Devoir commun Mathématiques Lycée Gustave Flaubert

Devoir commun
Mathématiques
Durée : 4 heures
T ERMINALES S
Lycée Gustave Flaubert
La Marsa
mercredi 26 mai 2010
Note importante
– La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
– L’usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire
n◦ 99-186 du 16 novembre 1999.
1
L. G. Flaubert
Terminales S
E XERCICE 1
4 points
Commun à tous les candidats
Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.
La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.
La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.
Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.
La règle du jeu est la suivante :
• Le joueur mise 1 € et lance la roue A.
• S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et
la partie s’arrête.
• S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et
la partie s’arrête.
1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Soient E et F les évènements :
E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »
F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».
Montrer que p(E) = 0, 02 et p(F) = 0, 17.
3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 € ; si une seule des cases est rouge
le joueur reçoit 2 € ; sinon il ne reçoit rien.
X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le
joueur mise 1 €).
a. Déterminer la loi de probabilité de X .
b. Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation.
4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier
naturel supérieur ou égal à 2)
a. Démontrer que la probabilité p n qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que
p n = 1 − (0, 9)n .
b. Justifier que la suite de terme général p n est convergente et préciser sa limite.
c. Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle p n > 0, 9 ?
E XERCICE 2
3 points
Commun à tous les candidats
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ; +∞[
vérifiant l’équation différentielle
(E ) :
1.
x f ′ (x) − (2x + 1) f (x) = 8x 2 .
a. Démontrer que si f est solution de (E ) alors la fonction g définie sur l’intervalle
f (x)
]0 ; +∞[ par g (x) =
est solution de l’équation différentielle (E ′ ) : y ′ = 2y + 8.
x
b. Démontrer que si h est solution de (E ′ ) alors la fonction f définie par f (x) = xh(x)
est solution de (E ).
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Terminales S
2. Résoudre (E ′ ) et en déduire toutes les solutions de (E ),
3. Existe-t-il une fonction f solution de l’équation différentielle (E ) dont la représentation
graphique dans un repère donné passe par le point A(ln 2 ; 0) ? Si oui la préciser.
E XERCICE 3
Commun à tous les candidats
4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans
justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est
exacte, zéro sinon.
³³−−→ −−→´ π ´
Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct AB , AD = . On note I son centre et J le
2
milieu de [AI].
1. C est le barycentre des points pondérés (A, m), (B, 1) et (D, 1) lorsque :
a. m = −2
b. m = 2
c. m = −1
d. m = 3
π
2.
a. B est l’image de C par la rotation de centre I et d’angle .
2
2
b. Le rapport de l’homothétie de centre C qui transforme I en J est .
3
c. Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.
1 −−→ 1 −−→
d. J est l’image de I par la translation de vecteur BA + DB .
2
4
−−→ −−→
3. L’ensemble des points M du plan tels que kM A + M C k = AB est :
a. la médiatrice de [AC].
b. le cercle circonscrit au carré ABCD.
c. la médiatrice de [AI].
d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.
4. L’ensemble des points M du plan tels que :
³ −−→ −−→ −−−→´ ³−−→ −−→´
2M A + M B + M D · M A − M C = 0
est :
a. la médiatrice de [AC].
b. le cercle circonscrit au carré ABCD.
c. la médiatrice de [AI].
d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.
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E XERCICE 4
4 points
Commun à tous les candidats
On considère la suite numérique (J n ) définie, pour tout entier naturel n non nul, par
Zn
p
Jn =
e−t 1 + t dt .
1
1. Démontrer que la suite (J n ) est croissante.
2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche
même si elle n’aboutit pas.
On définit la suite (I n ), pour tout entier naturel n non nul, par :
Zn
In =
(t + 1)e−t dt .
1
a. Justifier que, pour tout t > 1, on a
p
b. En déduire que J n 6 I n .
t + 1 6 t + 1.
c. Calculer I n en fonction de n. En déduire que la suite (J n ) est majorée par un nombre
réel (indépendant de n).
d. Que peut-on en conclure pour la suite (J n ) ?
