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A 2001 Math MP 2
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).
CONCOURS D’ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.
Cet énoncé comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Soit C l’espace vectoriel normé des fonctions réelles, définies sur le segment I = Ä?1, 1Å,
continues ; la norme de cet espace est la norme de la convergence uniforme, définie pour une
fonction f de C par la relation :
qfq =sup |fÂxÃ|.
x5I
Pour tout entier naturel n, l’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré
inférieur ou égal à n, est notée E n . Par abus de langage, la locution “ fonction polynomiale” est
remplacée par polynôme.
Première partie
Il est admis que, pour une fonction f donnée continue sur le segment I et un entier naturel
donné n, il existe un polynôme P n , de degré inférieur ou égal à n, tel que :
qf ? P n q = A n Âfà = infÆqf ? Pq P P 5 E n Ç.
Le but de cette partie est d’étudier l’erreur commise lors de la meilleure approximation d’une
fonction continue par une fonction polynomiale et de montrer le résultat : si f est une fonction
k-fois continûment dérivable sur I = Ä?1, 1Å, la meilleure approximation de la fonction f par un
polynôme de degré inférieur ou égal à n est telle que :
A n Âfà = o
1
nk
.
Soit j une fonction réelle définie sur l’intervalle I, bornée (il existe une constante M telle
- 1/7 -
que, pour tout réel x de I, |jÂxÃ| — M). À cette fonction j est associée la fonction g j , dite
“module de continuité de j”. Elle est définie sur la demi-droite ouverte Å0, KÄ de la manière
suivante :
Étant donné un réel h strictement positif, g j Âhà est égal à la borne supérieure des réels
|jÂxà ? jÂyÃ| sachant que x et y sont deux réels de l’intervalle I dont la valeur absolue de la
différence est majorée par h :
g j Âhà = sup |jÂxà ? jÂyÃ| ;
5 I 2 , |x ? y| — h .
x, y
I-1. Propriétés du module de continuité :
Soit j une fonction réelle définie et bornée sur le segment I.
a. Démontrer que le module de continuité de cette fonction j est une fonction croissante
définie sur la demi-droite ouverte Å0, KÄ.
b. Soient h et h´ deux réels strictement positifs, démontrer la propriété :
g j Âh + h´Ã — g j Âhà + g j Âh´Ã.
Soient h et V deux réels strictement positifs, n un entier supérieur ou égal à 1 ; démontrer les
relations suivantes :
gj n h
— n g j Âhà ;
gj V h
— Â1 + Và g j ÂhÃ.
c. Démontrer que la fonction j est uniformément continue sur le segment I si et seulement si
la limite du module de continuité g j en 0 est nulle :
j est uniformément continue sur I Îlim g j Âhà = 0.
h0
d. Démontrer que, si la fonction j est continûment dérivable sur le segment I, il vient pour
tout réel positif h :
g j Âhà — h qj´q.
I-2. Noyaux de Dirichlet et de Fejer :
Étant donné un entier n supérieur ou égal à 1 Ân ˜ 1Ã, soient D n et F n les fonctions définies
pour tout réel S par les relations suivantes :
n
D n ÂSÃ =
>e
n
ikS
k=?n
; F n ÂSÃ = 1n
> D k ÂSÃ.
k=0
Il est admis que la fonction F n vérifie les relations suivantes :
n?1
pour tout S différent de 2k^, k entier relatif, F n ÂSÃ =
>
k=?n+1
|k|
1 ? n e i k S = 1n
Soit K n la fonction définie dans l’ensemble R C 2^ Z par la relation suivante :
K n ÂSÃ = 1
Vn
sin n S/2
sinÂS/2Ã
où le réel V n est défini par la condition :
- 2/7 -
4
,
sin n S/2
sinÂS/2Ã
2
.
1
2^
2^
X0
K n ÂSÃ dS = 1.
a. Calculer le réel V n et déterminer une constante C telle que ce réel soit équivalent à l’infini
à C n 3 . Rappel :
n
> k2 =
1 nÂn + 1ÃÂ2n + 1Ã.
