Thème 9: Division de polynômes et fractions rationnelles

DIVISION DE POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
15
Thème 9: Division de polynômes et fractions rationnelles
9.1
Valeur numérique d’un polynôme
Définition : On appelle valeur numérique d’un polynôme p(x) la valeur
que l’on obtient en remplaçant x par un nombre dans ce
polynôme.
Par exemple, si p(x) = x2, alors p(-3) = 9
Modèle 1 : Soit le polynôme p(x) = −2x 2 + 7x − 5. Calculer p(1) et p(-2).
valeur numérique d’un
polynôme:
Définition : On appelle zéro d’un polynôme p(x) toute valeur a pour
laquelle la valeur numérique du polynôme est nulle, c’est-à-dire
p(a) = 0.
Exercice 9.1:
a) Soit le polynôme p(x) = 2x 2 + 3x − 5. Calculer p(-1) et p(2).
b) Soit le polynôme p(x) = 3x 3 − 4 x 2 − 3x + 4 .
Calculer p(-1), p(1) et p(2).
c) Soit le polynôme p(x) = −2x 2 − 3x + 1.
Calculer p(0), p(1/2) et p(-1/3).
Exercice 9.2:
a) Soit le polynôme p(x) = 2x 3 + 7x 2 − 7x − 30 .
Montrer que x = 2, x = -5/2 et x = -3 sont des zéros de p(x).
b) Soit le polynôme p(x) = 2x 3 − 5x 2 − 2x + 5.
Montrer que x = 1, x = -1 et x = 5/2 sont des zéros de p(x).
9.2
Divisions de polynômes
Démarche 1 : Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise chacun des termes du
polynôme par le monôme et on fait la somme algébrique des quotients
partiels ainsi obtenus.
Modèle 2 : Effectuer la division de p(x) = 4 x 4 + 9x 3 + 6x 2 par d(x) = 2x 2 .
2C – JtJ 2015
16
THÈME 9
Exercice 9.3:
Effectuer les divisions de p(x) par d(x) dans les cas suivants :
a) p(x) = 12x4 – 9x3 + 36x2
d(x) = 3x2
b) p(x) = 25x5 + 12x4 – x2
d(x) = 5x
c) p(x) = 4x5 – 7x4 + x3 – 2x2
d(x) = 2x3
Démarche 2 : Pour diviser un polynôme par un diviseur qui est également un polynôme, on
les ordonne par rapport à la même lettre, on divise alors le premier terme du
polynôme par le premier terme du diviseur pour obtenir le premier terme du
quotient. On multiplie alors tout le diviseur par ce premier terme du quotient
et on soustrait du polynôme le produit obtenu. On recommence ainsi le
procédé jusqu’à ce que l’on ne puisse plus trouver de quotient partiel (sous
la forme d’un monôme).
Modèle 3 : Effectuer la division de :
p(x) = 3x 3 − 11x 2 + 19x − 12 par d(x) = x − 3
Exercice 9.4:
a) Trouver le quotient et le reste de la division des polynômes
p(x) = 2x 3 + 4 x − 8 par s(x) = x 2 − 6x + 8 .
b) Trouver le quotient et le reste de la division des polynômes
p(x) = 6x 4 + 4 x 3 − 8x 2 + 2x − 5 par d(x) = 2x 2 + 4 x − 3 .
