Comparaison des fonctions au voisinage d`un point

DOCUMENT 29
Comparaison des fonctions au voisinage d’un point
Pour tout x0 ∈ R on pose :
• Vx0 = {]x0 − η, x0 + η[| η > 0} si x0 ∈ R;
• Vx0 = {]a, +∞[| a ∈ R} si x0 = +∞ et Vx0 = {] − ∞, a[| a ∈ R} si x0 = −∞ .
Un élément de Vx0 est appelé un voisinage de x0 . L’ensemble des voisinages de x0 est stable par
intersection.
Pour tout x0 ∈ R, on désigne par Fx0 l’ensemble des fonctions définies dans un voisinage de x0 .
Cet ensemble est stable par addition, multiplication par une constante, multiplication.
1. Les relations de domination et de prépondérance
Définition 29.1. Soit f et g deux éléments de Fx0 .
On dit que f est dominée par g au voisinage de x0 s’il existe V ∈ Vx0 et M > 0 tels que :
∀x ∈ V
| f (x) |≤ M | g(x) |
On dit que f est négligeable devant g ou que g est prépondérante devant f au voisinage de x0
si, pour tout > 0, il existe V ∈ Vx0 tel que :
∀x ∈ V
| f (x) |≤ | g(x) |
On désigne respectivement par O(g) et o(g) l’ensemble des fonctions dominées par g et
l’ensemble des fonctions négligeables devant g au voisinage de x0 . Il est clair que o(g) ⊂ O(g) ⊂
Fx0 . Parfois, par abus d’écriture, on note O(g) et o(g) un élément quelconque de ces ensembles
(c’est souvent le cas dans l’écriture des développements limités). On peut aussi écrire Ox0 (g) et
ox0 (g) lorsque différentes valeurs de x0 interviennent. Remarquons que:
• Si f ∈ O(g) et si lim g(x) = 0 alors lim f (x) = 0.
x→x0
x→x0
• La fonction f est négligeable devant une fonction constante non nulle si et seulement
si lim f (x) = 0.
x→x0
Théorème 29.1. On a f ∈ o(g) si et seulement si, il existe dans Fx0 une fonction tel que
lim (x) = 0 et f (x) = (x)g(x) pour tout x d’un voisinage de x0 . Si g ne s’annule pas dans
x→x0
f (x)
=0
g(x)
On a un résultat analogue pour la relation de domination en remplaçant la fonction ε par une
fonction M bornée dans un voisinage de x0 .
un voisinage de x0 alors, f ∈ o(g) équivaut à lim
x→x0
311
312
29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D’UN POINT
Preuve. Supposons f ∈ o(g) et soit ε = 1. Il existe V1 ∈ Vx0 tel que si x ∈ V1 alors
f (x)
|f (x)| ≤ |g(x)|. On définit sur V1 une fonction par (x) = 0 si g(x) = 0 et (x) =
si
g(x)
g(x) 6= 0. On a, pour tout x ∈ V1 , f (x) = (x)g(x). C’est évident si g(x) 6= 0 et si g(x) = 0
alors |f (x)| ≤ |g(x)| entraine f (x) = 0. Soit ε > 0. Il existe V2 ∈ Vx0 tel que x ∈ V2 implique
|f (x)| ≤ ε|g(x)| et si x ∈ V1 ∩ V2 alors |(x)| ≤ ε. On a donc lim (x) = 0.
x→x0
Réciproquement, supposons qu’il existe une fonction , définie sur un voisinage V1 de x0 ,
telle que lim (x) = 0 et f (x) = (x)g(x) pour tout x ∈ V1 . Soit ε > 0. Il existe V2 ∈ Vx0 tel
x→x0
que si x ∈ V1 ∩ V2 , |(x)| < ε. Pour x ∈ V1 ∩ V2 , |f (x)| = |(x)||g(x)| < ε|g(x)| et donc f ∈ o(g).
Dans le cas où f ∈ O(g), on définit une fonction M comme la fonction ε précédente mais
cette fois M est seulement bornée dans un voisinage de x0 .
