4.5 Intégration Numérique

4.5
Intégration Numérique
Les intégrales qui surviennent du calcul des matrices élémentaires de raideur Ak et
de masse M k ou du vecteur élémentaire r k = (rik ) où
Z
k
ri =
f ϕki dx,
Ωk
sont, avec l'exception des cas les plus faciles, évaluées avec des formules d'intégration
numérique sur les éléments de référence.
4.5.1
Éléments quadrangulaires
Formule de quadrature de Gauss
Théorème 11 Soit x0 , . . . , xn les (n + 1) racines du polynôme de Legendre de degré
n + 1 et soit wi (i = 0, . . . , n) dénis par
µ
¶
Z 1
x − xj
n
Πj=0,j6=i
wi =
dx.
xi − xj
−1
Alors, si P (x) est un polynôme de degré au plus (2n + 1)
Z
1
P (x) dx =
−1
n
X
wi P (xi ).
i=0
(On peut démontrer que l'erreur dans la quadrature de Gauss à n + 1 points est
22n+3 ((n + 1)!)4
P (2n+2) (µ),
(2n + 3)((2n + 2)!)3
où µ ∈ (−1, 1).)
Donc, dans une seule dimension le degré de précision de la quadrature de Gauss
à n + 1 points est 2n + 1. Ce résultat est optimal dans le cas qu'on ne peut pas faire
mieux avec 2n + 2 paramètres libres (n + 1 poids d'intégration wi et n + 1 points
d'intégration xi .) En général les produits tensoriels des quadratures de Gauss ne sont
pas optimals dans ce sens. Par exemple, intégrer un polynôme de degré 5 (2 × 2 + 1)
nécessiterait 9 (n + 1) points avec la quadrature de Gauss. Puisqu'il n'existe que 21
termes monômes dans un tel polynôme, une formule du type (non-produit-tensoriel)
Z
1
Z
1
P5 (ξ, η) dξdη =
−1
−1
6
X
wi P5 (ξi , ηi ),
i=0
pourrait être essayée.
Cependant, une fonction f ∈ Q2n+1 est intégrée exactement dans le carré de
référence [−1, 1] × [−1, 1]. Ceci veut dire que pour les maillages qui consistent des
éléments Q1 qui sont des parallélogrammes (et dont le jacobien de la transformation
est donc une constante), les matrices élémentaires de raideur (voir page 33 des notes
de cours) et de masse peuvent être calculées exactement avec une quadrature de
38
Gauss qui est 2×2. De la même manière les matrices Ak et de masse pour un maillage
des éléments rectangulaires Q2 sont évaluées exactement avec une quadrature de
Gauss de 3 × 3 points d'intégration.
En général, on peut calculer Akij approximativement avec
(
"µ
¶2 µ ¶2 #
∂y
∂x
Akij =
+
,
∂η
∂η
i=0 j=0
µ e e
¶·
¸
∂ϕi ∂ϕj ∂ϕei ∂ϕej
∂y ∂y ∂x ∂x
−
+
+
,
∂ξ ∂η
∂η ∂ξ
∂η ∂ξ ∂η ∂ξ
"µ ¶
µ ¶2 #)
2
∂ϕej ∂ϕei
∂x
ωi ωj
∂y
+
+
∂η ∂η
∂ξ
∂ξ
abs|Jk |(ξi ,ηj )
n X
n
X
∂ϕej ∂ϕei
∂ξ ∂ξ
(ξi ,ηj )
4.5.2
Éléments triangulaires
Pour obtenir une formule de quadrature de degré de précision 1 dans le triangle de
référence
∆ = {(ξ, η) : 0 ≤ ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 1 − ξ},
on pourrait prendre un point (ξ1 , η1 ) et un poids ω1 , choisis tel que l'approximation
Z Z
f (ξ, η) dξdη ≈ f (ξ1 , η1 )ω1 ,
∆
soit exacte pour une fonction linéaire
f (ξ, η) = a + bξ + cη.
Ceci nécessite que
Z Z
1
= ω1 ,
2
Z Z ∆
1
ξ dξdη = = ξ1 ω1 .
6
Z Z∆
1
η dξdη = = η1 ω1 .
6
∆
dξdη =
(78)
(79)
(80)