6
k=1
b. Soit J la fonction définie sur l’intervalle semi-ouvert Å0, ^/2Å par la relation suivante :
JÂtà =
1 ? 1.
t4
sin 4 t
Démontrer qu’il existe une constante A 1 telle que la fonction J soit équivalente en 0 à A 1 t ?2 .
En déduire que la fonction t Ð t 3 JÂtà est bornée sur l’intervalle Å0, ^/2Å. Soit A 2 un majorant de
cette fonction sur l’intervalle Å0, ^/2Å.
Soient I n et J n les deux intégrales suivantes :
In =
^/2
X0
sin 4 ÂntÃ
dt ;
t3
Jn =
^/2
X0
t JÂtà sin 4 ÂntÃdt.
Démontrer les deux propriétés suivantes :
lorsque l’entier n tend vers l’infini, I n i n 2 . X
pour tout entier naturel n, Ân ˜ 1Ã,
K
sin 4 t dt ;
t3
0
K
4
J n — A 2 n X sin2 t dt.
t
0
c. Démontrer l’existence d’une constante M 0 telle que, pour tout entier n supérieur ou égal à
1, il vienne :
1
0— ^
^
X0
1 + n t K n Âtà dt — M 0 .
I-3. Polynôme j n ÄgÅ :
Soit g une fonction paire définie sur la droite réelle périodique et de période 2^ ; étant donné
un entier n supérieur ou égal à 1, soit j n ÄgÅ la fonction définie par la relation suivante :
j n ÄgÅÂSÃ = 1
2^
^
X ?^ gÂS ? tà K n Âtà dt.
a. Démontrer que la fonction j n ÄgÅ est paire et est un polynôme de degré au plus égal à
2n ? 2.
b. Vérifier les inégalités suivantes :
|gÂSà ? gÂS ? tÃ| — g g Â|t|à —
1 + n |t| g g 1n ,
puis, en utilisant les résultats des questions précédentes, démontrer la majoration :
|gÂSà ? j n ÄgÅÂSÃ| — M 0 g g 1n .
- 3/7 -
Dans la suite l’entier n est supposé supérieur ou égal à 3 ; à l’entier n est associé l’entier p égal à
la partie entière du réel n/2. L’entier vérifie les inégalités :
p — n/2 < p + 1.
I-4. Polynôme associé à une fonction de l’espace C :
Soit f une fonction de l’espace C. À cette fonction f est associée la fonction g périodique de
période 2^, définie, pour tout réel S, par la relation :
gÂSÃ = fÂcos SÃ.
Soit P n la fonction définie sur l’intervalle I = Ä?1, 1Å par la relation : pour tout réel x de I,
P n Âxà = j p+1 ÄgÅÂArc cos xÃ.
L’entier p est la partie entière de n/2 définie ci-dessus.
a. Démontrer que la fonction P n est un polynôme (une fonction polynomiale) de degré au
plus égal à n. Il est admis que, pour tout entier naturel k, la fonction x Ð cos k Arc cos x est un
polynôme de degré k.
b. Démontrer, pour toute fonction f de l’espace C et tout entier n Ân ˜ 3Ã, la relation suivante
:
A n Âfà — 2 M 0 g f 1n .
La constante M 0 a été introduite à la question I-2.c et A n Âfà dans l’introduction de la partie I.
c. Établir le résultat préliminaire : soit f une fonction de l’espace C ; pour tout polynôme Q
de degré inférieur ou égal à n, il vient :
A n Âfà = A n Âf ? QÃ.
Démontrer, pour toute fonction f continûment dérivable sur le segment I = Ä?1, 1Å et tout entier
n, la relation ci-dessous entre A n Âfà et A n?1 f ´ :
A n Âfà — 2 Mn0 A n?1 f ´ .
d. Étant donné un entier k supérieur ou égal à 1 Âk ˜ 1Ã, soit f une fonction k-fois
continûment dérivable ; déduire du résultat précédent une majoration, pour tout entier n
supérieur strictement à k Ân > kÃ, de A n Âfà en fonction de A n?k f Âk à .
En déduire que, si f est une fonction k-fois continûment dérivable et n un entier croissant
indéfiniment, l’expression A n Âfà est un infiniment petit d’ordre supérieur à 1/n k .
A n Âfà = o
- 4/7 -
1
nk
.