Exercice 9.5:
Déterminer le polynôme p(x) tel que le quotient de sa division
par 2x2 + 1 soit 5x2 – 3x + 1 et le reste de 1 – x
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DIVISION DE POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
Modèle 4 : Effectuer la division de :
p(x) = 6x 4 − 4 x 3 + 24 x − 8 par d(x) = 2x 2 + 8
égalité fondamentale:
Puis en déduire l’égalité fondamentale
Exercice 9.6:
Effectuer les divisions ci-dessous puis écrire les égalités
fondamentales :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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(5x 4 + 2x 3 − 3x 2 + 4 x − 6) ÷ ( x 2 − 3x − 2)
(4 x 4 − 6x 3 + 2x 2 − 4 x + 7) ÷ (2x 2 + 3x − 2)
(6x 5 − 4 x 4 − 13x 3 + 34 x 2 − 21x + 8) ÷ (2x 3 − 5x + 8)
( x 4 + 4 x 2 − 12) ÷ ( x 2 − 3)
(2x 4 + 4 x 3 − 10x 2 − 16x + 8) ÷ (2x − 4)
( x 3 + 27) ÷ ( x + 3)
17
18
9.3
THÈME 9
Cas particulier de la division par (x – a) où a est un nombre
Division par (x – a)
Lorsque l’on divise un polynôme p(x) par un polynôme de la
forme d(x) = x – a, l’égalité fondamentale s’écrit
p(x) = q(x) ⋅ (x − a) + r(x) où r(x) est un nombre que l'on note r
"Truc" du reste :
• Le reste de la division du polynôme p(x) par (x – a) s'obtient en
remplaçant x par a dans le polynôme p(x)
r = p(a)
Modèle 5 : Sans effectuer la division, déterminer le reste de la division de
p(x) = x3 – x2 – 4 par d(x) = x – 2
truc du reste:
Modèle 6 : Sans effectuer la division, déterminer le reste de la division de
p(x) = x3 – x – 3 par d(x) = x + 1
truc du reste:
Exercice 9.7:
Pour chacune des 2 divisions suivantes :
a) p(x) = 4 x 3 − 10x 2 + 11x − 5 par d(x) = x − 1
b) p(x) = 9x 4 + x 3 − x 2 + x + 2 par d(x) = x + 2
1) Calculer le reste de la division à l’aide du truc du reste
2) Effectuer concrètement la division et comparer les restes
obtenus
3) Écrire l’égalité fondamentale
4) Le truc du reste est-il vraiment si mystérieux ?
Définition : Le polynôme p(x) est divisible par un polynôme q(x) si le reste de
la division vaut zéro.
Ainsi : Le polynôme p(x) est divisible par (x – a) lorsque :
r = p(a) = 0
3
Modèle 7 : Le polynôme p(x) = x – 8 est-il divisible par d(x) = x – 2 ?
divisibilité:
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DIVISION DE POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
Exercice 9.8:
9.4
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Sans effectuer la division, examiner si p(x) est divisible par d(x):
a) p(x) = 5x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 4 x − 4
d(x) = x + 2
b) p(x) = 2x 4 − 5x 3 + 6x 2 − 7x + 4
d(x) = x − 2
c) p(x) = 4 x 3 − x 2 − 2x + 1
d(x) = x + 1/2
d) p(x) = 2x 4 + 4 x 3 − 10x 2 − 16x + 8
d(x) = x − 2
La division de polynômes pour résoudre des équations de degré > 2
4
3
2
Modèle 8 : Résoudre l’équation 2x + 2x – 68x – 8x + 240 = 0 sachant
qu’elle admet déjà les solutions x = 2 et x = 5
équations de degré > 2:
Exercice 9.9:
a) Résoudre l’équation 2x4 – 3x3 – 35x2 – 9x + 45 = 0 sachant
qu’elle admet les solutions x = 5 et x = -3
b) Résoudre l’équation x3 – 3x2 + 2 = 0 sachant qu’elle admet la
solution x = 1
c) Factoriser le polynôme p(x) = x4 + x3 – 7x2 – x + 6, sachant
que p(1) = 0 et p(-1) = 0
d) Factoriser le polynôme p(x) = x4 + 3x3 – 3x2 – 11x – 6, sachant
que p(2) = 0 et p(-3) = 0
2C – JtJ 2015
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THÈME 9
Modèle 9 : Résoudre l’équation x3 – 2x2 – 13x – 10 = 0
équations de degré > 2:
Exercice 9.10:
Résoudre les équations suivantes :
a) x3 – x2 – 14x + 24 = 0
c) x3 + 3x2 = 4
9.5
b) x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
d) x3 – x2 = -2x + 24
Fractions rationnelles et ensemble de définition
Définition : • On appelle fraction rationnelle (en x) une fraction dont le
dénominateur et le numérateur sont des polynômes (en x).
La fraction
2x − 5
est un exemple de fraction rationnelle en x.