La solution de (78)-(80) est ω1 = 1/2, ξ1 = η1 = 1/3.
D'une manière pareille une formule symétrique de quadrature de degré de précision 2 peut être obtenue en cherchant ω1 , ξ1 , ξ2 , η2 , tels que
Z Z
f (ξ, η) dξdη ≈ f (ξ1 , ξ1 )ω1 + f (ξ2 , η2 )ω2 + f (η2 , ξ2 )ω2 ,
∆
soit exacte pour une fonction quadratique
f (ξ, η) = a + bξ + cη + dξη + eξ 2 + f η 2 .
39
Nous sommes amenés au système des équations suivant:
Z Z
1
dξdη = = 3ω1 ,
2
Z Z ∆
Z Z
1
ξ dξdη =
η dξdη = = (ξ1 + ξ2 + η2 )ω1 ,
6
∆
Z Z ∆
1
ξη dξdη =
= (ξ12 + 2ξ2 η2 )ω1 ,
24
Z Z∆
Z Z
1
2
ξ dξdη =
η 2 dξdη =
= (ξ12 + ξ22 + η22 )ω1 ,
12
∆
∆
dont une solution est
1
1
1
2
ω 1 = , ξ 1 = , ξ2 = , η 2 = .
6
6
6
3
(L'autre solution est obtenue lorsqu'on échange ξ2 et η2 et ne change ni les poids de
quadrature ni les poids d'intégration). Formules de quadratures symétriques pour le
triangle de référence et pour un tetraèdre de référence ont été obtenues par Hammer
et al. [2] et quelques exemples peuvent être trouvées dans l'annexe C de Fortin et
Garon.
4.6
4.6.1
Estimations d'erreur a priori et a posteriori pour l'équation
de Poisson.
Estimations d'erreur a priori
La formulation faible qui corréspond au problème (55)-(57) est: trouver u ∈ U tel
que
a(u, v) = (∇u, ∇v) = l(v) = (f, v), ∀v ∈ V,
dans un domaine Ω. Dans cette section uh désignera la solution du problème faible
discrétisé: trouver uh ∈ U h ⊂ U tel que
a(uh , v h ) = (f, v h ), ∀v h ∈ V h ⊂ V,
(81)
où U h et V h sont des espaces de dimension nie. On suppose dans la suite que Γ1 6= ∅
et que Ω est un domain polygonal qui permet un recouvrement Th de triangles ou
Rh de rectangles. On cherchera la solution uh dans les espaces de dimensions nies
U∆h ⊂ U ou U¤h ⊂ U , où
ª
©
(82)
U∆h = uh ∈ C 0 (Ω), uh = g1 sur Γ1 uh |∆k ∈ P1 , ∀∆k ∈ Th ,
ª
© h
0
h
h
h
(83)
U¤ = u ∈ C (Ω), u = g1 sur Γ1 u |¤k ∈ Q1 , ∀¤k ∈ Th .
La fonction de pondération v h sera choisie des espaces notés V∆h ou V¤h , dénis comme
d'habitude.
Dénition 24 (Condition d'angle minimum) Une suite de maillages triangulaires
{Th } est dite de forme régulière s'il existe un angle minimum θ∗ 6= 0 tel que pour
chaque élément ∆k dans Th l'angle minimum θk de ∆k satisfait à la condition θk ≥
θ∗ .
40
Théorème 12 Si le problème variationnel (81) est résolu avec un maillage d'éléments
triangulaires P1 , tel que U h = U∆h et V h = V∆h et une condition d'angle minimum
est satisfaite, alors il existe une constante C telle que
|u − uh |1,Ω ≤ ChkD2 uk0,Ω ,
(84)
où h désigne la longueur du côté le plus long dans Th
Dénition 25 (Condition de rapport d'allongement géométrique) Une suite de mail-
lages rectangulaires {Rh } est dite de forme régulière s'il existe un rapport d'allongement
géométrique maximum β ∗ tel que pour chaque élément ¤k de Rh le rapport d'allongement
géométrique maximum βk satisfait à la condition 1 ≤ βk ≤ β ∗ .
Théorème 13 Si le problème variationnel (81) est résolu avec un maillage d'éléments