E XERCICE 5
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
5 points
³ →
− →
−´
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct O, u , v .
On réalisera une figure en prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe.
On considère les points A, B et I d’affixes respectives z A = 1, z B = 5 et z I = 3 + i.
On note (C ) le cercle de centre O et de rayon 1, (∆) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au
cercle (C ) en A.
À tout point M d’affixe z, différent de A, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :
z′ =
z −5
.
z −1
Le point M ′ est appelé l’image de M .
Partie A
1. Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point I′ image de I.
Vérifier que I′ appartient à (C ).
2.
a. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : OM ′ =
MB
.
MA
b. Justifier
pour tout point M distinct de A et B, on a :
³−−→ −−−que
→′ ´ ³−−→ −−→´
OA , OM = M A , M B .
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Terminales S
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Dans la suite de l’exercice, M désigne un point quelconque de (∆). On cherche à construire
géométriquement son image M ′ .
1. Démontrer que M ′ appartient à (C ).
2. On note (d ) la droite symétrique de la droite (AM ) par rapport à la tangente (T). (d ) recoupe (C ) en N .
a. Justifier que les triangles
AM B et ´AON
sont isocèles.
³−−
³−−
→ −−→´
→ −−→
Après avoir justifié que AO , AN = AM , AB démontrer que
³−−→ −−→´ ³−−→ −−→´
OA , ON = M A , M B .
b. En déduire une construction de M ′ .
E XERCICE 5
à rédiger sur une copie séparée
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ³
→
− →
−´
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct O, u , v .
On réalisera une figure en prenant 4 cm comme unité graphique sur chaque axe.
On considère le point A d’affixe z A = 1.
5 points
Partie A
π
k est un réel strictement positif ; f est la similitude directe de centre O de rapport k et d’angle .
3
On note A0 = A et pour tout entier naturel n, A n+1 = f (A n ).
1.
2.
a. Étant donné un point M d’affixe z, déterminer en fonction de z l’affixe z ′ du point
M ′ image de M par f .
1
b. Construire les points A0 , A1 , A2 et A3 dans le cas particulier où k est égal à .
2
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l’affixe z n du point A n est égale à
kne
inπ
3
.
b. En
les valeurs de n pour lesquelles le point A n appartient à la demi droite
h déduire
→
−´
O ; u et, dans ce cas, déterminer en fonction de k et de n l’abscisse de A n .
Partie B
Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Désormais, k désigne un entier naturel non nul.
1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.
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2. Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l’entier naturel k
pour laquelle k 6 est un multiple de 2008.
h
→
−´
3. Pour quelles valeurs des entiers n et k le point A n appartient-il à la demi droite O ; u
avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?
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Terminales S
[ Corrigé du baccalauréat S Métropole & La Réunion \
septembre 2008
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
4 points
1.
1820
18
20
C
2/20
R
N
16/20
2
20
N
R
R
4/20
2
4
8
2
2. En suivant la dernière branche on a p(E =
×
=
=
= 0, 02.
20 20 400 100
18 2
2 16
36
32
68
17
p(F = p(N ∩ R) + p(R ∩ N) =
×
+
×
=
+
=
=
= 0, 17.
20 20 20 20 400 400 400 100
3.
a. On a la loi de probabilités suivante :
issue
X
p (X = x i )
RR
9
0,02
RN ou NR
1
0,17
NN
−1
0,81
car p(NN) = 1 − (0, 02 + 0, 17) = 0, 81.
b. On a E(X ) = 0, 02 × 9 + 0, 17 × 1 + 0, 81 × (−1) = 0, 18 + 0, 17 − 0, 81 = −0, 46 €.
Ce qui signifie qu’en moyenne on perd à ce jeu près d’un demi-euro par partie.
4.
2
a. On a une épreuve de Bernoulli avec une probabilité de lancer la roue B égale à
.
20
¶
µ
2
= 0, 9n .
