Des outils pour les suites
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Des outils pour les suites
Des outils pour les suites Suites arithmético-géométriques Définition : On appelle suite arithmético-géométrique toute suite récurrente de la forme : où a et b sont des nombres réels. Quelques cas particuliers : • Si 0, la suite est constante à partir de . • Si 1, il s’agit d’une suite arithmétique de raison b. • Si 0, il s’agit d’une suite géométrique de raison a. Dans la suite nous ne nous intéresserons qu’aux cas où a est différent de 0 et de 1 et b est différent de 0. On se propose de trouver la forme explicite d’une telle suite. La méthode est standardisée : a) Recherche du point fixe On résout l’équation 1– Solution acceptable puisque a n’est pas égal à 1. Posons 1 On trouve b) Construction d’une suite auxiliaire : On considère la suite définie pour tout entier n par Proposition : La suite est une suite géométrique de raison a. Démonstration : On a pour tout entier n Or par construction donc La suite est bien une suite géométrique de raison a. c) Expression explicite de , puis de On a On a donc , On a de plus Et donc , Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 Définition : On appelle suite récurrente linéaire d’ordre 2 (ou double) toute suite récurrente de la forme suivante : , Cas particuliers : Si 0, on a pour tout n, et donc 1, . La suite est donc géométrique à partir du rang 1. On aura donc 1, ! Si de plus 1, on aura 1, La suite est donc constante à partir du rang 1 : 1, Equation caractéristique On se place dans le cas général, c’est-à-dire on considère dans la suite que " 0. On appelle équation caractéristique de la suite l’équation d’inconnue x suivante : On écrit cette équation sous la forme : 0 On résout cette équation en calculant : Δ 4 4 Suivant la valeur de Δ, il y a une, deux ou pas de solutions à cette équation. Dans la suite nous ne nous intéresserons qu’aux cas Δ 0 a) Cas où : ; 0 L’équation caractéristique a deux solutions distinctes que l’on note souvent < et < . On a √ 4 √ 4 < ou < 2 2 Cherchons deux nombres A et B tels que l’on ait : @ A S @< A< Ce système peut être résolu par substitution. On a : @ A S B A < A< On en tire < < et @ A < < < < Ces deux quantités existent puisque < " < . Montrons par récurrence que , @< A< Pour 0, on a @ A par définition de A et de B. On a de plus @< A< @ A Donc @< A< Pour 1, on a @< A< . On a de plus @< A< @< A< Donc @< A< La formule est donc vérifiée pour 0 et 1. On a 0, montrons que si @< A< et @< A< , alors @< A< @< A< @< A< @< < A< < Or par définition < et < sont solutions de l’équation Donc < < < < Donc Il y a bien hérédité et donc @< < A< < @< < A< < @< A< , @< A< Théorème : Soit une suite définie par la donnée de , celle de et telle que : 0, Soit l’équation caractéristique de cette suite. Si C 4 est strictement positif, cette équation a deux solutions distinctes < et < . @ A . Soit A et B les solutions du système @< A< Alors on a : , @< A< b) Cas où ∆ E Dans ce cas puisque " 0, on a nécessairement " 0. En effet ∆ 4. Si ∆ 0 et 0, alors on a 0 0 4 et donc 0. L’équation caractéristique a alors qu’une seule solution. < 2 D’après ce que nous avons dit plus haut, <"0 Posons @ L’équation d’inconnue B <@ A a pour solution : < A < Montrons par récurrence que : , < @ A Pour 0, on a par définition : @ On a aussi < @ A F 0 @ Donc < @ A F 0 Pour 1, on a par définition : <@ A On a aussi < @ A F 1 <@ A Donc < @ A F 1 La formule est vérifiée pour 0 et 1. On a 0, montrons que si < @ A et < @ A 1, alors < @ A 2 < G@ A 1H < @ A < @ < A < A< On sait que r est solution de l’équation , donc < < et donc : < @< A< A< On sait également que < donc 2< et donc : < @< A< 2A< < @ A 2A < @ A 2 Il y a donc hérédité et l’on a : , < @ A I On a donc le théorème suivant : Théorème : Soit une suite définie par la donnée de , celle de et telle que : 0, avec " 0 Soit l’équation caractéristique de cette suite. Si C 4 0, cette équation a une solution non nulle r @ . Soit A et B les nombres réels tels que <@ A Alors on a : , < @ A