SECONDE PARTIE
Le but de cette partie est, pour une fonction f donnée dans C, de construire une suite de
polynômes I n ÄfÅ, qui, lorsque la fonction f est continûment dérivable, converge uniformément
vers la fonction f.
Dans cette partie, l’entier n est fixé et est supérieur ou égal à 3 Ân ˜ 3Ã. Soit E 0n le
sous-espace de E n constitué des polynômes (fonctions polynomiales) nulles en ?1 et en 1.
II-1. L’espace préhilbertien E 0n :
a. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel E 0n ? Soit Âe k à 2—k—n la suite de polynômes
définie par la relation :
pour tout entier k, 2 — k — n,
e k Âxà = x k ? x k?2 .
Démontrer que la suite de ces polynômes est une base B de l’espace vectoriel E 0n .
b. Soit “ n l’endomorphisme de l’espace vectoriel E 0n défini par la relation suivante :
pour tout polynôme P de E 0n , “ n ÂPÃÂxà = Â1 ? x 2 à P´´ÂxÃ.
Démontrer que la matrice M n associée à l’endomorphisme “ n dans la base B est une matrice
triangulaire supérieure ; déterminer les éléments de la diagonale de cette matrice.
En déduire l’existence d’une base B´ définie par une suite de polynômes ÂQ k à 2—k—n qui
vérifient les relations suivantes :
pour tout entier k, 2 — k — n,
Â1 ? x 2 à Q k ´´Âxà = W k Q k .
Ces polynômes sont supposés unitaires (le coefficient du terme de plus haut degré est égal à
1). Préciser les coefficients W k , 2 — k — n et le degré des polynômes Q k .
c. À deux polynômes quelconques P et Q appartenant à l’espace vectoriel E 0n est associée
l’intégrale JÂP, QÃ définie par la relation suivante :
JÂP, QÃ =
X ?1
1
PÂxà QÂxÃ
dx.
1 ? x2
Démontrer que cette intégrale existe ; à quelle condition sur le polynôme P l’expression
JÂP, PÃ est-elle nulle ?
Il est admis dans la suite que l’application ÂP, QÃ Ð JÂP, QÃ de E 0n ¼ E 0n dans R est un
produit scalaire. Dans la suite le produit scalaire est noté Â. P .Ã :
ÂP P QÃ =
X ?1
1
PÂxà QÂxÃ
dx.
1 ? x2
d. Démontrer que la base B´ = ÂQ k à 2—k—n est orthogonale dans l’espace préhilbertien
P .ÃÃ.
ÂE 0n , Â.
II-2. Racines du polynôme Q n :
a. Un résultat préliminaire : démontrer que le polynôme Q n possède la propriété : pour tout
polynôme P de degré inférieur ou égal à n ? 3, l’intégrale K ci-dessous est nulle :
K=
X ?1 PÂxà Q n Âxà dx = 0.
1
- 5/7 -
b. Deux cas sont considérés :
i. Le polynôme Q n admet des racines, d’ordre de multiplicité impair, situées dans l’intervalle
ouvert I = Å?1, 1Ä. Soient x 1 , x 2 , ..., x p , ces racines (l’entier p est strictement positif).
Soit R 1 le polynôme défini par la relation :
k=p
R 1 Âxà =
<Âx ? x k Ã.
k=1
Démontrer que l’intégrale de la fonction x Ð R 1 Âxà Q n Âxà étendue au segment I est
différente de 0 :
X ?1 R 1 Âxà Q n Âxà dx “ 0.
1
En utilisant le résultat de l’alinéa a, déterminer le degré du polynôme R 1 .
ii. Le polynôme Q n n’a pas de racines, d’ordre de multiplicité impair, situées dans
l’intervalle ouvert Å?1, 1Ä.
Démontrer que l’intégrale de la fonction x Ð Q n Âxà étendue au segment I est différente de 0.
En déduire que les racines du polynôme Q n sont simples et situées sur le segment I.
Dans la suite, les racines du polynôme Q n+1 sont notées y k , k = 0, 1, ..., n et vérifient la
relation suivante :
? 1 = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y n?1 < y n = 1.