quadrangulaires Q1 , tel que U h = U¤h et V h = V¤h et une condition de rapport
d'allongement géométrique est satisfaite, alors il existe une constante C telle que
|u − uh |1,Ω ≤ ChkD2 uk0,Ω ,
(85)
où h désigne la longueur du côté le plus long dans Rh .
Remarques
• On dénit les espaces U h ⊂ U et V h ⊂ V par
¯
¯
©
ª
U h = uh ∈ C 0 (Ω), uh = g1 sur Γ1 , uh ¯∆ ∈ Pk−2 ou uh ¯¤ ∈ Qk−2 ,
¯
¯
©
ª
V h = v h ∈ C 0 (Ω), v h = 0 sur Γ1 , v h ¯∆ ∈ Pk−2 ou v h ¯¤ ∈ Qk−2
Soit u
eh la solution du problème faible approximatif: trouver u
eh ∈ U h tel que
e
a(e
uh , v h ) = e
l(v h ),
∀v h ∈ V h ,
où e
a(·, ·) et e
l(·) sont dénies par les formules de quadrature:
X
e
a(u, v) =
wi (∇u · ∇v)(ξi , ηi ),
i
e
l(v) =
X
wi (f v)(ξi , ηi ).
i
Si e
a(·, ·) est coercive et le degré de précision de la formule de quadrature est
au moins k − 2, alors
kuh − u
eh k1,Ω ≤ Ch.
• L'utilisation des approximations d'éléments nis Pm ou Qm (m ≥ 2) peut
amener à une convergence de l'ordre m sous la condition que la solution u est
susamment régulière:
|u − uh |1,Ω ≤ Chm kDm+1 uk0,Ω
41
4.6.2
Estimation d'erreur a posteriori
Soit u ∈ U la solution du problème faible (55)-(57) dans un domaine polygonal Ω.
Soit uh ∈ U h une solution approchée, obtenue avec des éléments triangulaires P1 .
(En fait, on obtiendrait la même estimation d'erreur avec des éléments rectangulaires
Q1 ). On note par Th la triangulation formée des triangles et par E(k) la réunion des
côtés du triangle ∆k ∈ Th .
Que e désigne l'erreur u − uh . Alors
(∇u, ∇v) = (f, v), ∀v ∈ V,
⇒ (∇u, ∇(u − uh )) = (f, u − uh ),
c'est à dire,
(86)
(∇u, ∇e) = (f, e).
On peut maintenant écrire
|e|21,Ω = (∇(u − uh ), ∇e),
= (∇u, ∇e) − (∇uh , ∇e),
= (f, e) − (∇uh , ∇e),
(voir (86)),
= (f, e) − (∇uh , ∇e) − ((f, πh e) − (∇uh , ∇πh e))
= (f, e − πh e) − (∇uh , ∇(e − πh e)),
(87)
où πh e ∈ V h est un interpolant de e. On écrit l'intégrale sur Ω comme la somme sur
les triangles physiques ∆k (k = 1, . . . , K ) et intègre par parties pour obtenir
|e|21,Ω
=
K Z
X
k=1
2 h
(f + ∇ u )(e − πh e) −
∆k
K Z
X
E∈E(k)
k=1
∂uh
(e − πh e) ds,
∂nk
où ∂uh /∂nk = ∇uh · nk désigne la dérivee de uh dans la direction normale sur
la frontière ∂∆k de l'élément ∆k . nk est un vecteur normal unitaire dirigé vers
l'extérieur de ∆k . Si S est un côté intérieur d'un triangle partagé entre deux éléments
contigus ∆k et ∆` on dénote le saut dans la dérivée normale le long de S par
· h¸
∂u
:= (∇uh |∆k − ∇uh |∆` ) · nk = (∇uh |∆` − ∇uh |∆k ) · n` .
∂n
On équidistribue les sauts dans les dérivées normales le long des interfaces des éléments. Ceci nous permet d'écrire:
|e|21,Ω
=
K Z
X
k=1
K
1X
(f + ∇ u )(e − πh e) −
2 k=1
∆k
K Z
X
−
·
Z
2 h
k=1
42
EΩ (k)
EN (k)
¸
∂uh
(e − πh e) ds
∂n
g2 ds,
où, EΩ (k) et EN (k) désignent la réunion des côtés intérieurs du triangle ∆k et ceux
dans Γ2 . Alors
|e|21,Ω
=
K Z
X
R1 (e − πh e) −
∆k
k=1
K Z
X
k=1
R2 (e − πh e) ds,
E(k)
(88)
avec R1 et R2 dénis comme
R 1 = f + ∇2 u h ,
 h i
h