4x + 2
• Si l’on attribue la valeur 4 à la variable x, on obtient la valeur
numérique de la fraction en x = 4 :
3 1
2⋅ 4 − 5 8 − 5
=
=
=
4 ⋅ 4 + 2 16 + 2 18 6
Modèle 10 : Calculer la valeur numérique de la fraction
3x − 6
lorsque x
x 2 − 25
prend la valeur -4.
valeur numérique :
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Modèle 11 : Calculer la valeur numérique de la fraction
21
3x − 6
lorsque x
x 2 − 25
prend la valeur 5.
valeur numérique :
Dans le cas de polynômes, il est possible d’attribuer à la variable n’importe
quelle valeur. Pour les fractions rationnelles, il n’en va pas de même. On
rappelle qu’il n’est pas possible de diviser par zéro, ce qui fait que la valeur
numérique de la fraction ci-dessus ne peut pas se calculer pour les deux
valeurs :
• x =5 :
3x − 6 3⋅ 5 − 6 9
=
= (impossible)
x 2 − 25 5 2 − 25 0
• x = −5 :
3x − 6 3⋅ (−5) − 6 −21
=
=
(impossible)
0
x 2 − 25 (−5) 2 − 25
Les valeurs de x pour lesquelles une fraction est impossible à calculer sont
les solutions de l’équation obtenue en égalant son dénominateur à zéro.
Ces 2 valeurs sont appelées valeurs interdites.
Dans le modèle ci-dessus, 5 et –5 sont les valeurs interdites de la fraction.
Définition : L’ensemble de tous les nombres pour lesquels on peut calculer
la valeur numérique d’une fraction rationnelle en x s’appelle
l’ensemble de définition de la fraction. On le note ED.
Pour le modèle précédent, E D = IR − {−5 ; 5} .
Exercice 9.11:
a) Calculer la valeur numérique de la fraction
2x − 5
lorsque x
4x + 2
prend la valeur 3.
b) Calculer la valeur numérique de la fraction
x2 − 5
lorsque x
2 − 3x
prend la valeur –3.
c) Montrer que les nombres 3 et 4 font partie de l’ensemble de
x−4
définition de la fraction 3
.
x + 3x 2 − 4 x − 12
d) Montrer que les nombres 1, 2 et –3 ne font pas partie de
−4 x 2 + 2x + 1
l’ensemble de définition de la fraction
.
x 3 − 7x + 6
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THÈME 9
2
2x − 8 x + 7
.
Modèle 12 : Trouver ED de la fraction 2
x −4x +3
ensemble de définition :
Exercice 9.12:
Trouver l’ensemble de définition ED des fractions suivantes :
3x − 2
a)
x−3
x2 + 4x − 2
d) 2
x + 2x − 8
x 2 − 2x + 11
g)
3x 2 + 13x − 10
9.6
2x + 7
b)
x +2
6
e) 2
x + 7x + 10
2x + 17
h)
2
2x + 13x − 7
3x 2 + 5
c) 2
x + 2x + 1
x 2 − 7x + 8
f)
4
Simplification de fractions
• Il est possible d’écrire une fraction (de nombre) sous forme simplifiée en
cherchant le plus grand diviseur commun au numérateur et au
dénominateur, puis en divisant le numérateur et le dénominateur par ce
nombre.
• Pour les fractions rationnelles, il en va de même. On factorise le
numérateur et le dénominateur, puis on peut simplifier le(s) facteur(s)
commun(s).
On gardera toujours en mémoire la règle suivante :
Lorsqu’on simplifie une fraction rationnelle, on
divise tout le numérateur et tout le dénominateur par
une même expression qui a été mise en évidence à
l’aide d’une factorisation.
Modèle 13 : Préciser ED puis simplifier la fraction
x2 − x − 6
x2 − 4
simplification :
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Modèle 14 : Préciser ED puis simplifier la fraction
23
3− 3x
x2 −1
simplification :
Exercice 9.13:
Préciser ED puis simplifier la fraction
a)
x2 − 4
x +2
b)
x 2 − 6x + 9
x−3
2x 2 + 3x − 9
x 2 + 5x + 4
d)
e)
x2 + x − 6
3x 2 + 10x − 8
g)
x2 + 3
x2
x 3 + 5x 2 + 6x
j) 3
x + 2x 2 − 3x
9.7
h)
x 2 + 2x − 8
x 2 + 2x
(x + 3)(2x 2 + 7x − 4)
k)
(x + 4)(6x 2 + 7x − 5)
c)
x+3
2x + x − 15
2
3x 2 + 10x + 3
f)
6x 2 − 13x − 5
i)
x2 − 4
x 2 + 2x
l)
x3 − 8
x 3 + 2x 2 − 5x − 6
Multiplication et division de fractions
• Pour multiplier deux fractions rationnelles, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅ d
• Pour diviser une fraction rationnelle par une autre, on multiplie
la première par l’inverse de la deuxième.
a c a d a⋅ d
÷ = ⋅ =
b d b c b⋅c
• Ne pas oublier de simplifier au maximum l'expression finale
afin d'en obtenir le code irréductible.
