Suites : exercices

Suites : exercices
Les réponses aux questions sont disponibles à la fin du document
Exercice 1 :
Soit (Un ) la suite définie par Un = n2 − n + 1.
a) Calculer U0 et U10 .
b) Exprimer, en fonction de n, Un + 1 et Un+1 .
Exercice 2 :
1
.
n+1
a) Exprimer Un+1 −Un en fonction de n.
b) En déduire le sens de variation de la suite (Un ).
Soit (Un ) la suite définie par Un =
Exercice 3 :
1
Soit (Un ) la suite arithmétique de premier terme U0 = 4 et de raison r = .
2
a) Exprimer Un en fonction de n.
b) Calculer U10 .
Exercice 4 :
Soit (Un ) la suite arithmétique telle que U4 = 5 et U11 = 19.
Calculer la raison r et U0 .
Exercice 5 :
Soit (Un ) la suite géométrique de premier terme U0 = 7 et de raison q = 3.
a) Exprimer Un en fonction de n.
b) Calculer U5 .
Exercice 6 :
On suppose que chaque année la production d’une usine subit une baisse de 4%.
Au cours de l’année 2000, la production a été de 25000 unités.
a) On note P0 = 25000 et Pn la production prévue au cours de l’année (2000 + n).
Montrer que (Pn ) est une suite géométrique dont on donnera la raison.
b) Calculer la production de l’usine en 2005.
Exercice 7 :
On place un capital U0 = 1500 euros à 4,5 % par an avec intérêts simples.
On note Un le capital obtenu au bout de n années.
a) Donner la nature de la suite (Un ) et exprimer Un en fonction de n.
b) Calculer la valeur du capital au bout de 10 ans.
c) Au bout de combien d’années le capital initial aura-t’il doublé ?
Exercice 8 :
On place un capital U0 = 3500 euros à 3 % par an avec intérêts composés.
On note Un le capital obtenu au bout de n années.
a) Donner la nature de la suite (Un ) et exprimer Un en fonction de n.
b) Calculer la valeur du capital au bout de 10 ans.
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P.Brachet
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1
Réponses exercice 1 :
a) U0 = 02 − 0 + 1 = 1 et U10 = 102 − 10 + 1 = 91.
b) Un + 1 = (n2 − n + 1) + 1 = n2 − n + 2
Un+1 = (n + 1)2 − (n + 1) + 1 = n2 + 2n + 1 − n − 1 + 1 = n2 + n + 1.
Réponses exercice 2 :
1
1
=
(n + 1) + 1 n + 2
1
1
(n + 1) − (n + 2)
−1
Donc, Un+1 −Un =
−
=
=
.
n+2 n+1
(n + 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
b) Pour tout n, Un+1 −Un < 0. Donc la suite est décroissante.
a) Un+1 =
Réponses exercice 3 :
1
a) Un = U0 + n × r = 4 + n .
2
1
b) U10 = 4 + × 10 = 9.
2
Réponses exercice 4 :
U11 = U4 + (11 − 4) × r ⇔ 19 = 5 + 7r ⇔ r = 2.
U4 = U0 + 4 × a ⇔ 5 = U0 + 8 ⇔ U0 = −3.
Réponses exercice 5 :
a) Un = qn ×U0 = 7 × 3n .
b) U5 = 7 × 35 = 1701.
Réponses exercice 6 :
4
a) Baisser une grandeur de 4% revient à la multiplier par 1 − 100
= 0, 96.
Pour tout n, Pn+1 = 0, 96 × Pn . Cela prouve que (Pn ) est une suite géométrique de raison 0,96 .
b) P5 = q5 × P0 = (0, 96)5 × 25000 ≈ 20384 .
Réponses exercice 7 :
4, 5
a) (Un ) est arithmétique de raison : r =
× 1500 = 67, 5.
100
Un = U0 + n × r = 1500 + 67, 5 × n .
b) U10 = 1500 + 67, 5 × 10 = 2175 .
c) Un > 3000 ⇔ 1500 + 67, 5 × n > 3000 ⇔ 67, 5 × n > 1500 ⇔ n > 22, 2.
Il faudra donc attendre 23 années.
Réponses exercice 8 :
3
a) (Un ) est géométrique de raison : q = 1 + 100
= 1, 03.
n
n
Un = q ×U0 = 3500 × (1, 03) .
b) U10 = 3500 × (1, 03)10 ≈ 4703, 7 .
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