En utilisant les caractérisations des relations de domination et de prépondérance obtenues
dans ce théorème, ainsi que celle de la relation d’équivalence, la plupart des preuves de ce
document sont élémentaires et utilisent les trois résultats suivants :
• Le produit de deux fonctions bornées au voisinage de x0 est une fonction bornée au
voisinage de x0 .
• Le produit d’une fonction bornée au voisinage de x0 par une fonction de limite nulle
en x0 est une fonction de limite nulle en x0 .
• Le produit de deux fonctions de limite nulle en x0 est une fonction de limite nulle en
x0 . (C’est un cas particulier du résultat précédent.)
Exemples. 1) Au voisinage de +∞ on a xα ∈ o(ex ) et ln x ∈ o(xα ) si α > 0. Si 0 < α < α0
0
0
alors xα ∈ o(xα ) et eαx ∈ o(eα x ).
2) La fonction f possède un développement limité d’ordre n au voisinage de 0, f (x) = a0 +
a1 x+· · ·+an xn +xn (x) avec lim (x) = 0, si et seulement si f (x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn +o(xn ).
x→0
Cela entraine f (x) = a0 +a1 x+· · ·+an−1 xn−1 +O(xn ) mais cette dernière écriture n’entraine pas
que f a un développement limité d’ordre n. Elle implique seulement que f a un développement
limité d’ordre n − 1 car O(xn ) ⊂ o(xn−1 ).
1
3) Soit f : R → R définie par f (0) = 0 et f (x) = e− x2 pour x 6= 0. On a, pour tout
1
e− x2
−u2 n
n ∈ N, lim e u = 0 (voir le document 30) d’où lim
= 0 et donc f (x) ∈ o(xn ).
u→±∞
x→0, x6=0 xn
Désignons par χ(x) la fonction caractéristique de Q et posons g(x) = f (x)χ(x). Comme
|χ(x)| ≤ 1, on a encore g(x) ∈ o(xn ) ce qui entraine que la fonction g possède des développements
limités de tous ordres au voisinage de 0. Cette fonction est continue et dérivable en 0 et 0 est le
seul point où elle est continue. Comme elle n’est pas continue dans un voisinage de 0, elle n’est
pas deux fois dérivable en 0.
1.1. Propriétés des relation binaires de domination et de prépondérance.
Proposition 29.1. a) Les relations de prépondérance et de domination sont transitives. La
relation de domination est, de plus, réflexive (c’est un préordre).
b) Soit f , g, h trois éléments de Fx0 . Si f ∈ o(g) et g ∈ O(h) alors f ∈ o(h). De même, si
f ∈ O(g) et g ∈ o(h) alors f ∈ o(h)
2. L’ÉQUIVALENCE DES FONCTIONS
313
Preuve. Montrons par exemple que si f ∈ O(g) et g ∈ o(h) alors f ∈ o(h). Il existe une fonction
M bornée au voisinage de x0 et une fonction ε de limite nulle en x0 telles que f (x) = M (x)g(x)
et g(x) = ε(x)h(x) pour tout x d’un voisinage V de x0 . Pour tout x de V on a donc
lim M(x)ε(x) = 0
f (x) = M (x)ε(x)h(x) avec
x→x0
d’où f ∈ o(h).
On remplace parfois f ∈ o(g) par f << g. C’est la notation de Hardy qui est intéressante
lorsque on utilise la transitivité de la relation de prépondérance.
1.2. Opérations algébriques et relations de domination et de prépondérance.
Proposition 29.2. a) Les ensembles O(f ) et o(f ) sont des sous espaces vectoriels de Fx0
(stabilité pour l’addition et la multiplication par une constante)
b) Soit f1 , f2 , g1 , g2 dans Fx0 :
f1 ∈ O(g1 ) et f2 ∈ O(g2 )
⇒
f1 f2 ∈ O(g1 g2 )
f1 ∈ o(g1 ) et f2 ∈ O(g2 )
⇒
f1 f2 ∈ o(g1 g2 )
2. L’équivalence des fonctions
Définition 29.2. Deux fonctions f et g de Fx0 sont dites équivalentes au voisinage de x0
si f − g ∈ o(g). Cette relation est notée ∼.
