3ème FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES N15

Collège F. Joliot Currie Lallaing
3ème
FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES
N15
A) FONCTION LINEAIRE:
1) Définition :
Une fonction f est linéaire si elle peut s’écrire sous la forme f : x a a × x où a est un nombre relatif
fixé.
Une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité.
Le nombre relatif a est alors un coefficient de proportionnalité.
2) Exemples :
f : x a 3x est une fonction linéaire dont le coefficient a = 3.
g : x a 5(x – 2) + 10 est aussi linéaire car 5(x – 2) + 10 = 5x – 10 + 10 = 5x
Elle est bien de la forme x a a × x avec a = 5.
3) Représentation graphique :
La représentation graphique d’une fonction linéaire
dans un repère est une droite passant par l’origine.
On peut y lire le coefficient a.
Ici, par exemple, f(x) = 2,5x.
On dit alors que 2,5 est le coefficient directeur ou la
pente de la droite.
B) FONCTION AFFINE :
1) Définition :
Une fonction f est affine si elle peut s’écrire sous la forme f : x a a x + b où a et b sont des nombres
relatifs fixés.
2) Exemples :
f : x a 3x + 2 est une fonction affine avec a = 3 et b =2.
3x – 2 3
2
3x – 2
g:x a
est aussi affine car
= x–
4
4
4
4
3
2
Elle est bien de la forme x a a x + b avec a = et b = –
4
4
3) Représentation graphique :
La représentation graphique d’une fonction affine
dans un repère est une droite.
On peut y lire le coefficient a de la même façon
que
pour les fonctions linéaires.
Le point d’intersection de l’axe des ordonnées et de
la droite a pour ordonnée b.
On appelle alors cette valeur l’ordonnée à l’origine.
Ici, par exemple, f(x) = -2x + 4.
L’ordonnée à l’origine est b =4.
Le coefficient directeur est a = -2.
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3ème
MEDIANE, QUARTILES ET ETENDUE
N19
A) DEFINITIONS:
1) Médiane :
La médiane m d’une série statistique est une valeur (de la série ou non) telle que :
- Au moins 50% des valeurs de la série sont supérieures ou égales à la médiane m.
- Au moins 50% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à la médiane m.
2) Quartiles :
Le premier quartile Q1 d’une série statistique est la valeur de la série telle que :
- Au moins 25% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q1.
Le troisième quartile Q3 d’une série statistique est la valeur de la série telle que :
- Au moins 75% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q3.
3) Etendue :
L’étendue e d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs de la
série.
B) EXEMPLES :
1) Sous forme de liste :
On pose la question suivante : « Combien de fois allez vous chez le coiffeur par an ? »
Les réponses sont : 5 – 2 – 7 – 5 – 3 – 6 – 10 – 6 – 4 – 5 – 7
On range les réponses dans l’ordre croissant : 2 ≤ 3 ≤ 4 ≤ 5 ≤ 5 ≤ 5 ≤ 6 ≤ 6 ≤ 7 ≤ 7 ≤ 10
L’effectif total est 11, et donc impair. 11 = 5 + 1 + 5, donc la médiane est la 6ème valeur de la série.
Donc m = 5 fois
C'est-à-dire qu’au moins la moitié des personnes va chez le coiffeur au maximum 5 fois par an et
au moins la moitié des personnes y va au minimum 5 fois par an.
11 : 4 = 2,75. Le premier quartile est donc la 3ème valeur de la série.
Donc Q1 = 4 fois
11 : 4 × 3 = 8,25. Le troisième quartile est donc la 9ème valeur de la série.
Donc Q3 = 7 fois
C'est-à-dire qu’au moins un quart des personnes va chez le coiffeur 4 fois par an au maximum, et
les trois quarts des personnes y vont 7 fois au maximum.
L’étendue e quant à elle vaut : e = 10 – 2 = 8 fois.
2) Sous forme de tableau:
On pose la question suivante : « Combien allez vous de fois au cinéma par an ? »
Les réponses sont rangées dans le tableau suivant :
Nombre de fois
Effectifs
0
1200
1
560
2
95
3
425
4
845
5
320
6
265
L’effectif total est 3710 et donc pair. 3710 = 1855 + 1855,
donc la médiane est entre la 1855ème et 1856ème valeur.
1200+560+95=1855, la 1855ème valeur est dans la classe « 2 fois » et la 1856ème dans la classe « 3 fois ».
Donc m = 2,5 fois.
3710 : 4 = 927,5 donc Q1 est la 928ème valeur qui est dans la classe « 0 fois »
Donc Q1 = 0 fois.
3710 : 4 × 3 = 2782,5 donc Q3 est la 2783ème valeur de la série.
1200+560+95+425=2280 et 1200+560+95+425+845=3125.