sur EΩ (k),
 12 ∂u
∂n
R2 =
g2 sur EN (k),


0, autrement,
Lemme 3 (voir Lemme 1.25 de Elman et al.) Étant donné e ∈ V il existe un
(quasi-)interpolant πh e ∈ V h tel que
ke − πh ek0,k ≤ C1 hk |e|1,ωk , ∀∆k ∈ Th ,
[
1/2
ke − πh ek0,S ≤ C2 hS |e|1,ωk , ∀S ∈
E(k),
k
où ωk désigne l'assemblage de tous les éléments avoisinants qui partagent (au moins)
un sommet avec le triangle ∆k . Les constantes C1 et C2 ne dépendent que de l'angle
minimum dans tous les triangles de ωk .
Démonstration Voir Clément [1].
Donc,
|e|21,Ω
=
K Z
X
k=1
≤C
∆k
hk R1 h−1
k (e

K 
X
k=1

− πh e) −
K
X
X Z
k=1 E∈E(k)
hk kR1 k0,k |e|1,ωk +
X
1/2
E
−1/2
hE R2 hE
1/2
hE kR2 k0,E |e|1,ωk
E∈E(k)
(e − πh e) ds,



,
2 1/2
ÃK
!1/2  K 

X
X
X 1/2

≤C
|e|21,ωk
hk kR1 k0,k +
hE kR2 k0,E  ,


k=1
k=1
(89)
E∈E(k)
où on a utilisé l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour deux vecteurs: a = (ai ) et b = (bj )
dans RN :
¯ Ã
¯
!1/2 Ã N !1/2
N
N
¯
¯X
X
X
¯
¯
.
a2i
b2i
ai bi ¯ ≤
¯
¯
¯
i=1
i=1
i=1
Ω recouvert par un nombre ni de triangles implique qu'il existe un nombre M < ∞
tel que
K
X
|e|21,ωk ≤ M 2 |e|21,Ω .
k=1
43
Alors, réécrivant M C comme C et en divisant (89) partout par |e|1,Ω , on obtient

|e|1,Ω ≤ C 

2 1/2

X 1/2
hk kR1 k0,k +
hE kR2 k0,E  .


K 
X
k=1
E∈E(k)
Or, pour deux nombres réels a et b, (a + b)2 ≤ 2a2 + 2b2 . Donc, on peut écrire (voir
Elman et al. (1.108))
1/2

K 

X
X
e
hE kR2 k20,E  ,
h2k kR1 k20,k +
≤C



|e|1,Ω
k=1
E∈E(k)
e. Le même résultat tient pour les éléments rectangulaires Q1 .
pour une constante C
Dans les deux casSle résidu intérieur R1 = f et R2 est une constante le long de
chaque côté E de k EΩ (k).
References
[1] P. Clément, Approximation by nite element functions using local regularization, R.A.I.R.O. Anal. Numér., 2:77-84, 1975.
[2] P. C. Hammer, O. P. Marlowe et A. H. Stroud, Numerical integration over
simplexes and cones, Mathematical Tables and other Aids to Computation,
10:130-137, 1956.
44