La probabilité de ne jamais lancer la roue B en n parties est égale à 1 −
20
Donc la probabilité de lancer au moins une fois la roue B (évènement contraire de
l’évènement précédent) est p n = 1 − 0, 9n .
b. Comme −1 < 0, 9 < 1, lim 0, 9n = 0.
n→+∞
Conclusion : lim p n = 1. La suite est convergente
n→+∞
c. Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle p n > 0, 9 ? On a p n > 0, 9 ⇐⇒
1 − 0, 9n > 0, 9 ⇐⇒ 0, 1 > 0, 9n ⇐⇒ ln 0, 1 > n ln 0, 9, par croissance de la fonction ln.
ln 0, 1
ln 0, 1 > n ln 0, 9 ⇐⇒ n >
car ln 0, 9 < 0. Finalement n > 21, 8.
ln 0, 9
La probabilité de lancer la roue B sera supérieure à 90 % à partir de la 22e partie.
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E XERCICE 2
Commun à tous les candidats
1.
3 points
a. Comme x 6= 0 et f dérivable sur ]0 ; +∞[, g est dérivable sur cet intervalle et g ′ (x) =
x f ′ (x) − f (x)
.
x2
Or f solution de (E ) signifie que x f ′ (x) − (2x + 1) f (x) = 8x 2 ⇐⇒
x f ′ (x) − f (x) 2 f (x)
x f ′ (x) − (2x + 1) f (x)
=
8
(car
x
=
6
0)
⇐⇒
−
= 8 ⇐⇒ g ′ (x) −
x2
x2
x
2g (x) = 8 qui signifie que la fonction g est solution de l’équation différentielle (E ′ ) :
y ′ = 2y + 8.
b. h solution de (E ′ ) montre que h est dérivable, donc f aussi.
De f (x) = xh(x), on tire f ′ (x) = h(x) + xh ′ (x).
h solution de (E ′ ) ⇐⇒ h ′ (x) = 2h(x)+8 ⇐⇒ xh ′ (x) = 2xh(x)+8x ⇐⇒ f ′ (x)−h(x) =
2 f (x) + 8x ⇐⇒ x f ′ (x) = 2x f (x) + f (x) + 8x 2 ⇐⇒
x f ′ (x) − (2x + 1) f (x) = 8x 2 , ce qui signifie que f est solution de l’équation différentielle (E ).
2. Résolution de y ′ = 2y + 8 :
– On sait que la fonction constante x 7−→ −4 est solution de l’équation ;
– Les solutions de l’équation y ′ = 2y sont les fonctions de la forme :
x 7−→ K e2x , K ∈ R.
Les solutions de (E ′ ) sont donc les fonctions de la forme x 7−→ K e2x − 4, K ∈ R.
3. Il faut chercher une fonction f de la forme f (x) = K xe2x − 4x telle que
2
f (ln 2) = 0 ⇐⇒ K ln 2e2 ln 2 −4 ln 2 = 0 ⇐⇒ K ln 2eln 2 −4 ln 2 = 0 ⇐⇒ K ln 2eln 4 −4 ln 2 =
0 ⇐⇒ 4K ln 2 − 4 ln 2 = 0 ⇐⇒ 4K − 4 = 0 ⇐⇒ K = 1.
Il existe bien une solution de (E ) qui s’annule en ln 2 : la fonction
x 7−→ xe2x − 4x.
E XERCICE 3
Commun à tous les candidats
4 points
1. C est le barycentre des points pondérés (A, m), (B, 1) et (D, 1) ⇐⇒ m + 2 6= 0 et C est le
−−→
−→ →
−
−−→ −−→
barycentre des points pondérés (A, m), (I, 2) ⇐⇒ m CA + 2CI = 0 ⇐⇒ m CA + CA =
→
−
−−→ →
−
0 ⇐⇒ (m + 1)CA = 0 ⇐⇒ m + 1 = 0 ⇐⇒ m = −1. Réponse c.