La 2783ème valeur est donc dans la classe « 4 fois ».
Donc Q3 = 4 fois.
L’étendue e = 6 – 0 = 6 fois.
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LES IDENTITES REMARQUABLES
N22
Dans la suite, a et b sont des nombres relatifs
A) LE CARRE D’UNE SOMME :
( a + b )² = a² + 2ab + b²
Ex :
(2x + 3)²
=
=
(2x)² + 2×2x×3 + 3²
4x² + 12x + 9
B) LE CARRE D’UNE DIFFERENCE :
( a – b )² = a² – 2ab + b²
Ex :
(4 – 3x)²
=
=
=
4² – 2×4×3x + (3x)²
16 – 24x + 9x²
9x² – 24x + 16
C) PRODUIT DE LA SOMME PAR LA DIFFERENCE :
( a + b )(a – b) = a² – b²
Ex :
(5x + 2)(5x – 2) =
25x² – 4
D) PROBLEMES :
1) Calcul mental :
Calculer mentalement le produit de 102 par 98
102 × 98
=
(100 + 2) (100 – 2)
=
100² – 2²
=
10 000 – 4 = 9 996
2) Programme de calcul :
-Choisis un nombre entier.
-Calcule le carré de l’entier suivant le nombre choisi.
-Retire au résultat le carré de l’entier précédant le nombre choisi.
Explique pourquoi le résultat est toujours un multiple de 4 (c’est-à-dire dans la table de multiplication par 4).
Essai : je choisis 9
L’entier suivant est 10 ; l’entier précédant est 8.
On calcule donc 10² – 8² = 100 – 64 = 36 , ce nombre est bien un multiple de 4.
Cas général : je choisis un nombre n
L’entier suivant est n + 1 ; l’entier précédant est n – 1
On calcule donc (n + 1)² – (n – 1)²
On développe et on réduit :
[ n² + 2n + 1 ] – [ n² – 2n + 1 ]
= n² + 2n + 1 – n² + 2n – 1
= 4n
Ce nombre est bien un multiple de 4.
3) En géométrie :
Quelle doit être la valeur de x pour que l’aire A comprise entre les deux carrés soit
égale à 10 cm² ?
A = (x + 2)² – x² = 10 cm²
x² + 4x + 4 – x² = 10
4x + 4 = 10
4x = 6
x = 6 : 4 = 1,5cm
Il faut donc que x soit égal à 1,5cm pour obtenir une aire A de 10cm².
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FACTORISATIONS
N25
A) GENERALITES :
1) Définition :
Factoriser une expression, c’est transformer une somme en produit en utilisant les formules de
développement « à l’envers ».
2) Exemple numérique:
45 × 99,98 + 45 × 0,02 = 45 × (99,98 + 0,02) = 45×100 = 4500
K× A
+ K× B = K× ( A + B )
B) FACTORISER UNE EXPRESSION LITTERALE EN UTILISANT KA + KB = K(A+B) :
1) Exemple 1 :
2x × 3 – 2x × 4x = 2x ( 3 – 4x )
K×A–K×B = K(A–B)
K est appelé le facteur commun de l’expression.
2) Exemple 2 :
( 4x + 5) ( 2x + 3) + (x – 4 ) (4x + 5) = (4x + 5) [ (2x + 3) + (x – 4) ]
K
A
+
B
K
=
K (
A
+
B
)
= (4x + 5) ( 2x + 3 + x – 4 )
= (4x + 5) ( 3x – 1)
C) FACTORISER UNE EXPRESSION LITTERALE EN UTILISANT LES IDENTITES REMARQUABLES :
1) a² + b² + 2ab = (a + b)² :
4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²
a² + 2ab + b² avec a = 2x ; b = 3 et 2ab = 2×2x×3 = 12x
Attention ! On ne peut pas toujours factoriser une expression.
x² + 5x + 16
a² + 2ab + b² avec a = x ; b = 4 et 2ab = 2×x×4 = 8x ≠5x donc on ne peut pas factoriser cette expression.
2) a² – b² = (a + b) (a – b):
(4x – 5)² – 25 =
A² – B² =
=
=
[ (4x – 5) + 5 ] × [ (4x – 5) – 5 ]
[
A +B ] × [
A – B ] avec A = 4x – 5 et B = 5
( 4x – 5 + 5 ) × ( 4x – 5 – 5 )
4x ( 4x – 10)
D) APPLICATIONS :
Résoudre l’équation 2x (5x + 2) – (5x + 2)(x + 6) = 0
On ne peut pas résoudre cette équation en l’état : il faut d’abord factoriser le membre de gauche.