L’inégalité des accroissements finis C’est une inégalité très importante dont nous verrons des applications nombreuses. Il a deux formes. On considère une fonction K dérivable sur un intervalle I. On suppose qu’il existe deux nombres réels m et M tels que L, M N K O N P Soit Q la fonction définie sur I par Q K M La fonction Q est dérivable comme différence de fonction dérivable. On a L, QO K O M D’après l’hypothèse on a L, QO 0 La fonction Q est donc croissante sur I. Soit et deux nombres réels de l’intervalle I tels que N . L’inégalité simple On a donc Donc Donc Et donc Q N Q K M N K M M M N K K M N K K On montrerait de la même façon que la fonction R définie sur I par : R P K est une fonction croissante. On en déduit donc que pour le même couple , tel que N , on a : K K N P En rassemblant les deux inégalités, on en tire que M N K K N P On a donc le théorème suivant : Théorème : Soit K une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, telle qu’il existe deux nombres réels M et P et que L, M N K O N P Alors L, L avec N , on a : M N K K N P Remarque : Dans le cas où l’intervalle I est un intervalle fermé S, TU, on démontre et nous admettrons que l’hypothèse de dérivabilité peut se limiter à l’intervalle ouvert U, TS, la continuité étant simplement requise en en en T. On remplacera la phrase : K définie et dérivable sur I par : K continue sur S, TU, et dérivable sur U, TS. On a un résultat identique sur un intervalle semi-ouvert. En pratique, dans la plupart des problèmes la fonction est dérivable sur tout l’intervalle et la distinction ne se pose plus. Une application de ce théorème : Ce théorème permet de construire des inégalités. Prenons un exemple simple et classique : La fonction ln est dérivable sur ]0, ∞S. Elle est donc dérivable sur tout intervalle S1, WU où W est un nombre réel supérieur à 1. On a 1 ln X La dérivée est une fonction décroissante. Sa restriction à l’intervalle S1, WU est donc telle que : 1 1 S1, WU, N N 1 W Donc d’après l’inégalité des accroissements finis, on a : On en déduit que 1 W 1 N lnW ln1 N 1W 1 W W L’inégalité en valeur absolue 1, W1 N lnW N W 1 W On considère une fonction dérivable sur un intervalle I (on a bien entendu les mêmes remarques que dans le cas précédent si I est un intervalle fermé ou semi-ouvert). On suppose qu’il existe un nombre réel positif Y tel que : L, |K O | N Y On peut donc écrire L, Y N K O N Y On peut donc appliquer l’inégalité des accroissements finis. Soit et deux nombres réels de l’intervalle I. Si N , on aura Y N K K N Y Et donc en repassant aux valeurs absolues : |K K | N Y Si N , on aura Y N K K N Y Et donc en repassant aux valeurs absolues : |K K| N Y Dans le premier cas, puisque N , on a 0 et donc | | Dans le second cas, on a | | Donc dans les deux cas le second membre peut s’écrire Y| | De plus on sait que deux nombres opposés ont la même valeur absolue, or les quantités K K et K K sont opposées, donc |K K| |K K | Les deux inégalités se ramènent à une seule et ceci quelles que soient les places de et . |K K | N Y| | On a donc le théorème suivant : Théorème : Soit K une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, telle qu’il existe un nombre réel positif Y et que L, |K O N Y Alors L, L, on a : |K K | N Y| | Ce théorème est très souvent utilisé pour montrer la convergence de suites récurrentes surtout si la fonction génératrice est décroissante. Un exemple : On considère la fonction K définie par : K √2 ln 1) Montrer que le domaine de définition de K est l'intervalle U0, [²U. 2) Déterminer les limites de K aux bornes de ce domaine. 3) Étudier les variations de K. 4) Montrer que l'image par K de l'intervalle S1, [U est contenue dans l'intervalle S1, [U. 5) Montrer que l'équation K admet une solution unique sur l'intervalle S1, [U. 6) On considère la suite définie par récurrence pour tout entier naturel par : 1 et K a. Montrer à l'aide de l'inégalités des accroissements finis que : 1 | | N ] ^ | | 2 b. En déduire que 1 , | | N 1 ] ^ 2 c. Quelle est la limite de la suite quand tend vers +∞ ? .