π
2.
a. Faux car l’angle est de − ;
2
3
b. Faux car le rapport est égal à ;
2
c. Faux : DAB a pour image BCD ;
1 −−→ 1 ³−−→ −−→´ 1 −−→ 1 −−→
1 −−→ 1 −−→
→
−
→
−
d. Ceci signifie que IJ = BA + DB ⇐⇒ IJ = BA + DB + BA = BA + DA =
2
4
4
4
4
4
1 −−→ 1 −−→ 1 −−→
CD + DA = CA et cette dernière égalité est vraie. Réponse d.
4
4
4
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Terminales S
° −−→°
°−−→ −
°−−→ −−→°
→ −−→ −→°
°
°
°
°
°
°
3. °M A + M C ° = AB ⇐⇒ °M I + IA + M I + IC ° = AB ⇐⇒ °2M I ° = AB ⇐⇒ 2M I = AB ⇐⇒
1
1
IM = AB, ce qui signifie que M appartient au cercle de centre I et de rayon AB, qui est
2
2
bien le cercle inscrit dans le carré. Réponse d.
4. Par associativité, le barycentre de (A, 2), (B, 1) et (D, 1) est celui de (A, 2) et (I, 2) soit le
−
→ −
→ −→ →
−
point J de poids 4. Donc 2JA + JB + JD = 0 . Il en résulte avec la relation de Chasles que
³ −−→ −−→ −−→´ −−→
³ −−→ −−→ −−−→´ ³−−→ −−→´
−−→ −−→
2M A + M B + M D · M A − M C = 0 ⇐⇒ 2M J + M J + M J · CA = 0 ⇐⇒ 4M J · CA =
−−→ −−→
0 ⇐⇒ M J · CA = 0 qui signifie que (M J) est perpendiculaire à (CA), donc M appartient à
la médiatrice de [CA]. Réponse c.
E XERCICE 4
4 points
Commun à tous les candidats
Zn+1
Zn
Zn+1
p
p
p
−t
−t
1. On calcule J n+1 − J n =
e
1 + t dt −
1 + t dt =
e
e−t 1 + t dt .
1
n
p 1
−t
Pour t ∈ [n ; n + 1], 1 + t > 0 et e > 0.
L’intégrale d’une fonction positive sur un intervalle où n < n + 1 est positive, donc J n+1 −
J n > 0 ⇐⇒ J n+1 > J n , ce qui montre que la suite (J n ) est croissante.
p
2.
a. Posons u = t + 1, donc u > 2 ; or 0 6 u 6 u, sur [2 ; +∞], car 0 6 u 6 u 2 .
Remarque : en fait relation est vraie pour t > 0.
Zn
p
p
p
−t
−t
b. t + 1 6 t + 1 ⇐⇒ t + 1e 6 (t + 1)e ce qui entraîne que
e−t 1 + t dt 6
1
Zn
−t
e (1 + t ) dt ⇐⇒ J n 6 I n .
1
c. Intégrons par parties :
½
u(t ) = t + 1
dv(t ) = e−t
½
du(t ) = 1
v(t )
= −e−t
¤n
£
Les fonctions dérivées ci-dessus étant continues I n = −(t + 1)e−t 1 −
¤n
¤n £ ¤n £
£
−(t + 1)e−t 1 + e−t 1 = −(t + 2)e−t 1 = −(n + 2)e−n + 3e−1 .
Comme (n + 2)e−n > 0, I n est donc majorée par 3e−1
Zn
1
−e−t dt =
d. L’inégalité démontrée au b. montre que J n 6 3e−1 .
La suite (J n ) est donc majorée et croissante : elle a donc une limite inférieure ou
égale à 3e−1 .
E XERCICE 5
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
5 points
Partie A
z I − 5 3 + i − 5 −2 + i (−2 + i)(2 − i)
3 4
=
=
= − +i .
zI − 1 3 + i − 1 2 + i
4+1
5 5
µ ¶2 µ ¶2
¯
¯
¯ ¯2
9 16
4
3
+
= 1 ⇒ ¯z I′ ¯ = 1.
