Devoir n°4 - 2016 corrigé
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Devoir n°4 - 2016 corrigé
Corrigé du devoir n°4 du 22 novembre 2016 Exercice 1 : 1. 41 4 (11) on multiplie chaque congruence par 4 successivement 4 16 5 (11) car 16 11 5 4 20 9 (11) car 20 11 9 4 36 3 (11) car 36 311 3 4 12 1 (11) car 12 11 1 2 3 4 5 le plus petit entier naturel non nul k tel que 4k 1 (modulo 11) est k 5 k 2. Par conséquent, pour tout k, 45 1k (11) c’est-à-dire 45k 1 (11) d’où 45k 1 (11) 4 5k+1 on multiplie chaque congruence par 4 successivement 4 (11) 45k+2 5 (11) 45k+3 9 (11) 45k+4 3 (11) ne pas oublier que n est l’exposant si n le reste de 4n dans la division par 11 est 5k 5k1 5k2 5k3 5k4 1 4 5 9 3 2 3. un 42n 24n 4n 24n 4n (4n 2) si n le reste de 4n dans la division par 11 est le reste de 4n 2 dans la division par 11 est un est congru à modulo 11 5k 5k1 5k2 5k3 5k4 1 4 5 9 3 3 6 7 0 5 3 2 2 0 4 D’après le tableau, un 42n 24n est divisible par 11 si et seulement si n 5p 3 avec p . Exercice 2 : 1. Méthode générale (on ne donne pas de valeur à N). a. N 106 A B avec 0 B 106 B est le reste dans la division par 106 de N Comme 106 1030997 27 donc 106 27 (modulo 97) (on réduit) Par suite N 27A B (modulo 97) (compatibilité avec la somme et le produit) b. r le reste de la division euclidienne de N par 97 donc N 97q r donc N r (modulo 97) (juste pour rappeler le cours) donc r 27A b (modulo 97) d’après la question précédente Comme K 97 r alors K r (modulo 97) conclusion K 27A B (modulo 97) 2. Calcul sur un exemple N 2840492019081 donc A 2 840 492 et B 019 081 27A B 76 674 203 ce nombre ne dépasse pas la capacité de la machine. Comme 76 712 365 790 85097 85 alors K 85 (modulo 97) et comme 0 85 97, 85 est le reste dans la division euclidienne par 97 de 27A B Devoir de spécialité 4 – page 1 la clé de contrôle est K 85 Exercice 3 : 1. 51 5 (7) on multiplie chaque congruence par 5 successivement 52 25 4 (7) car 25 37 4 5 20 6 (7) car 20 27 6 5 30 2 (7) car 30 47 2 5 10 3 (7) car 10 7 3 5 15 1 (7) car 15 7 1 3 4 5 5 le plus petit entier naturel non nul k tel que 5k 1 (modulo 7) est k 6 2. Comme 20 172 017 28817167 5 alors 20 172 017 5 (modulo 7) Donc 20 172 017 2 017 52017 (modulo 7) Comme 2017 3366 1 alors 52017 533661 5336651 56 donc 5 2017 1 336 5 5 (modulo 7) 336 le reste de 20 172 017 2 017 dans la division par 7 est 5 Exercice 4 : un 33n+2 46n+1 un 33n32 46n41 n n n n un 33 9 46 4 un 33 9 46 4 n n un 27 9 4 096 4 Par division euclidienne, 27 213 1 donc 27 1 (modulo 13) 4 096 31513 1 donc 4 096 1 (modulo 13) donc un 1n9 1n4 (modulo 13) donc un 13 (modulo 13) donc un 0 (modulo 13) pour tout n, 33n+2 46n+1 est divisible par 13 . Devoir de spécialité 4 – page 2 Exercice 5 : 1. 170 1 (49) on multiplie chaque congruence par 17 successivement p 1 17 17 (49) p 17 172 289 44 (49) p p17 289 puis r 44 puis p 44 173 748 13 (49) p p17 748 puis r 13 puis p 13 17 221 25 (49) p p17 221 puis r 25 puis p 25 17 425 33 (49) p p17 425 puis r 33 puis p 33 17 561 22 (49) p p17 561 puis r 22 puis p 22 1 4 5 6 On ne divise pas 17n car il devient rapidement trop grand pour la machine. A « la main », on ne le fait pas non plus. n p q r 2. a. 0 1 0 1 17 0 17 2 44 5 44 3 13 15 13 4 25 4 25 5 33 8 33 6 22 11 22 à la ligne 6 q est le quotient dans division euclidienne de p 17r par 49 b. à la ligne 7 r est le reste dans division euclidienne de p 17r par 49 3. On trouve n 42 4. Dans l’algorithme au lieu d’utiliser 17n1 17n17 on utilise le fait qu’à la ligne précédente, on a trouvé 17n k (modulo 49) avec 0 k 49. Au lieu d’effectuer la division de 17n1 par 49 où 17n1 serait rapidement trop grand, On effectue la division de 17k par 49 où 0 17k 833. On ne dépassera donc jamais la capacité de la machine. Devoir de spécialité 4 – page 3