2x ( 5x + 2) – (5x + 2)(x + 6) = (5x + 2) [ 2x – (x + 6) ]
= (5x + 2) ( 2x – x – 6)
= (5x + 2) ( x – 6 )
Il suffit alors de résoudre l’équation produit nul (5x + 2)(x – 6) = 0
5x + 2 = 0
ou
x – 6= 0
5x = -2
x=6
x = -2 : 5 = -0,4
Les solutions de l’équation sont x = -0,4 et x = 6
(Voir BAO N26)
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EQUATIONS DIVERSES ET INEQUATION
N26
A) EQUATION :
La résolution des équations suivantes suppose que l’on maîtrise les techniques de la BAO N24
1) Du second degré :
3x² + 4x – 3 = x + 5
4x² + 1 = 2x² +7
2x² + 4 = -3 – 6x²
4x² - 2x² = 7 – 1
2x² + 6x² = -3 – 4
On ne peut généralement pas résoudre
2x² = 6
8x² = -7
cette équation au collège
x² = 3
x² = -7/8
Une solution consisterait à factoriser si
x = 3 ou x = - 3
cela est possible (voir BAO N25).
Cette
équation
n’a
pas
de
solution
car
Les solutions de cette équation sont
x²
est
toujours
positif.
3 et - 3
2) Produit en croix :
5x + 3 4
=
2x – 1 3
On écrit l’égalité des produits en croix :
On développe et on résout :
15x + 9 = 8x – 4
15x – 8x = -4 – 9
-7x = -13
-13 13
x=
=
-7
7
(5x + 3)×3 = (2x – 1)×4
3) Produit nul :
Un produit est nul signifie qu’obligatoirement, l’un de ses facteurs est nul.
(4x + 3) ( 2x – 5) = 0
signifie que
4x + 3 = 0
ou
2x – 5 =0
4x = - 3
2x = 5
5
-3
x=
x=
2
4
-3 5
Les solutions de cette équation sont donc et .
4 2
B) INEQUATION :
1) Règle:
On ne change pas une inégalité :
-En additionnant (ou soustrayant) à chacun de ses membres un même nombre relatif.
-En multipliant (ou divisant) chacun de ses membres par un même nombre strictement positif.
Si on multiplie (ou divise) ses membres par un nombre négatif, alors on change le sens de l’inégalité.
2) Exemple :
Résoudre une inéquation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x vérifiant l’inégalité.
Comme il y en a généralement une infinité, on les représente sur une droite graduée par un coloriage.
La technique est la même que pour les équations : il faut juste faire attention à la dernière division.
5x + 3 < 3x + 8
5x – 3x < 8 – 3
2x < 5
x < 5 : 2 (on ne change pas le sens car 2 est positif)
x < 2,5
2x – 4 ≤ 6x + 10
2x – 6x ≤ 10 + 4
-4x ≤ 14
x ≥ 14 : (-4) (on change le sens car -4 est négatif)
x ≥ -3,5
Le crochet tourné vers l’extérieur du coloriage car la valeur
2,5 ne vérifie pas l’inégalité.
Le crochet tourné vers l’intérieur du coloriage car la valeur
-3,5 vérifie l’inégalité.
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SYSTEMES
N27
A) SYSTEME DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES:
1) Définition :
Une solution d’un système de deux équations à deux inconnues x et y est un couple (x ; y) de valeurs qui
sont solutions de la première équation et de la deuxième équation.
2) Exemple :
⎧5x + 2y = 17
⎨
⎩2x + 4y = 10
Le couple (3 ; 1) est solution du système car 5×3+2×1=17 et 2×3+4×1=10
Le couple (1 ; 6) n’est pas solution du système car 5×1+6×2=17 mais 2×1+4×6=26≠10
B) RESOLUTION PAR SUBSTITUTIONS :
1) Cas favorable :
On utilisera cette méthode lorsqu’on peut isoler facilement l’une des deux inconnues.
2) Exemple :
⎧3x + y = 10
E1
⎨
E2
⎩2x + 0,5y = 4
On isole y dans l’équation E1 : y = 10 – 3x
On remplace y dans E2 par l’expression obtenue : 2x + 0,5(10 – 3x) = 4
On obtient une équation à une inconnue que l’on peut résoudre facilement après développement.
2x + 0,5×10 – 0,5×3x = 4
2x + 5 – 1,5x = 4
0,5x = -1
x = -2
On remplace le résultat obtenu dans l’expression du début : y = 10 – 3×(-2) = 16
⎧3 × ( − 2 ) + 16 = 10
On fait la vérification dans E1 et E2 : ⎨2 × ( − 2 ) + 0,5 × 16 = 4 donc (-2 ; 16) est solution du système.
⎩
C) RESOLUTION PAR COMBINAISONS :
1) Propriété :
¾ Si on multiplie ou on divise les membres d’une équation par un même nombre non nul, alors on
obtient une nouvelle équation qui admet le même ensemble de solutions.
