Circuits RC, RL, RLC

Circuits RC, RL, RLC
par Gilbert Gastebois
1. Oscillations libres amorties dans un circuit RLC
1.1 Équation différentielle du circuit.
Ldi/dt + Ri + q/C = 0
Ld²q/dt² + Rdq/dt + q/C = 0
d²q/dt² + R/Ldq/dt + q/LC = 0
On pose 1/LC = ω02 et R/L = γ
d²q/dt² + γ dq/dt + ω02 q = 0
1.2 Solution de l'équation différentielle.
On cherche une solution du type q = a e αt
α2 a e αt + γ α a e αt + ω02 a e αt = 0
α2 + γ α + ω02 = 0
α1 = - γ/2 + ( γ2/4 - ω02 )1/2
α2 = - γ/2 - ( γ2/4 - ω02 )1/2
1.3 Solution apériodique γ > 2ω0 .
γ > 2ω0 donc α1 et α2 sont réels.
q = C uc = a exp(α1t) + b exp(α2t)
i = α1a exp(α1t) + α2 b exp(α2t)
Conditions initiales : A t = 0
U = E => q0 = CE
On pose ω' = ( γ2/4 – ω02 )1/2
CE = a + b
0 = α1a + α2 b
d'où
et
i=0
α1 = - γ/2 + ω' et α2 = - γ/2 - ω'
a = α2 CE /(α2 – α1) = 0,5 CE (ω' + γ/2) /ω'
b = α1 CE /(α1 – α2) = 0,5 CE (ω' – γ/2) /ω'
En remplaçant et en développant les équations de q et i, on obtient :
q = CE e -γ/2 t (ch(ω't) + γ/(2ω') sh(ω't))
uc = E e -γ/2 t (ch(ω't) + γ/(2ω') sh(ω't))
i = CE e -γ/2 t (ω' – γ²/(4ω')) sh(ω't))
1.4 Solution oscillatoire amortie pseudo-périodique γ < 2ω0 .
γ < 2ω0
donc α1 et α2 sont complexes.
Α1 = - γ/2 + j (ω02 - γ2/4)1/2 = - γ/2 + j ω'
α2 = - γ/2 - j ( ω02 - γ2/4)1/2 = - γ/2 - j ω'
q = a e -γ/2 t + j ω' t + b e -γ/2 t - j ω' t
q = e -γ/2 t ( a e j ω' t + b e- jω' t )
( On pose (ω02 - γ2/4)1/2 = ω' )
a = ar + j ai
b = br - j b i
q = e -γ/2 t ( (ar + j ai ) ( cos(ω't) + j sin(ω't)) + (br + j bi )( cos(ω't) - j sin(ω't)) )
q = e -γ/2 t ( (ar + br ) (cos(ω't) + (bi - ai ) (sin(ω't)) + j ((ar - br )(sin(ω't) + (ai + bi )cos(ω't)))
q est réel donc la partie imaginaire est nulle
donc ar - br = 0 et ai + bi = 0, donc ar = br et
ai = - bi donc b = a* ( valeur
conjuguée de a )
q = e-γ/2 t ( a e j ω' t + a* e - jω' t)
En prenant la partie réelle, on obtient :
q = C uc = e -γ/2 t (A cos(ω' t) + B sin(ω' t))
i = e -γ/2 t ((Bω' - γA/2) cos(ω' t) - (Aω' + γB/2) sin(ω' t))
Conditions initiales : A t = 0 U = E => q0 = CE et i = 0
CE = A
0 = Bω' - γA/2 donc Bω' = γA/2 = γCE/(2ω')
q = CE e -γ/2 t (cos(ω' t) + γ/(2ω') sin(ω' t))
uc = E e -γ/2 t (cos(ω' t) + γ/(2ω') sin(ω' t))
i = - CE e -γ/2 t (ω' + γ²/(4ω')) sin(ω' t)
1.5 Solution apériodique critique γ = 2ω0 .
ω' = ω0 - γ/2 = 0 ou γ = 2ω0
solution oscillante : q = CE e - γ/2 t (cos(ω' t) + γ/2/ ω' sin(ω' t))
On fait tendre ω' vers 0 donc γ/2 sin(ω' t)/ ω' tend vers γ/2 ω't/ ω' = γ/2 t
La solution générale est donc
q = (A + Bt) exp(-ω0t)
i = ((B - ω0A) - ω0Bt) exp(-ω0t)
Conditions initiales : A t = 0
q = CE (1 + ω0 t) exp(-ω0 t)
uc= E (1 + ω0 t) exp(-ω0 t)
i = - CE ω02 t exp(-ω0 t)
U = E => q0 = CE et
i=0
1.6 Solution non amortie.
Si R = 0, il reste d²q/dt² + q/LC = 0
dont la solution est sinusoïdale :
q = Qm sin( ω0 t + φ ) avec ω0 = (1/LC)1/2 et T0 = 2π/ω0 = 2π(LC)1/2
uc = Qm sin( ω0 t + φ ) = Qm/C sin( ω0 t + φ ) = Um sin( ω0 t + φ )
i = dq/dt = Qmω0 cos( ω0 t + φ ) = C Umω0 cos( ω0 t + φ ) = Im cos( ω0 t + φ )
Conditions initiales : A t = 0, i = I0 et uc = U0
uc = Um sinφ = U0
i = C Umω0 cosφ = I0
tanφ = sinφ /cosφ = Cω0 U0/I0
Um = U0/sinφ
Exemple : A t = 0, i = 0 et uc = E, on obtient uc = E sin(ω0 t + π/2 ) = E cos(ω0 t) ,
solution que l'on retrouve en faisant γ = 0 dans la solution pseudopériodique correspondant
aux mêmes conditions initiales : uc = E e -γ/2 t (cos(ω' t) + γ/2 ω' sin(ω' t))
2. Circuit RC
2.1 Équation différentielle du circuit.
Ri + q/C = U
Rdq/dt + q/C = U
RC dq/dt + q = CU
2.2 Solution de l'équation.
q = CA e - t/RC + CU
uc = A e - t/RC + U
Charge du condensateur : U = E
0 = A + E donc A = -E
u c= E ( 1 - e - t/RC )
Conditions initiales : A t = 0 u = 0
Décharge du condensateur : U = 0
E=A
uc = E e - t/RC
Conditions initiales : A t = 0 u = E
Constante de temps τ = RC
3. Circuit RL
3.1 Équation différentielle du circuit.
Ldi/dt + Ri = U
L/R di/dt + i = U/R
3.2 Solution de l'équation.
i = A e - R/L t + U/R
Établissement du courant : U = E
0 = A + E/R donc A = -E/R
i = E/R ( 1 - e - R/L t )
Conditions initiales : A t = 0 i = 0
Rupture du courant : U = 0
E/R = A
i = E/R e - R/L t
Conditions initiales : A t = 0 i = E/R
Constante de temps τ = L/R