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THÈME 9
Modèle 15 : Effectuer les 2 calculs suivants :
x 2 −1
x −5
a) 2
=
⋅
x − 4x − 5 x − 2
b)
Exercice 9.14:
x +1
x+3
=
÷ 2
x − x−6 x −4
2
Calculer et donner la réponse sous la forme simplifiée:
x+3
x +2
⋅ 2
a) 2
x + 3x + 2 x + 7x + 12
9.8
x + 3 x 2 − 3x − 10
⋅
b)
x − 5 x2 + 4x + 3
c)
x 2 − x x 2 + 3x + 2
⋅
x2 −1
x2 − 4
d)
2x 2 − 7x − 15
x2
⋅
3x 2 − 15x
2x 2 + 3x
e)
x +1
x 2 + 2x + 1
÷
x 2 + 3x
x2 + 4x + 3
f)
x +2
3x 2 + 4 x − 4
÷
2x − 1
2x 2 + 5x − 3
Addition et soustraction de fractions
• Pour additionner ou soustraire des fractions, on doit trouver,
après factorisation, le dénominateur commun. On met alors ces
fractions au même dénominateur (on amplifie ces fractions),
puis on additionne ou soustrait les numérateurs (et on conserve
bien sûr le dénominateur commun). On s'assurera encore que la
réponse est bien en code irréductible.
• Règle pour les fractions qui ont le même dénominateur :
a b a+b
+ =
d
d d
a b a−b
− =
d
d d
• Règle pour les fractions dont les dénominateurs sont sans
facteur commun :
a b a⋅ d + b⋅c
+ =
c⋅d
c d
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DIVISION DE POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
Modèle 16 : Effectuer les additions suivantes :
a)
x + 1 3x − 5
=
+
x +2 x +2
b)
2x + 6 x + 3
=
+
x +2 x−5
additions :
Modèle 17 : Effectuer la soustraction suivante :
x−3 x+3
−
x+3 x−3
soustraction :
Exercice 9.15:
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Calculer et donner la réponse sous la forme simplifiée:
a)
−5
2x
+
x +1 x +1
b)
x
3
+
2x +1 x − 3
c)
−3x
x
+
x +1 x − 2
d)
4
3
−
x − 2 2x + 5
e)
x −1 x +1
−
x +1 x −1
f) 5x −
3x + 2
x +1
25
26
THÈME 9
Modèle 18 : Effectuer l’addition suivante :
x +1
x
+ 2
x − x−6 x −4
2
addition :
Exercice 9.16:
Calculer et donner la réponse sous la forme simplifiée:
a)
3
5x +1
+
x −1 2(x −1)
b)
2
5x
+
x −4 x−2
c)
4
3x
−
2
x −1 x +1
d)
2
3x −1
–
x − 2x − 8 x + 2
2
5
− 2
e) 2
x + 2x +1 x − 4x + 4
g)
9.9
2
2
x
2x 2
x
−
+
f)
x −1 x +1 x 2 −1
1
1
1
+
+
x −1 (x −1)(x − 2) (x − 2)(x − 3)
Un petit mélange de tout !!!
Exercice 9.17:
Calculer et donner la réponse sous la forme simplifiée:
8
3
2x
− 2
+
a)
x + 2 x + 2x x
x2 − 4
x +2
÷
b)
2x − 3 2x 2 − 3x
−x
1
2x + 5
− 2
+
c) 2
x + 6x + 9 x − 9 x − 3
2x 2 + 9x − 5
d)
3x 2 + 17x + 10
x 2 − 6x + 9 2x − 2
⋅
e)
x−3
x2 −1
f) 3 +
2
3x
−
x x +5
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