¾ Si on additionne ou soustrait membre à membre les termes de deux équations qui admettent le même
ensemble de solutions, alors on obtient une nouvelle équation qui admet le même ensemble de
solutions.
2) Exemple :
⎧3( x + 2 ) + 2y = 5 − x
⎨
⎩4y + 2x = 3 + y
On présente chaque équation sous la « bonne » forme : les inconnues dans le membre de gauche et les
nombres dans le membre de droite.
⎧3x
⎨
⎩4y
⎧4x + 2y = − 1
+ 6 + 2y + x = 5
E1
⎨
donc
+ 2x − y = 3
E2
⎩2x + 3y = 3
On veut « éliminer » l’inconnue x.
⎧4x + 2y = − 1 E1
- ⎨4x + 6y = 6 2 × E2
⎩
- 4y = -7
-7
y = = 1,75
-4
⎧4 × ( − 1,125 ) + 2 × 1,75 = − 1
Vérification : ⎨2 × ( − 1,125 ) + 3 × 1,75 = 3
⎩
On veut « éliminer » l’inconnue y.
⎧12x + 6y = − 3
3 × E1
- ⎨4x + 6y = 6 2 × E2
⎩
8x
= -9
-9
x = = -1,125
8
donc (-1,125 ; 1,75) est solution du système.
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GENERALITES SUR LES FONCTIONS
N28
A) GENERALITES :
1) Définition :
Une fonction est un processus qui, à un nombre,
fait correspondre un autre nombre.
Si f est le nom de la fonction, au nombre x, elle fait
correspondre son image que l’on note f(x). On dit
que x est un antécédent de f(x).
On note f : x a f(x)
2) Exemple :
f : x a x² - 5x +11
L’image de 3 se note f(3). f(3) = 3² - 5×3 + 11 = 5
On dit que 5 est l’image de 3. On dit que 3 est un antécédent de 5.
2 est aussi un antécédent de 5 car f(2) = 2² - 5×2 + 11 = 5
B) TABLEAU DE VALEURS :
Un tableau de valeurs indique certaines images d’une fonction f.
En général, par ce procédé, seules quelques images sont données et la fonction f n’est connue qu’en partie.
Exemple :
Le tableau ci-dessous détermine en partie la fonction f qui, à la masse x d’une lettre, associe le prix du timbre
en euros.
Masse x en grammes 15
30
45
60
Prix f(x) en euros
0,54 0,86 0,86 1,30
On lit par exemple que f(15) = 0,54.
On peut remarquer que 0,86 a 2 antécédents qui sont 30 et 45.
Enfin, le tableau ne permet pas de connaître le prix du timbre pour une lettre de 55g.
C) REPRESENTATION GRAPHIQUE :
1) Définition :
La représentation graphique d’une fonction f dans un repère est l’ensemble des points
de coordonnées (x ; f(x) ) lorsque x varie.
2) Exemple :
On appelle V la fonction qui à x associe le volume obtenu en retirant un petit cube de x cm
d’arête à un cube de 5cm d’arête.
C'est-à-dire que V(x) = 5×5×5 – x×x×x
donc V : x a 125 – x3
La valeur minimale de x est 0 et la valeur maximale est 5.
Dressons un tableau de valeurs, puis reportons dans le repère les points correspondants.
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
V(x) 125 124,875 124 121,625 117 109,375 98 82,125 61 33,875 0
140
120
100
80
60
40
20
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
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3ème
LA RACINE CARREE
N29
Dans toute cette leçon, a et b sont des nombres entiers, positifs si nécessaire.
A) DEFINITION :
1) Définition :
On appelle « racine carrée du nombre positif a » le nombre positif x tel que x² = a.
On note ce nombre a.
Ex : 36 = 6 car 6² = 36
100 = 10 car 10² = 100
2) Propriété :
( a )2 = a
Ex : ( 3 )2 = 3
3) Remarque
La racine carrée d’un nombre est toujours positive.
Il n’existe pas de nombre positif qui soit la racine carrée d’un nombre négatif.
B) CALCUL AVEC LES RACINES CARREES :
1) Calcul sous le radical:
Dans un enchaînement de calcul, on commence toujours par les calculs sous le radical.
Ex :
( 3 + 4 ÷ 2 ) × 20 = ( 3 + 2 ) × 20 = 5 × 20 = 100 = 10
2) Règles :
a× b= a×b
Ex :
3× 12 = 3 × 12= 36 = 6
a
=
b
a
b
50 : 2 = 50 ÷ 2 = 25 = 5
3) Calculer une expression et donner le résultat sous la forme a + b
Par exemple, en développant :
(3 + 4 2) (3 2 – 5)
= 3×3 2 – 3×5 + 4 2×3 2 – 4 2×5
=
9 2 – 15 + 12×( 2)² – 20 2
=
9 2 – 20 2 – 15 + 12×2
=
-11 2
+7
=
7 – 11 2
C) DIFFERENTES ECRITURES D’UNE RACINE CARREE :
1) Mettre sous la forme a b, avec b le plus petit possible.
