x − 3 par le dénominateur x 2 − 3x + 2 .
Ensuite on détermine les parties principales relatives aux deux pôles 1 et 2 qui sont
A
B
: pour A on multiplie par ( x − 1) et on fait x = 1 , pour B on
+
de la forme
x −1 x − 2
multiplie par ( x − 2 ) et on fait x = 2 .
Isabelle HENROT
Aides
Mai 2003
ALGE01E05A
Le degré du numérateur étant inférieur au degré du dénominateur, on sait que la
décomposition sera de la forme
A
B
C
D
F ( x) =
+
+
+
3
2
x + 1 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2)
Pour trouver A, on multiplie par ( x + 1) et on fait x = −1 .
Pour déterminer les autres coefficients, on pose h = x − 2 ⇔ x = 2 + h et on divise le
numérateur 27 par x + 1 = 3 + h à l’ordre 2 .
Isabelle HENROT
Aides
Mai 2003
ALGE01E05B
Comme la partie entière est nulle, la décomposition sera de la forme
A
B
C
D
4
4
F ( x) =
=
=
+
+
+
2
2
2
2
2
2
( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) x − 1 ( x + 1) x + 1
On peut comme pour l’exercice précédent effectuer le changement de variable
h = x − 1 et une division suivant les puissances croissantes pour trouver A et B, et le
changement de variable h = x + 1 et une division suivant les puissances croissantes
pour trouver C et D : une autre méthode est proposée à titre d’exemple dans la
solution.
Isabelle HENROT
Aides
Mai 2003
ALGE01E06A
La partie entière est nulle, et la décomposition se fera en éléments simples de
seconde espèce.
On fait la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Isabelle HENROT
Aides
Mai 2003
ALGE01E06B
Factorisons le dénominateur :
x2 + 1
( x − 1)
4
(x
3
+ 1)
=
x2 + 1
( x − 1) ( x + 1) ( x 2 − x + 1)
4
La décomposition comporte donc deux éléments de première espèce dus au pôle
simple –1, au pôle quadruple 1 et un élément de seconde espèce de dénominateur
x2 − x + 1 .
Ensuite on utilise des techniques adaptées à la nature des éléments de décomposition
(première ou seconde espèce) et au fait que les pôles sont simples ou multiples.
Cet exercice récapitule les exercices précédents !
Isabelle HENROT

POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLES

Transcription

Documents pareils

Exercices sur les polynômes.

Polynômes - Ceremade - Université Paris

Devoir libre 7bis

(les fractions \351valuation CM2.xls)

CHAPITRE 2 POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES 2

Thème 9: Division de polynômes et fractions rationnelles

Fiche de révision : les fractions.

POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES

POLYNOMES.

CCP 2004 - COMPOSITION de MATHÉMATIQUES II