Théorème 29.2. On a f ∼ g si et seulement si il existe une fonction ε dans Fx0 telle que
lim ε(x) = 0 et f (x) = (1 + ε(x))g(x) pour tout x d’un voisinage de x0 . Si g ne s’annule pas
x→x0
dans un voisinage de x0 alors, f ∼ g équivaut à lim
x→x0
f (x)
= 1.
g(x)
Preuve. Si f ∼ g alors f − g ∈ o(g) et il existe une fonction ε de limite nulle en x0 telle que
f (x) − g(x) = ε(x)g(x) pour tout x d’un voisinage V de x0 . Il en résulte f (x) = (1 + ε(x))g(x)
pour tout x de V . La réciproque est facile et si g ne s’annule pas dans un voisinage de x0 alors,
f (x)
f (x)
= 1 car
= 1 + ε(x).
f ∼ g équivaut à lim
x→x0 g(x)
g(x)
Proposition 29.3. La relation binaire ∼ est une relation d’équivalence.
Preuve. Seule la symétrie n’est pas évidente. Si f ∼ g alors il existe une fonction ε définie sur
un voisinage V de x0 et de limite nulle en x0 telle que, pour tout x de V , f (x) = (1 + ε(x))g(x).
Comme lim (1 + ε(x)) = 1, il existe un voisinage W de x0 sur lequel 1 + ε(x) > 0. Pour tout
x→x0
x ∈ V ∩ W , on a :
g(x) =
avec ε1 (x) = −
1
ε(x)
f (x) = (1 −
)f (x) = (1 + ε1 (x))f (x)
1 + ε(x)
1 + ε(x)
ε(x)
. On a lim ε1 (x) = 0 et donc g ∼ f .
x→x0
1 + ε(x)
L’intérêt de la notion de fonctions équivalentes est due , en grande partie, au résultat suivant
dont la preuve est une conséquence immédiate du théorème 29.2.
314
29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D’UN POINT
Théorème 29.3. Soit f et g deux fontions équivalentes de Fx0 . Si f possède une limite
quand x → x0 alors g possède la même limite quand x → x0 .
Pour la preuve, il suffit de dire que pour tout x d’un voisinage de x0 , g(x) = (1 + ε(x))f (x),
avec lim ε(x) = 0, et utiliser la proposition donnant la limite d’une somme et d’un produit de
x→x0
fonctions.
f
= 1 et f ∼ g au
x→x0 g
voisinage de x0 . En revanche, le résultat peut être faux si l = 0 ou si l est infini. Par exemple,
lim x = lim x2 = +∞ et on n’a pas x ∼ x2 au voisinage de l’infini. Si x tend vers 0, les
Si les fonctions f et g ont la même limite l ∈ R∗ lorsque x → x0 alors lim
x→+∞
x→+∞
mêmes fonctions donnent un exemple avec l = 0.
2.1. L’équivalence des fonctions et les opérations algébriques.
Proposition 29.4. a) La relation d’équivalence est compatible avec la multiplication:
pour f1 , f2 , g1 , g2 dans Fx0 , f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 impliquent f1 g1 ∼ f2 g2 .
b) Si f ∼ g et si f ne s’annule pas dans un voisinage de x0 alors 1/f ∼ 1/g.
c) Si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 alors, g2 ∈ o(g1 ) implique f1 + f2 ∼ g1 .
Preuve. La preuve de a) utilise le théorème 29.2. Pour b), on adapte la preuve la proposition
29.3. Donnons une preuve abrégée de c). Il existe des fonctions ε1 , ε2 et ε3 telles que
f1 (x) = (1 + ε1 (x))g1 (x), f2 (x) = (1 + ε2 (x))g2 (x), g2 (x) = ε3 (x)g1 (x)
d’où
f1 (x) + f2 (x) = (1 + ε1 (x) + ε3 (x) + ε2 (x)ε3 (x))g1 (x) et donc f1 + f2 ∼ g1 .