72
= 36 × 2 = 36× 2
= 6 2
2) Mettre une expression sous la forme a b avec b le plus petit possible.
20 + 3 80 – 8 45
=
4 × 5 + 3× 16 × 5 – 8× 9 × 5
=
4× 5 + 3× 16× 5 – 8× 9× 5
=
2 5 + 3×4× 5 – 8×3× 5
=
2 5 + 12 5 – 24 5
=
-10 5
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3ème
EXPERIENCE ET PROBABILITE
N30
A) VOCABULAIRE :
1) Expérience aléatoire :
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard.
Les résultats possibles sont les issues.
Ex :
On jette un dé à 6 faces. Les issues sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6.
2) Evénement :
On appelle événement une affirmation en relation avec une expérience aléatoire.
Elle correspond à une ou plusieurs issues. On note un événement par une lettre majuscule.
Ex :
On note A l’événement : « j’obtiens un chiffre pair avec le dé ». Il correspond aux issues 2 ; 4 et 6.
B) PROBABILITE : APPROCHE EXPERIMENTALE :
1) Définition :
On répète plusieurs fois une expérience aléatoire et on calcule la fréquence qu’a un événement A de se produire.
On remarque qu’à partir d’un très grand nombre de répétitions, cette fréquence reste presque constante.
Ce nombre est une valeur approchée de la probabilité de l’événement A.
On note cette probabilité p(A). Elle est comprise entre 0 et 1.
Plus elle est proche de 0, plus l’événement est rare. Plus elle s’approche de 1, plus l’événement est courant.
2) Exemple :
Résultat
1
2
3
4
5
6
Effectif
212930
213568
213512
212250
213538
212625
On jette un dé à 6 faces 1 278 423 fois
Fréquence 0.16655 0.16705 0.16701 0.16602 0.16703 0.16631
•
•
Si A est l’événement « obtenir 3 avec le dé », alors p(A) ≈ 0,167
Si B est l’événement « obtenir un chiffre pair avec le dé » alors il suffit d’ajouter les fréquences
correspondant aux résultats pairs (c'est-à-dire 2 , 4 et 6) : p(B) ≈ 0,16705 + 0,16602 + 0,16631 ≈ 0,5
• Si C est l’événement « obtenir un chiffre inférieur à 10 », alors cela est toujours vrai : p(C) = 1
Parfois, les fréquences et les probabilités sont données en pourcentage (voir BAO N17)
Par exemple, p(B) ≈ 0,5 peut être donnée sous la forme p(B) ≈ 50% .
On dit parfois que B a 50 chances sur 100 de se réaliser (c’est-à-dire, après simplification, 1 chance sur 2)
C) CALCUL DE PROBABILITES :
1) Propriété :
Dans certains cas, on peut calculer la valeur exacte de ces probabilités en utilisant la formule :
Nombre d’issues favorables
Probabilité =
Nombre d’issues total
2) Exemples :
¾ On jette un dé à 6 faces.
• A est l’événement «obtenir 3 avec le dé »
On a 1 issue favorable (quand le résultat est 3) sur 6 issues au total. Donc p(A) = 1/6 ≈ 0,167(ou 16,7% )
• B est l’événement « obtenir un chiffre pair ».
On a 3 issues favorables (quand le résultat est 2,4 ou 6) sur 6 issues au total. Donc p(A) = 3/6 = 0,5 (ou 50% )
• C est l’événement « obtenir 3 avec le dé ou obtenir un chiffre pair », c'est-à-dire « A ou B ».
On a 4 issues favorables (quand le résultat est 3, 2, 4 ou 6) sur 6 issues au total. P(C) = 4/6.
Comme A et B ne peuvent se produire en même temps, on dit qu’ils sont incompatibles.
On aurait pu alors additionner les probabilités p(A) et p(B), ce qui donne p(C) = 1/6 + 3/6 = 4/6
¾ On choisit un élève au hasard dans une classe de 25 élèves. On sait qu’il y a 10 garçons.
• A est l’événement « l’élève choisi est un garçon ».
On a 10 issues favorables sur 25 issues au total. Donc p(A) = 10/25 = 0,4 (ou 40%)
L’événement « l’élève choisi n’est pas un garçon » est appelé événement contraire de A, que l’on note « non A »
Comme il y a 40% de chance que A se réalise, p(non A) = 100% – 40% = 60% (ou 1 – 0,4 = 0,6)
D) EXPERIENCE A DEUX EPREUVES :
On considère par exemple le jeu qui consiste à jeter une pièce et à piocher dans une urne contenant deux boules bleues et une
boule rouge. On gagne si l’événement A : « obtenir pile et piocher une boule rouge » se réalise. Quelle est sa probabilité ?
