PANORAMA 14 - Du cercle aux corps ronds

PANORAMA 14 - Du cercle aux corps ronds
14.1 Cercle et circonférence
Cercle: ligne fermée dont tous les points sont à égale distance d’un même point appelé le
centre.
Rayon : segment ou longueur d’un segment reliant un point quelconque du cercle au centre.
Corde : segment reliant deux points quelconques d’un cercle.
Diamètre : segment ou longueur d’un segment reliant deux points du cercle et passant par le
centre. C’est la plus longue corde du cercle.
Relation liant le rayon et le diamètre
d
d = 2r et r =
d : diamètre
2
r : rayon
Tracer un cercle à partir de 3 points non alignés
€
•
•
Ex :
Trois points non alignés déterminent
un et un seul cercle.
Toutes les médiatrices des cordes d’un
cercle se rencontrent au centre de ce
cercle
Voici les étapes de la construction d’un
cercle passant par les points A, B et C.
Circonférence
C’est la longueur du contour d’un cercle ou le périmètre d’un cercle. On peut calculer la
circonférence à partir du diamètre du cercle ou à partir du rayon.
C = πd
€
Ex :
ou
C = 2πr
On prend «3,1416» comme valeur pour π .
€
Voici comment on peut calculer la circonférence d’un cercle de diamètre 1,28 cm et de
rayon 0,64 cm.
1. C = πd = π ×1,28 ≈ 4,02cm
2. C = 2πr = 2 × π × 0,64 ≈ 4,02cm
€
€
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14.2 Angle au centre et arc de cercle
Angle au centre : il est formé de deux rayons. Le sommet de l’angle correspond au centre du
cercle. Ex : ∠AOB est un angle au centre.
Arc de cercle : correspond à la portion de cercle délimitée par deux points.
Ex : Les arcs AB et APB sont des arcs de cercle.
€
€
€
Mesure d’un arc de cercle
La mesure d’un arc de cercle peut être donnée de deux façons :
•
En DEGRÉS
Même mesure que celle de l’angle au centre qui intercepte l’arc.
Ex : m∠AOB = 30°
alors
mAPB = 30°
€
•
En unités de LONGUEUR (mm, cm, dm, …)
Mesure de l' angle au centre en ° longueur de l' arc en unités de longueur
=
360°
circonférence du cercle
*Cette formule peut servir à trouver le rayon ou le diamètre d’un cercle si on possède toutes les
autres informations. Voir à la fin du document.
€
Ex :
Avec un rayon de 8 cm et un angle au centre de 30°, la mesure de l’arc de cercle
se calculerait ainsi :
Mesure de l’arc de cercle (x)
30°
x
=
360° 2π (8cm)
30°(16π cm)
360°
x ≈ 4,19cm
x=
€
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14.3 Disque et secteur
Disque : région du plan délimitée par un cercle.
Aire d' un disque = πr 2
Ex :
€
Trouve l’aire d’un disque ayant un diamètre de 12,4 cm.
r=
d 12,4
=
= 6,2cm
2
2
Aire du disque = π (6,2) 2 ≈ 120,76cm 2
€
€
Secteur : portion de disque délimitée par deux rayons.
Formule pour calculer l’aire d’un secteur
Mesure de l' angle au centre en ° aire du sec teur
=
360°
aire du disque
*Cette formule peut servir à trouver le rayon d’un cercle si on
possède toutes les autres informations. Voir à la fin du document.
€
Ex :
Trouve l’aire du secteur dont l’angle au centre est de 70° si le rayon du cercle est de
3,5m.
Aire du secteur (x)
70°
x
=
360° π (3,5) 2 m 2
x=
70°(π (3,5) 2 m 2 )
360°
x ≈ 7,48 m 2
€
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14.4 Corps ronds et aire du cylindre
FAMILLE DES SOLIDES
POLYÈDRES
CORPS RONDS
Solide limité par des faces planes qui sont des Solide limité par au moins UNE FACE
polygones.
COURBE.
Prismes
Pyramides
Cylindre
Cône
Sphère
Cylindre circulaire droit
La surface d’un cylindre droit est constituée de 3 faces : deux disques et un rectangle.
Aire totale du cylindre = ( Aire des bases) + ( Aire latérale)
Aire totale du cylindre = 2πr 2 + 2πrh
où
€
r : rayon
h : hauteur
Ex1 : Trouve l’aire totale d’un cylindre droit ayant un rayon de 6 cm et une hauteur de 9 cm.
Aire totale du cylindre
= 2π (6) 2 + 2π (6)(9)
= 72π + 108π
≈ 565,49cm 2
€
Ex2 : Trouve la HAUTEUR d’un cylindre droit dont l’aire latérale est de 430 cm2 et dont le
rayon est de 6 cm.
Aire latérale cylindre = 2πrh
430 = 2π (6)h
€
€
430 12πh
=
12π 12π
h ≈ 11,41cm
€
€
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Problèmes du pano 14 impliquant une mesure manquante
P1 :
La circonférence d’un cercle est de 14,5 cm. Trouve la mesure du rayon de ce cercle.
C = 2πr
14,5 = 2πr
14,5 2πr
=
2π
2π
r ≈ 2,31cm
P2 :
€
Dans un cercle, une longueur d’arc de 11,52 cm correspond à un angle au centre de
110 °. Trouve la mesure du rayon de ce cercle.
110° 11,52cm
=
360°
2πr
110° × 2πr = 360° ×11,52cm
220πr = 4147,2
220πr 4147,2
=
220π
220π
r ≈ 6cm
P3 :
€
Dans un cercle, l’aire d’un secteur est de 7,48 m2 et le secteur correspond à un angle au
centre de 70°. Trouva la mesure du diamètre de ce cercle.
70° 7,48cm 2
=
360°
πr 2
70° × πr 2 = 360° × 7,48cm 2
70πr 2 = 2692,8
70πr 2 2692,8
=
70π
70π
r 2 ≈ 12,24
r = 12,24 ≈ 3,5 m
d = 2r = 2(3,5) = 7 m
€
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Notes personnelles et autres exemples
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