En général, l’équivalence des fonctions n’est pas pas compatible avec l’addition : au voisinage
de 0, 1 + x2 ∼ 1 + x, −1 ∼ −1 et x2 6∼ x. On a cependant le résultat suivant:
Proposition 29.5. Soit f1 , f2 , g1 , g2 dans Fx0 , f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 . S’il existe un voisinage
de x0 dans lequel f1 ≥ 0 et g1 ≥ 0 alors f1 + g1 ∼ f2 + g2 .
Preuve. Soit V le voisinage de x0 sur lequel f1 ≥ 0 et g1 ≥ 0 et ε1 , ε2 les fonctions de limites
nulles en x0 telles que
f2 (x) = (1 + ε1 (x))f1 (x), g2 (x) = (1 + ε2 (x))g1 (x).
Posons, pour x dans V , ε(x) = 0 si f1 (x) + g1 (x) = 0 et ε(x) =
ε1 (x)f1 (x) + ε2 (x)g1 (x)
si
f1 (x) + g1 (x)
f1 (x) + g1 (x) > 0. On a, pour tout x de V ,
f2 (x) + g2 (x) = (1 + ε(x))(f1 (x) + g1 (x)).
Pour tout x de V , |ε(x)| ≤ |ε1 (x)| + |ε2 (x)| : c’est clair si f1 (x) + g1 (x) = 0 et sinon
|
ε1 (x)f1 (x) + ε2 (x)g1 (x)
f1 (x)
g1 (x)
| ≤ |ε1 (x)|
+ |ε2 (x)|
≤ |ε1 (x)| + |ε2 (x)|.
f1 (x) + g1 (x)
f1 (x) + g1 (x)
f1 (x) + g1 (x)
Il en résulte que lim ε(x) = 0 et donc f1 + g1 ∼ f2 + g2 .
x→x0
Remarques. 1) En examinant la preuve précédente on voit qu’une condition suffisante pour
que f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 impliquent f1 + g1 ∼ f2 + g2 est que les fonctions f1 et g1 aient le même
2. L’ÉQUIVALENCE DES FONCTIONS
315
signe en chaque point d’un voisinage de x0 .
2) Au voisinage de 0, ex ∼ 1 + x et ex − 1 ∼ x mais la deuxième relation ne se déduit pas
correctement de la première en ajoutant −1 au deux membres car x → ex et x → −1 n’ont pas
le même signe au voisinage de 0. En revanche, la première relation implique ex + 1 ∼ 2 + x par
addition de la fonction positive x → 1.
2.2. La composition à droite (ou le changement de variables).
Proposition 29.6. Soit x0 et x1 deux élément de R, φ ∈ Fx0 , f ∈ Fx1 et g ∈ Fx1 . Si
lim φ(x) = x1 alors :
x→x0
f ∈ Ox1 (g)
f ∈ ox1 (g)
f ∼x1 g
⇒
⇒
⇒
f ◦ φ ∈ Ox0 (g ◦ φ)
f ◦ φ ∈ ox0 (g ◦ φ)
f ◦ φ ∼x0 g ◦ φ
Donnons une preuve de la troisième implication. Soit ε la fonction de limite nulle en x1 telle
que pour tout x d’un voisinage V de x1 , f (x) = (1 + ε(x))g(x). Supposons que φ soit définie sur
un voisinage W1 de x0 . Comme V est un voisinage de x1 et comme φ a la limite x1 quand x tend
vers x0 , il existe un voisinage W2 de x0 tel que φ(W1 ∩ W2 ) ⊂ V . L’ensemble W1 ∩ W2 est un
voisinage de x0 et, pour tout x de W1 ∩ W2 , on a f (φ(x)) = (1 + ε(φ(x)))g(φ(x)). L’application
du théorème sur la limite d’une fonction composée donne lim ε(φ(x)) = 0 d’où f ◦ φ ∼x0 g ◦ φ.
x→x0
Exemples.
1). On sait qu’au voisinage de 0, sin x ∼ x. Il en résulte qu’au voisinage de 0,
p
sin | x | ∼| x |, sin 3x2 ∼ 3x2 ... Au voisinage de 0, ln(1 + x) ∼ x et donc au voisinage de +∞,
ln(1 + 1/x) ∼ 1/x.