Que l’on présente les résultats en arbre ou en
tableau, on obtient 1 cas favorable sur 6 résultats
possibles :
p(A) = 1/6 , c'est-à-dire que l’on a 1 chance sur 6
de gagner à ce jeu.
Collège F. Joliot Currie Lallaing
3ème
ARITHMETIQUE : LE PGCD
N31
A) DEFINITIONS:
Dans la suite, a et b sont toujours deux nombres entiers.
1) Diviseurs :
Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul,(voir BAON8) , on dit alors que :
b est un diviseur de a
ou a est divisible par b
ou
a est un multiple de b
Exemple : 8 est un diviseur de 128 car 128 = 8 × 16
2) Diviseurs communs de deux nombres:
On appelle diviseur commun de a et b tout nombre qui est diviseur de a et diviseur de b.
Exemple :
Cherchons les diviseurs de 36
Cherchons les diviseurs de 92
36 = 1×36
92 = 1×92
36 = 2×18
92 = 2×46
36 = 3×12
92 = 4×23
36 = 4×9
36 = 6×6
Les diviseurs de 36 sont
Les diviseurs de 92 sont
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36
1 ; 2 ; 4 ; 23 ; 46 ; 92
Les diviseurs communs sont 1 , 2 et 4
3) Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres :
Parmi les diviseurs communs de a et b, il en existe un qui est « le plus grand »
Ce nombre s’appelle le plus grand diviseur commun et se note PGCD( a ; b )
Dans l’exemple précédent, PGCD(92 ; 36) = 4.
B) UNE METHODE : L’ALGORITHME D’EUCLIDE
1) Méthode:
2) Exemples:
Calcul du PGCD(3094 ; 546)
3094 : 546 ≈ 5,66…
donc 3094 = 546×5 + 364
Le reste est 0 ? non
546 : 364 = 1,5
donc 546 = 364×1 + 182
Le reste est 0 ? non
364 : 182 = 2
donc 364 = 182×2 + 0
Le reste est 0 ? oui
donc PGCD(3094 ; 546) = 182
3) Remarques :
Quand le PGCD de deux nombres a et b est égal à 1, alors on dit que ces deux nombres sont premiers
entre eux. Cela signifie en pratique que le seul diviseur commun à a et b est 1.
a
Dans ce cas, la fraction est irréductible.
b
320
Exemple :
est-elle irréductible ?
2079
2079 = 320×6 + 159 Le reste est 0 ? non
320 = 159×2 + 2
Le reste est 0 ? non
159 = 2×79 + 1
Le reste est 0 ? non
2 = 1×2 + 0
Le reste est 0 ? oui
donc PGCD(320 ;2079) = 1
et donc la fraction est irréductible.
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3ème
GRANDEURS ET UNITES
N32
A) GRANDEUR SIMPLE:
VOIR B.A.O. N33
B) GRANDEUR PRODUIT :
1) Définition :
Une grandeur produit s’obtient en faisant le produit de deux grandeurs.
Les unités se déduisent de celles des autres grandeurs :
Si u1 est l’unité de la première grandeur et u2 l’unité de la deuxième, alors on note u1u2 l’unité de la
grandeur produit. Certaines peuvent cependant avoir un nom particulier.
2) Exemples :
• L’aire est le produit de deux longueurs : l’unité est le m.m , que l’on note m².
• La puissance électrique est le produit de la tension (en Volt) par l’intensité (en Ampère): l’unité
est le VA appelé aussi Watt (W).
• L’énergie électrique est le produit de la puissance électrique (Watt) par la durée (heure) : l’unité
est le Wh
3) Problème :
• Une ampoule a une puissance de 20W. Calculer en kWh l’énergie qu’elle consomme en une
journée
E = 0,020 kW×24 h = 0,48 kWh.
• Un four électrique d’une puissance de 2,1 kW fonctionne 50 min. Calculer l’énergie consommée
en kWh.
50
50
50 min =
h donc E = 2,1 kW ×
h = 1,75 kWh.
60
60
• Combien de temps doit fonctionner la lampe précédente pour consommer autant que le four ?
1,75 kWh : 0,020 kW = 87.5 h = 87 h 30 min.
C) GRANDEUR QUOTIENT:
1) Définition :
Une grandeur quotient s’obtient en faisant le quotient de deux grandeurs.
Les unités se déduisent de celles des autres grandeurs :
Si u1 est l’unité de la première grandeur et u2 l’unité de la deuxième, alors on note u1/u2 ou u1.u2-1 l’unité
de la grandeur quotient. Certaines peuvent cependant avoir un nom particulier.