+
=
On a ¯z I′ ¯ =
5
5
25 25
1. z I ′ =
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L. G. Flaubert
Terminales S
Donc I′ appartient au cercle C .
¯
¯
¯z −5¯
z −5
′
′
¯ ⇐⇒ |z ′ | = |z − 5| ⇐⇒ OM ′ = BM = M B .
¯
⇒ |z | = ¯
2.
a. z =
z −1
z −1¯
|z − 1|
AM AM
³−−→ −−−→´ ³−−→ −−→´ ³−−→ −−→´
z
−
5
⇒ OA , OM ′ = AM , BM = M A , M B .
b. De même avec les arguments : z ′ =
z −1
Partie B
1. Si M appartient à (∆), il a pour affixe 3 + αi.
p
| − 2 + αi|
4 + α2
′
′
= 1, donc M ′ ∈ C .
On a OM = |z | =
=p
2
|2 + αi|
4+α
2.
a. M appartient à la médiatrice de [AB], donc est équidistant de A et de B ; M A = M B
entraîne que que M AB est isocèle en M .
A et N appartiennent à au cercle C , donc OA = ON et le triangle AON est isocèle en
O.
³−−→ −−→´ ³−−→ −−→´ ³−−→ −−→´ ³−−→ −−→´
Par symétrie autour de (T), AO , AN = AB , AM ⇒ AO , ON = M A , M B .
b. Le point image M ′ est le point N . On peut au lieu d’utiliser la symétrie autour de (T)
construire le symétrique M 1 de M autour de [Ox). La droite (AM 1 ) coupe le cercle C
en M ′ .
E XERCICE 5
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
5 points
Partie A
a. L’écriture complexe de la similitude est z ′ = kzei 3 .
π
1.
b. A0 = A ; son affixe est 1 ;
Ã
p !
p
1
1
1 1
3
3
i π3
+i
= +i
;
A1 = f (A0 ) : son affixe est × 1 × e =
2
2 2
2
4
4
Ã
p !Ã
p !
p
1
3 1
3
3
1
1
A2 = f (A1 ) : son affixe est ×
+i
+i
;
= − +i
2
4
4
2
2
8
8
Ã
p !Ã
p !
1
1
1
3 1
3
+i
=− .
A3 = f (A2 ) : son affixe est × − + i
2
8
8
2
2
8
π
On fait à chaque fois une rotation de centre O d’angle , puis une homothétie de
3
1
centre O et de rapport .
2
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Terminales S
→
−
v
b
A1
b
A2
b
A3
-1
2.
a. Initialisation : z 0 = k 0 e
i×0π
3
b
O
= 1 ce qui est vrai ;
Hérédité : supposons qu’il existe p ∈ N tel que z p = k p e
i π3
Alors z p+1 = kz p e
p + 1.
= kk p e
ipπ
3
i π3
×e
i(p+1) π3
= k p+1 e
1 A0
→
−
u
ipπ
3
.
. La relation est donc vraie au rang
On a donc démontré par récurrence que pour tout entier n, l’affixe z n du point A n
inπ
est égale à k n e 3 .
h
→
−´
b. A n ∈ O ; u ⇐⇒ z n a un argument nul à 2π près.
nπ
≡ 0 [2π] ⇐⇒ n ≡ 0 [6] ou encore si n est multiple de 6.
Soit
3
Partie B
Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Désormais, k désigne un entier naturel non nul.
1. 2008 = 23 × 251
2. k 6 est un multiple de 2008 si ets eulement s’il existe α ∈ N tel que k 6 = α × 23 × 251
Il faut donc que dans la décomposition de k il y ait au moins un facteur 2 et un facteur
251, 2 et 251 étant premiers entre eux : la plus petite valeur de k est donc 2 × 251 = 502.
3. On a vu qu’il fallait que n soit multiple de 6 et que la plus petite valeur de k est 512.
Donc z n est un entier multiple de 2008, si n est un multiple de 6 et k un multiple de 502.
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