2). Au voisinage de +∞, ln x ∈ o(x) et donc ln ln x ∈ o(ln x) et x ∈ o(ex ).
Remarques. . 1) On remplace parfois dans la définition de la relation d’équivalence, les
voisinages par les voisinages pointés (i.e. privés du point x0 ). Si on adopte ce point de vue, la
proposition précédente peut être fausse. Par exemple, soit f : R → R définie par f (0) = 0 et,
1
pour x 6= 0, par f (x) = x cos . Soit aussi g : R → R définie par g(0) = 0 et g(x) = 1 si x 6= 0.
x
On a, au voisinage de 0, g ∼ 1 (avec les voisinages pointés) et lim f (x) = 0. En revanche, g ◦ f
x→0
n’est pas équivalent à 1 au voisinage de 0 car cette fonction n’a pas de limite quand x tend vers
0.
L’explication se trouve dans la preuve de la proposition 29.6. Cette preuve utilise le théorème
relatif à la limite d’une fonction composée et ce théorème est faux avec la notion de limite par
valeurs différentes. On peut énoncer un théorème de composition à droite pour les équivalents
définis à l’aide des voisinages pointés mais les hypothèses sont moins simples.
2) Il semble difficile de trouver des résultats intéressants concernant la composition à gauche.
Par exemple, au voisinage de 0, 1 + x ∼ 1 + x2 et ln(1 + x) 6∼ ln(1 + x2 ). De même au voisinage
2
2
de +∞, x2 ∼ x2 + x mais ex +x 6∼ ex .
2.3. L’équivalence des fonctions et les fonctions logarithme et exponentielle. En
utilisant le théorème 29.2, on voit que ef ∼ eg équivaut à lim (f (x) − g(x)) = 0 et donc, en
x→x0
général, il n’y a pas de lien entre l’équivalence de f et g et celle de ef et eg (considérer f (x) = x2
316
29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D’UN POINT
et g(x) = x2 + x au voisinage de +∞ puis h(x) = x et k(x) = x2 au voisinage de 0). Pour la
fonction logarithme on a:
Proposition 29.7. Soit f et g deux éléments de Fx0 strictement positifs dans un voisinage
de x0 . Si g admet une limite l ∈ R+ − {1} en x0 alors f ∼ g entraine ln f ∼ ln g.
Preuve. Comme l 6= 1, il existe un voisinage V de x0 sur lequel g ne prend pas la valeur 1.
Pour x ∈ V ,
ln f (x)
ln f (x) − ln g(x)
=
+ 1 = (x) + 1
ln g(x)
ln g(x)
f (x)
ln
f
g(x)
. Comme f ∼ g, la limite de existe quand x tend vers x0 existe et vaut 1.
avec (x) =
ln g(x)
g
La limite de son logarithme est donc 0 et lim (x) = 0. Finalement, ln f ∼ ln g.
x→x0
Si g n’admet pas de limite le résultat peut être faux ; considérer x0 = 0, f (x) = cos(1/x) + 2
et g(x) = ex f (x). Il en est de même si la limite de g est 1 : au voisinage de 0, 1 + x ∼ 1 et on
n’a pas ln(1 + x) ∼ ln 1.
2
2
On peut avoir ln f ∼ ln g sans que f ∼ g. Par exemple, au voisinage de +∞, ln ex ∼ ln ex +1
2
2
et on n’a pas ex ∼ ex +1 .
2.4. Intégration.
Proposition 29.8. Soit f une application dérivable au voisinage d’un point x0 .
(1) Si au voisinage de x0 , f 0 (x) ∈ o(x − x0 )n (resp. f 0 (x) ∈ O(x − x0 )n ) , n ∈ N, alors
f (x) − f (x0 ) ∈ o(x − x0 )n+1 (resp. f (x) − f (x0 ) ∈ O(x − x0 )n+1 ).