2) Exemples :
• La vitesse est le quotient de la distance (km) par le temps (h) : l’unité est le km/h ou km.h-1
• La masse volumique est le quotient de la masse (kg) par le volume (m3) : l’unité est le kg/m3.
• La résistance électrique est le quotient de la tension (V) par l’intensité (A) : l’unité est le V/A que
l’on appelle aussi l’ohm (Ω)
3) Problèmes :
•
Convertir 72 km/h en m/s.
72 km/h = 72km : 1h = 72 000m : 3600s = 20 m/s
• Le débit d’une fuite d’une canalisation est de 1,8L/h.
Quelle quantité d’eau (en mL) est gaspillée en 10 minutes ?
Quelle quantité d’eau (en hL) est gaspillée chaque jour ?
1,8 L/h = 1,8L / 1 h = 1800 mL / 60 min = 30 mL/min
En 10 minutes, on va donc gaspiller 30×10=300 mL
1,8L/h = 1,8L / 1h = 0,018 hL / 1h = 0,018 hL/h
En 24 h, on va gaspiller 0,018×24 = 0,432 hL.
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3ème
POLYGONES REGULIERS ET ANGLES
G12
A) POLYGONES REGULIERS :
1) Définition :
Un polygone régulier est un polygone dont les côtés et les angles sont égaux.
2) Propriétés:
Tout polygone régulier est inscrit dans un cercle.
Les angles au centre formés par 2 sommets consécutifs et le centre de ce cercle ont tous la même mesure.
360°
Elle est égale à
où n est le nombre de côtés du polygone.
n
3) Exemples :
n=3
n=4
n =5
n =6
Triangle équilatéral
Carré
Pentagone régulier
Hexagone régulier
B) ANGLES INSCRITS ET ANGLE AU CENTRE :
1) Définitions :
Etant donné un arc c
EF d’un cercle de centre O :
•
L’angle au centre interceptant c
EF est l’angle a
EOF .
•
Un angle inscrit interceptant c
EF est un angle a
EMF où M
est un point quelconque du cercle.
2) Théorèmes :
Tous les angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même
mesure : c’est la moitié de la mesure de l’angle au centre qui
intercepte cet arc.
Ici :
a
EMF et a
ENF sont des angles inscrits qui interceptent c
EF donc a
EMF = a
ENF = a
EOF : 2 = 32°
a
EOF est l’angle au centre qui intercepte c
EF
3) Exemple :
Dans un décagone régulier ABCDEFGHIJ,
l’angle au centre a
COD = 360° :10 = 36°.
a
CAD est un angle inscrit interceptant c
CD, donc
a
CAD = a
COD :2 = 18°
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3ème
BOULES ET SPHERES
G16
A) SPHERE ET BOULE:
1) Définitions :
La sphère S de centre O et de rayon R est l’ensemble des points situés à la distance R du point O.
La boule B de centre O et de rayon R est l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à R de O.
2) Exemples :
A appartient à S et à B car OA = R.
N
M et N n’appartiennent pas à S car OM≠R et ON≠R.
A
M
M appartient à B car OM < R .
O
N n’appartient pas à B car ON > R
3) Sections :
On appelle P un plan passant par un point D, et tel que (OD) est perpendiculaire à P.
Si OD=R, alors la section de S par le plan P est un unique point : on dit que P est tangent à S en ce point D.
Si 0<OD<R, alors la section de S par le plan P est un cercle de centre D et de rayon inférieur à R.
Si OD=0, alors la section de S par le plan P est le cercle de centre D et de rayon R.
D
D
O
D
O
O
4) Aire et volume :
L’aire A d’une sphère de rayon R est donnée par la formule A = 4 π R²
4π R3
Le volume V d’une boule de rayon R est donné par la formule V =
3
B) AUTRES SECTIONS : PRISMES ET CYLINDRES
1) Par un plan parallèle à la base
H
D
H
D
G
A
C
C
B
E
La section d’un cylindre ou d’un prisme droit par un plan
parallèle à la base est une figure de même nature que la
base et de mêmes dimensions.
E
A
A
F
B
B
D
2) Par un plan perpendiculaire à la base
H
D
H
A
D
G
C
E
C
La section d’un cylindre ou d’un prisme droit par un
plan perpendiculaire à la base est un rectangle.
E
G
B
E
A
F
A
B
F
B
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3ème
THALES
G22
A) LE THEOREME DE THALES :
1) Théorème :
Si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, alors elles déterminent deux triangles
dont les côtés sont proportionnels.
2) Exemples :
Dans les 2 figures ci-dessous, (MN) et (BC) sont
parallèles et AM=3cm ; AB=5cm ; AC=6cm et
BC=7cm. On va calculer MN et AN.
