Session 2010 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES

Session 2010
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures - Coefficient : 7 ou 9
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies.
1
Baccalauréat blanc Terminales S
Mathématiques
Exercice 1 sur 4 points
Cet exercice est commun à tous les candidats
PARTIE A
Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par f (x) = ex .
→
− →
−
On appelle Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal O , i , j .
1° Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe Cf au point M d’abscisse a coupe l’axe
des abscisses au point P d’ abscisse a − 1.
−−→
→
−
2° Soit N le projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses. Démontrer que N P = − i
PARTIE B
Soit g une fonction dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle que g 0 (x) 6= 0 pour tout nombre
réel x.
→
− →
−
On appelle Cg la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal O , i , j .
Soit a un nombre réel. On considère le point M de la courbe Cg d’abscisse a et le point N projeté orthogonal
du point M sur l’axe des abscisses.
Soit P le point d’intersection de la tangente Ta à la courbe Cg au point M avec l’axe des abscisses.
Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.
y
Cg
~
M
O
~ı
N
P
x
g(a) 1° Démontrer que le point P a pour coordonnées a − 0
,0 .
g (a)
2° Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
−−→ →
−
Existe-t-il une fonction g vérifiant g(0) = 2 et N P = i ?
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Baccalauréat blanc Terminales S
Mathématiques
Exercice 2 sur 5 points
Cet exercice est commun à tous les candidats
Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct (O ; ~u , ~v ), unité graphique : 2 cm.
On appelle (Γ) le cercle de centre O et de rayon 1.
On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.
On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différent de O, d’affixe
z, associe le point M 0 = F (M ) d’affixe z 0 définie par :
1
z0 = z + i − .
z
π
1° On considère les points A et B d’affixes respectives a = i et b = ei 6 et leurs images A0 et B0 par F
d’affixes respectives a0 et b0 .
a) Calculer a0 et b0 .
b) Placer les points A, A0 , B et B0 .
√
−b
3
c) Démontrer que 0
=
i.
b −b
3
d) En déduire la nature du triangle OBB0 .
2° On recherche l’ensemble (E) des points du plan P privé du point O qui ont pour image par F, le point
O.
a) Démontrer que, pour tout nombre complexe z,
√
√
3 1 3 1
2
+ i z−
+ i .
z + iz − 1 = z +
2
2
2
2
b) En déduire les affixes des points de l’ensemble (E).
c) Démontrer que les points de (E) appartiennent à (Γ).
3° Soit θ un réel.
a) Démontrer que si z = eiθ alors z 0 = i (2 sin θ + 1).
b) En déduire que si M appartient au cercle (Γ) alors M 0 appartient au segment [A0 C] où C a pour
affixe −i.
Exercice 3 sur 6 points
Cet exercice est commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 , + ∞[ par
f (x) = ln x2 + 4 .
PARTIE A
1° Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 , + ∞[.
2° Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 , + ∞[ par g(x) = f (x) − x.
a) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [0 , + ∞[ .
b) Montrer que sur l’intervalle [2 , 3] l’équation g(x) = 0 admet une unique solution que l’on notera α.
Donner la valeur arrondie de α à 10−1 .
c) Justifier que le nombre réel α est l’unique solution de l’équation f (x) = x.
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Mathématiques
PARTIE B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n par : un+l = f (un ).
La courbe C représentative de la fonction f et la droite ∆ d’équation y = x sont tracées sur le graphique
donné en annexe (à rendre avec la copie).
1° À partir de u0 , en utilisant la courbe C et la droite ∆, on a placé u1 sur l’axe des abscisses. De la
même manière, placer les termes u2 et u3 sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de
construction.
2° Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse α.
3° a) Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a 1 6 un 6 α.
b) Démontrer que la suite (un ) converge.
c) Déterminer sa limite.
Exercice 4 sur 5 points
Cet exercice est pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1° Restitution organisée des connaissances
Pré-requis :
– la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 , + ∞[ et sa fonction dérivée est la fonction
1
.
inverse x 7→
x
– ln(1) = 0
En utilisant la fonction auxiliaire ϕ définie sur ]0 , + ∞[ par ϕ(x) = ln(ax) − ln(x), démontrer que pour
tous réels strictement positifs a et x,
ln(ax) = ln(a) + ln(x).
2° Utiliser le résultat précédent pour démontrer que
1
a
ln
= − ln(b) et que ln
= ln(a) − ln(b)
b
b
pour tous réels strictement positifs a et b.
3° On donne 0,69 6 ln 2 6 0,70 et 1,09 6ln 3 6 1,10.
3
1
, et ln
.
En déduire des encadrements de ln 6, ln
6
8
4° Cinq affirmations, réparties en deux thèmes et numérotées de 1.a à 2.b sont proposées ci-dessous. Le
candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’affirmation, et avec le plus grand soin, la
mention VRAI ou FAUX.
Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas
tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.
a) Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle.
Affirmation 1. a
Affirmation 1. b
Affirmation 1. c
b
Pour tous les réels a et b : (ea )b = e(a ) .
ea
Pour tous les réels a et b : ea−b = b .
e
La droite d’équation y = x + 1 est la tangente à la courbe représentative de
la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1.
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Mathématiques
b) Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.
Affirmation 2. a
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Affirmation 2. b
Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.
Exercice 4 sur 5 points
Cet exercice est pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Les questions 1° et 2° sont indépendantes.
Soit n un entier naturel non nul.
1° On considère l’équation notée (E) :
3x + 7y = 102n où x et y sont des entiers relatifs.
a) Déterminer un couple (u , v) d’entiers relatifs tels que 3u + 7v = 1.
En déduire une solution particulière (x0 , y0 ) de l’équation (E).
b) Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x , y) solutions de (E).
2° On considère l’équation notée (G)
3x2 + 7y 2 = 102n où x et y sont des entiers relatifs.
a) Montrer que 100 ≡ 2 mod 7.
Démontrer que si (x , y) est solution de (G) alors 3x2 ≡ 2n mod 7.
b) Reproduire et compléter le tableau suivant :
Reste de la division euclidienne
de x par 7
0
1
2
3
4
5
6
Reste de la division euclidienne
de 3x2 par 7.
c) Démontrer que 2n est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.
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Annexe
Figure de l’exercice 3
y
∆
C
~
O
~ı
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u0
u1
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x
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