(x − x0 )n+1
(2) Si au voisinage de x0 , f 0 (x) ∼ (x − x0 )n , n ∈ N, alors f (x) − f (x0 ) ∼
n+1
Preuve. 1. Soit ε > 0. Il existe un voisinage V de x0 tel que pour tout x ∈ V , |f 0 (x)| ≤
ε|x − x0 |n . Si x > x0 et x ∈ V alors |f 0 (x)| ≤ ε(x − x0 )n et l’application du corollaire 31.4 sur
le segment [x0 , x] donne
(x − x0 )n+1
≤ ε(x − x0 )n+1 = ε|x − x0 |n+1 .
n+1
Si x < x0 et x ∈ V alors, dans le cas où n est impair, on a |f 0 (x)| ≤ −ε(x − x0 )n d’où par
application du corollaire 31.4 sur [x, x0 ],
|f (x) − f (x0 )| ≤ ε
(x − x0 )n+1
≤ ε(x − x0 )n+1 = ε|x − x0 |n+1 .
n+1
On obtient la même inégalité si n est pair et finalement (f (x) − f (x0 )) ∈ o(x − x0 )n+1 .
La preuve avec la relation de domination est similaire.
2. Si f 0 (x) ∼ (x − x0 )n alors f 0 (x) − (x − x0 )n ∈ o(x − x0 )n d’où
|f (x) − f (x0 )| ≤ ε
f (x) − f (x0 ) −
et donc f (x) − f (x0 ) ∼
(x − x0 )n
(x − x0 )n+1
∈ o(x − x0 )n+1 = o(
)
n+1
n+1
(x − x0 )n+1
.
n+1
2. L’ÉQUIVALENCE DES FONCTIONS
317
Remarques et exemples. 1). On n’a pas de résultats semblables avec la dérivation. Par
1
exemple, soit f : R → R définie par f (x) = x2 sin si x 6= 0 et f (0) = 0. Au voisinage de 0,
x
f (x) ∈ o(x) mais l’on n’a pas f 0 (x) ∈ o(1) car f 0 n’a pas de limite quand x tend vers 0.
2). On peut déduire facilement de la proposition précédente, le résultat usuel sur l’intégration
des développements limités ainsi que la formule de Taylor-Young (voir le document 31).
x2
1
∼ 1 d’où cos x − 1 ∼ − , ex − 1 ∼ x
3). Au voisinage de 0, − sin x ∼ −x, ex ∼ 1 et
1+x
2
et ln(1 + x) ∼ x.
2.5. Autres propriétés de l’équivalence des fonctions.
• Si f ∼ g alors il existe un voisinage V de x0 dans lequel f (x) et g(x) sont de même
signe.
• Si f ∼ g alors il existe un voisinage V de x0 dans lequel f (x) = 0 équivaut à g(x) = 0.
• si f ∼ g et si g est strictement positive dans un voisinage de x0 alors, pour tout α > 0,
f α ∼ gα.
• Si f est dérivable en x0 , avec f 0 (x0 ) 6= 0, alors f (x) − f (x0 ) ∼ (x − x0 )f 0 (x0 ).
Prouvons ce dernier résultat. On peut définir une fonction ε par ε(x0 ) = 0 et ε(x) =
f (x) − f (x0 )
− f 0 (x0 ) si x 6= x0 . On sait que lim ε(x) = 0 et f (x) − f (x0 ) = (x − x0 )(f 0 (x0 ) +
x→x0
x − x0
ε(x)) d’où si f 0 (x0 ) 6= 0,
f (x) − f (x0 ) = (x − x0 )f 0 (x0 )(1 +
ε(x)
)
f 0 (x0 )
et le résultat est démontré.
C’est cette dernière propriété qui permet de trouver les équivalents usuels des fonctions
élémentaires au voisinage de 0, chaque fois que la dérivée de la fonction n’est pas nulle en ce
point. Par exemple, sin x ∼ x, ln(1+x) ∼ x, ex −1 ∼ x, tan x ∼ x, ... Si la dérivée de la fonction
est nulle, il faut trouver une autre méthode. Par exemple, à partir de 1 − cos x = 2 sin2 (x/2),
x2
on obtient 1 − cos x ∼
en utilisant la proposition 29.4.