On utilise le théorème de Thalès :
Ici :
donc
(BM) et (NC) sont sécantes en A et (MN) // (BC)
AM AN MN
=
=
AB AC BC
3 AN MN
=
=
5
6
7
5×AN = 3×6 donc AN = 18 : 5 = 3,6cm
5×MN = 3×7 donc MN=21 : 5 = 4,2cm
B) LA RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES :
1) Théorème :
Si deux droites sécantes coupées par deux autres droites déterminent deux triangles dont les côtés sont
proportionnels et dans une « situation de Thalès », alors ces deux droites sont parallèles.
2) Exemple :
Dans la figure ci-contre, OB=ON=3cm ; OC=4,5cm
et OM=2cm. Démontrons que (BC) // (MN)
D’une part,
OB 3
= = 1,5
OM 2
D’autre part,
OC 4,5
=
= 1,5
ON 3
On utilise la réciproque du théorème de Thalès :
Ici :
M, O et B sont alignés dans le même ordre que N, O et C et
donc
(BC) // (MN)
OB OC
=
OM ON
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3ème
TRIGONOMETRIE
G26
A) VOCABULAIRE:
[AC] est l’hypoténuse du triangle ABC
[BC] est le côté adjacent de l’angle d
C
[AB] est le côté opposé de l’angle d
C
[BC] est le côté opposé de l’angle d
A
[AB] est le côté adjacent de l’angle d
A
B) SINUS ET TANGENTE :
1) Définitions :
Le Sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au quotient
côté opposé de l’angle
hypoténuse
BC
Sin(d
A)=
AC
AB
Sin(d
C)=
AC
La Tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au quotient
AB
Tan (d
C)=
BC
BC
Tan (d
A)=
AB
2) Astuce :
CA/H
SO/H
⎧⎪
TO/A ⎨
⎪⎩
Adjacent
Hypoténuse
Opposé
Sinus =
Hypoténuse
Opposé
Tangente =
Adjacent
Cosinus =
3) Exemple :
a) Calculer AH, BH puis HC (arrondis à 0,1cm)
AH
Dans ABH rectangle en H : sin( 55° ) =
8
AH = 8×sin( 55° ) ≈ 6,6cm
BH
Dans ABH rectangle en H : cos( 55°) =
8
BH = 8×cos( 55°) ≈ 4,6cm
HC = 14 – 4,6 = 9,4cm
b) Calculer la mesure de l’angle d
C (arrondi à
1°)
AH 6,6
=
Dans ACH rectangle en H : tan( d
C )=
HC 9,4
d
C = tan-1(6,6 : 9,4) ≈35°
C) FORMULES :
x étant la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle:
sin(x)
tan(x) =
cos(x)
sin(x) ² + cos(x) ² = 1
côté opposé de l’angle
côté adjacent de l’angle
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3ème
AGRANDISSEMENT ET REDUCTION
G27
A) DEFINITION:
VOIR B.A.O. G21
B) EFFET SUR LES AIRES :
1) Propriété :
Après un agrandissement ou une réduction de coefficient k , les aires sont multipliées par k².
2) Exemple :
S
Une pyramide ABCDES dont l’aire de la base vaut 34cm² est coupée par un plan
parallèle à la base. Ce plan détermine alors une section IJKLM telle que SJ=6cm.
On sait de plus que SB=10cm. Quelle est l’aire de IJKLM ?
M
I
L
K
J
E
A
D
C
B
On utilise le théorème de Thalès dans le triangle SBC :
(JK) // (BC) , J appartient à [SB] et K appartient à [SC] donc
SK JK SJ
=
=
= 6/10 = 0,6
SC BC SB
De la même manière, dans les autres faces latérales, on démontre que
JK KL ML
=
=
= …etc… = 0,6.
BC CD ED
IJKLM est donc une réduction de ABCDE, dont le coefficient de réduction est 0,6.
On en déduit alors que l’aire de IJKLM vaut 34×0,6² = 12,24cm²
C) EFFET SUR LES VOLUMES :
1) Propriété :
Après un agrandissement ou une réduction de coefficient k , les volumes sont multipliés par k3.
2) Exemple :
S
C
O
A
B
Un cône de révolution C de hauteur [SA] et dont la volume vaut 180cm3
est coupé par un plan parallèle à la base, et passant par O le milieu de
[SA].
La section obtenue est alors un cercle de rayon [OC].
Quel est le volume du cône C’ de sommet S et de base le disque de rayon
[OC] ?
On utilise le théorème de Thalès dans le triangle SBA :
(AB) // (OC) , O appartient à [SA] et C appartient à [SB] donc
OC SO 1
=
= = 0,5 (car O est le milieu de [SA] )
AB SA 2
Le cône C’ est donc une réduction du cône C dont le coefficient de
réduction est 0,5.
On en déduit alors que le volume de C’ vaut 180×0,53 = 22,5 cm3