Suites numériques II - Les suites arithmétiques

Suites numériques
II - Les suites arithmétiques
1. Définition :
Une suite de terme général u n est une suite arithmétique si chaque terme s’obtient en ajoutant
une constante au terme précédent. Cette constante est alors appelée raison de la suite.
u n +1 = u n + r
avec r constante (raison de la suite)
Une suite arithmétique est donc déterminée par la donnée de :
- Son premier terme
- Sa raison
Pour prouver qu’une suite est arithmétique, il faut démontrer que la différence u n + 1 − u n est
constante (indépendante de n ).
Exemple :
Ecrire quelques termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
1, 3, 5, 7, 9, 11…
Ce sont les entiers impairs.
2. Expression du terme général d’une suite arithmétique en fonction du
premier terme et de la raison :
u0
u1 = u 0 + r u 2 = u 1 + r = u 0 + r + r = u 0 + 2 r u 3 = u 0 + 3 r ...
un = u0 + nr
Si le premier terme est u 1 :
u1 u 2 = u1 + r u 3 = u 2 + r = u1 + r + r = u1 + 2 r …
u n = u 1 + ( n − 1) r
On peut généraliser :
u n = ui + (n − i)r
© http://www.bacdefrancais.net
Suites numériques – II. Les suites arithmétiques
Page 1 sur 4
Par exemple u n = u 3 + ( n − 3 ) r
u 20 = u11 + 9 r
Exercice :
Soit la suite de premier terme u 0 = − 1 5 et de raison a = − 2
Exprimer le terme général u n en fonction de n .
Solution :
un = −15 − 2n
Maintenant, calculer le onzième terme.
Le onzième terme est : u 1 0
u10 = − 1 5 − 2 0 = − 3 5
Exercice :
Soit la suite de premier terme u 1 = 3 et de raison a =
1
2
Exprimer le terme général u n en fonction de n .
Solution :
u n = u 1 + ( n − 1) ×
1
n
1
7
n
= 3+
−
=
+
2
2
2
2
2
Exercice :
Soit la suite de arithmétique u n telle que u 1 0 = − 3 2 et u 5 = − 7
Exprimer le terme général u n en fonction de n et du premier terme u 0 à déterminer .
Solution :
u10 = u 5 + 5 r
−32 = −7 + 5r
5r = −25
r = −5
donc u n = u 0 − 5 n
u10 = u 0 − 5 0 = − 3 2
u0 = −32 + 50 = 18
donc u n = 1 8 − 5 n
© http://www.bacdefrancais.net
Suites numériques – II. Les suites arithmétiques
Page 2 sur 4
3. Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique :
On cherche :
S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n − 1 + u n
Trouvons la formule :
S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n − 1 + u n
S = u n + u n − 1 + u n − 2 + ... + u 1 + u 0
Donc :
S + S = 2 S = ( u 0 + u n ) + ( u 1 + u n − 1 ) + ( u 2 + u n − 2 ) + ... + ( u n − 1 + u 1 ) + ( u n + u 0 )
u0 + un = u0 + u0 + nr = 2u0 + nr
u 1 + u n − 1 = u 0 + r + u 0 + ( n − 1) r = 2 u 0 + n r
u2 + un−2 = u0 + 2r + u0 + (n − 2)r = 2u0 + nr
…
Donc 2 S = ( n + 1) ( 2 u 0 + n r )
Nombre de termes dans la somme
S =
Valeur de chaque terme
( n + 1) ( u 0 + u n )
2
A retenir :
Si u n est le terme général d’une suite arithmétique, la somme de ses termes vaut :
S =
n b d e te r m e s ( 1 e r t e r m e + d e r n i e r t e r m e )
2
Applications :
Soit la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 4.
Calculer la somme des 10 premiers termes.
Calculer la somme des 100 premiers termes.
Calculer la somme du 10ème au 20ème termes inclus.
Notons le premier terme u 0 = 1
© http://www.bacdefrancais.net
Suites numériques – II. Les suites arithmétiques
Page 3 sur 4
Somme des 10 premiers termes : S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u 9
u9 = 1 + 9r = 37
1 0 (1 + 3 7 )
S =
= 190
2
Somme des 100 premiers termes : S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u 9 9
u 99 = 1 + 9 9 r = 3 9 7
1 0 0 (1 + 3 9 7 )
39800
S =
=
= 19900
2
2
Somme du 10ème au 20ème termes inclus (11 termes en tout).
u10 = 1 + 1 0 r = 4 1
u 20 = 1 + 2 0 r = 8 1
1 1( 4 1 + 8 1)
1342
S =
=
= 671
2
2
4. Sens de variation d’une suite arithmétique :
u n +1 − u n = r
(raison de la suite)
Une suite arithmétique de raison r est :
Croissante si r est positif
Décroissante si r est négatif.
© http://www.bacdefrancais.net
Suites numériques – II. Les suites arithmétiques
Page 4 sur 4