2
Par une preuve analogue et en utilisant la formule de Taylor-Young, on montre que si f
possède une premire dérivée non nulle en x0 , f (p) (x0 ), alors
f (x) − f (x0 ) ∼
(x − x0 )p (p)
f (x0 ).
p!
En utilisant ce résultat on peut obtenir cos x − 1 ∼ −
x2
au voisinage de 0 (ici p = 2).
2
Plus généralement, si f possède un développement limité du type
f (x) = f (x0 ) + ap (x − x0 ) + o((x − x0 )p ), ap 6= 0
au voisinage de x0 alors f (x) − f (x0 ) ∼ ap (x − x0 )p .
318
29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D’UN POINT
2.6. Exemples. 1). Trouver une fonction ”simple” équivalente au voisinage de +∞ à la
fonction f définie, pour x > 1, par :
ln(1 + x) x
f (x) = [
] −1
ln x
On a
ln(1 + x)
ln x + ln(1 + (1/x))
ln(1 + f (x)) = x ln
= x ln
= x ln(1 + g(x))
ln x
ln x
ln(1 + (1/x))
avec g(x) =
. Par changement de variables, ln(1 + x) ∼ x au voisinage de 0 donne
ln x
1
ln(1 + (1/x)) ∼ 1/x au voisinage de +∞, d’où g(x) ∼
. Par changement de variables,
x ln x
1
.
ln(1 + g(x)) ∼ g(x) car lim g(x) = 0. On a donc au voisinage de +∞, ln(1 + f (x)) ∼
x→+ :∞
ln x
x
et, en particulier, lim ln(1 + f (x)) = 0. Au voisinage de 0, e − 1 ∼ x, d’où par un dernier
x→+∞
changement de variables,
1
.
ln x
la fonction définie pour x > 1 par:
f (x) = eln(1+f (x)) − 1 ∼ ln(1 + f (x)) ∼
2). Soit (α, β, γ) ∈ R3 et fα,β,γ
fα,β,γ (x) = eαx xβ (ln x)γ
On a fα,β,γ ∈ o(fα0 ,β 0 ,γ 0 ) au voisinage de +∞ si et seulement si (α, β, γ) < (α0 , β 0 , γ 0 ) pour
l’ordre léxicogaphique sur R3 , c’est-à-dire si et seulement si α < α0 ou α = α0 et β < β 0 ou
α = α0 , β = β 0 et γ < γ 0 .
La preuve est facile en utilisant les résultats concernant les croissances comparées des fonctions exponentielles, puissances et logarithmes. Deux fonctions distinctes du type fα,β,γ sont
toujours comparables pour la relation de prépondérance (voir le document 30) et en utilisant le
lemme suivant on voit que leur ensemble est une partie libre de l’espace vectoriel des applications
de ]1, +∞[ dans R.
Lemme 29.1. Soit f1 , . . . , fn des applications définies dans un voisinage de x0 .
Si f1 ∈ o(f2 ), . . . , fn−1 ∈ o(fn ) et si f1 n’est pas identiquement nulle dans un voisinage
de x0 alors {f1 , . . . , fn } est une partie libre de l’espace vectoriel des fonctions définies dans un
voisinage de x0 .
La preuve est par récurrence sur n > 0. Le résultat est vrai pour n = 1 et s’il est vrai pour
n − 1 supposons qu’il existe λ1 , . . . , λn tels que,pour tout x d’un voisinage de x0 ,
λ1 f1 (x) + . . . + λn fn (x) = 0.
On a pour tout k < n, fk ∈ o(fn ) d’où
λ1 f1 + . . . + λn−1 fn−1 ∈ o(fn ).
Si λn 6= 0 alors
λ1 f1 + . . . + λn−1 fn−1 ∈ o(λn fn )
(x)
(λg(x)) et donc f ∈ o(g) ⇔ f ∈ o(λg).)