II-3. Polynôme I n ÄfÅ :
Soit f une fonction continue appartenant à l’espace C : f : I  R.
a. Soit u n l’application de l’espace vectoriel E n dans R n+1 définie par la relation suivante :
u n ÂPÃ =
PÂy 0 Ã, PÂy 1 Ã, ..., PÂy n à .
Démontrer que l’application u n est un isomorphisme de l’espace vectoriel E n sur R n+1 .
En déduire qu’à une fonction f donnée dans C, est associé un seul polynôme I n ÄfÅ appartenant
à E n , vérifiant les relations suivantes :
pour tout entier k, 0 — k — n, I n ÄfÅÂy k à = fÂy k Ã.
Démontrer que, si P est un polynôme appartenant à E n , il vient :
I n Äf ? PÅ = I n ÄfÅ ? P.
b. Démontrer que le polynôme I n ÄfÅ s’écrit :
n
I n ÄfÅÂxà =
> fÂy k à L k ÂxÃ.
k=0
où L k est le polynôme défini par la relation :
L k Âxà =
Q n+1 ÂxÃ
.
Âx ? y k à Q n+1 ´Ây k Ã
- 6/7 -
c. Démontrer, pour tout polynôme P appartenant à E n , l’inégalité :
n
pour tout réel x de I,
1 + >|L k ÂxÃ| qf ? Pq.
|fÂxà ? I n ÄfÅÂxÃ| —
k=0
II-4. Majoration de > k=0 |L k ÂxÃ| :
Soit f une fonction continue appartenant à l’espace C : f : I  R.
a. Soit v n l’application de l’espace vectoriel E 2n+1 dans R 2n+2 définie par la relation suivante :
n
v n ÂPÃ =
PÂy 0 Ã, PÂy 1 Ã, ..., PÂy n Ã, P´Ây 0 Ã, P´Ây 1 Ã, ..., P´Ây n à .
Démontrer que l’application v n est un isomorphisme de l’espace vectoriel E 2n+1 sur R 2n+2 .
En déduire qu’à une fonction f donnée dans C est associé un seul polynôme H n ÄfÅ
appartenant à E 2n+1 , vérifiant les relations suivantes :
pour tout entier k, 0 — k — n, H n ÄfÅÂy k à = fÂy k Ã, H n ÄfÅ´Ây k à = f ´Ây k Ã.
Que vaut H n Ä1Å ?
Il est admis que le polynôme H n ÄfÅ est défini par la relation suivante :
H n ÄfÅÂxà =
n
n
k=0
k=0
> f ´Ây k à Âx ? y k à ÂL k ÂxÃà 2 + > fÂy k à Â1 ? 2Âx ? y k ÃL k ´Ây k Ãà ÂL k ÂxÃà 2 .
b. Calcul des dérivées L k ´Ây k Ã.
Déterminer l’expression, pour tout entier k compris entre 0 et n Â0 — k — nÃ, de la dérivée
L k ´Ây k à en fonction des dérivées première et seconde Q n+1 ´Ây k à et Q n+1 ´´Ây k Ã.
En utilisant l’équation différentielle vérifiée par le polynôme Q n+1 (question II-1.b)
déterminer les valeurs de L k ´Ây k à lorsque l’entier k est compris entre 1 et n ? 1 Â1 — k — n ? 1Ã.
Calculer ensuite L 0 ´Ây 0 Ã et L n ´Ây n Ã.
c. En déduire les inégalités :
n
pour tout réel x du segment I,
>ÂL k ÂxÃÃ
n
2
— 1,
k=0
>|L k ÂxÃ| —
n+1.
k=0
II-5 Estimation de l’approximation :
Démontrer que, pour toute fonction continue appartenant à l’espace C, pour tout entier n
supérieur ou égal à 3, la norme de la différence entre la fonction f et le polynôme I n ÄfÅ est
majorée par le produit 2 n A n Âfà :
qf ? I n ÄfÅ q — 2 n A n ÂfÃ.
En particulier démontrer que, si la fonction f est continûment dérivable sur I, la suite des
polynômes I n ÄfÅ converge uniformément, lorsque l’entier n tend vers l’infini, vers la fonction f.
Que dire de la convergence lorsque la fonction f est indéfiniment continûment dérivable ?
FIN DU PROBLÈME
- 7/7 -