(Si λ 6= 0 alors f (x) = (x)g(x) ⇔ f (x) =
λ
et donc la proposition 29.2, partie c), entraine
λ1 f1 + . . . + λn fn ∼ λn fn
4. COMPLÉMENTS
319
ce qui est absurde car λn fn n’est pas identiquement nulle dans un voisinage de x0 (fn n’est pas
identiquement nulle dans un voisinage de x0 car f1 ne l’est pas et f1 ∈ o(fn )). On a donc λn = 0
et l’hypothèse de récurrence achève la preuve.
Le résultat précédent entraine par exemple que les fonctions x 7→ ex ,...,x 7→ enx ,... sont
linéairement indépendantes.
3. Applications
• Calcul de limites : c’est l’application classique de la notion de fonctions équivalentes.
On utilise le théorème 29.3.
• Convergence de séries ou d’intégrales, en particulier pour les séries et les intégrales de
Bertrand.
• Inégalités au voisinage d’un point. On a déjà vu que si f ∼ g au voisinage de x0 alors
f et g ont le même signe au voisinage de ce point. Si f ∈ o(g) au voisinage de x0 alors,
en prenant = 1 dans la définition de la relation de prépondérance on a |f (x)| ≤ |g(x)|
pour tout x d’un voisinage de x0 . Par exemple, de x100 ∈ o(ex ) au voisinage de +∞,
on déduit qu’il existe x0 tel que pour x > x0 on ait x100 < ex .
4. Compléments
4.1. Extension de la définition. Soit I une partie non vide de R et x0 ∈ R un point
d’accumulation de I. On peut remplacer Fx0 par l’ensemble Fx0 (I) formé des fonctions définies
sur un ensemble de la forme I ∩ V avec V ∈ Vx0 . La plupart des résultats précédents restent
valables (attention à la composition à droite) et un cas particulier très intéressant est x0 = +∞
et I = N. On obtient ainsi le cas des suites. On peut aussi prendre I =]x0 , +∞[, I =] − ∞, x0 [
ou I = R − {x0 }.
4.2. Applications aux intégrales généralisées. Soit a ∈ R, b ∈ R avec a < b. On
considère deux fonctions f et g continues sur [a, b[. Lorsque b ∈ R, les relations de domination,
de prépondérance et d’équivalence sont au voisinage de b et à gauche de b (extension de la
définition avec I =] − ∞, b[). Par exemple, f ∼ g signifie qu’il existe un voisinage V de b tel que
f et g soient définies sur V ∩] − ∞, b[ et une fonction définie sur V ∩] − ∞, b[ telle que, pour
tout x ∈ V ∩] − ∞, b[, f (x) = (1 + (x))g(x) avec lim (x) = 0.
x→b,x<b
• S’il existe un voisinage V de b tel que g ait un signe constant sur V ∩] − ∞, b[ alors
Z b
Z b
f ∼ kg, k 6= 0, implique que les intégrales
f (x) dx et
g(x) dx sont de même
a
a
nature.
• On suppose qu’il existe un voisinage V de b tel que f et g soient positives sur V ∩]−∞, b[
et que f ∈ O(g).
Z b
Z b
– Si
g(x) dx converge alors il en est de même pour
f (x) dx.
Za b
Z ba
– Si
f (x) dx diverge alors il en est de même pour
g(x) dx.
a
a
• On suppose qu’il existe un voisinage V de b tel que f et g soient positives sur V ∩]−∞, b[.
Z b
– Si
g(x) dx converge alors (au voisinage de b et à gauche)
a
320
29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D’UN POINT
Z b
g(x) dx).
f (x) dx ∈ O(
∗ f ∈ O(g) ⇒
Z bx
Z xb
g(x) dx).
f (x) dx ∈ o(
∗ f ∈ o(g) ⇒
Z b x
Z bx
g(x) dx.
f (x) dx ∼
∗ f ∼g⇒
x
x
Z b
g(x) dx diverge alors (au voisinage de b et à gauche)
– Si
a
Z x
Z x
g(x) dx).
f (x) dx ∈ O(
∗ f ∈ O(g) ⇒
Z ax
Z xa
∗ f ∈ o(g) ⇒
f (x) dx ∈ o(
g(x) dx).
Z xa
Z x a
∗ f ∼g⇒
f (x) dx ∼
g(x) dx.
Z
a
b
a