1 Fonctions polynômes – Définition et factorisation Exercices corrigés

Fonctions polynômes – Définition et factorisation
Exercices corrigés
Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
Les fonctions numériques suivantes sont-elles des fonctions polynômes ?
Correction de l’exercice 1
Rappel :
On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) toute application
réels
tels que :
de
dans
pour laquelle il existe des
(
désignent les coefficients du polynôme et
(Remarque : Le degré d’une fonction polynôme est
fonction polynôme nulle.)

Soit la fonction
)
désigne son degré.
si tous ses coefficients sont nuls. On parle alors de
définie par :
est de la forme
avec
est donc bien une fonction polynôme (de degré 4).

Soit la fonction
Cette fonction est
définie si et
seulement si
définie par :
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est définie sur
donc cette fonction n’est pas une fonction polynôme.
est en fait une fonction
rationnelle car elle est le quotient de la fonction polynôme (de degré 4) par une autre fonction polynôme (de
degré 1).
est définie ssi

Soit la fonction
définie par :
n’est pas définie sur (en effet, par exemple,
n’existe pas) donc cette fonction n’est pas une fonction
polynôme. est en fait la fonction composée de la fonction polynôme par la fonction racine carrée.
Remarque : On peut montrer que
est définie sur :
Pour cela, il convient de poser
, puis d’étudier les racines
et
(telles que
trinôme
et enfin d’étudier le signe du produit
désignent les solutions de
et où et désignent les solutions de
.
et
) du
où
et
Autres remarques :
L’élève n’ayant pas abordé les résolutions d’équations du second degré à une inconnue avec calcul du
discriminant peut utiliser la forme canonique du trinôme
(après avoir posé
) et faire
appel à l’identité remarquable
afin de factoriser
et d’en étudier
subséquemment le signe.
Par ailleurs, une autre méthode consistait à tracer la courbe représentative de la fonction
et à remarquer que le signe de
dépendait de . En l’occurrence
si et
seulement si
avec
et
(approximations suffisantes pour mener à bien
cet exercice).

Soit la fonction
définie par :
est définie sur . Cette fonction est une fonction polynôme définie par intervalles car (d’après la première
remarque ci-dessus) :
o Pour
o Pour
Autrement dit,
l’intervalle.
,
n’est pas une fonction polynôme car les coefficients de cette fonction changent suivant
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Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
Déterminer le coefficient réel
polynôme défini par
tel que le polynôme
.
défini par
soit factorisable par le
Correction de l’exercice 2
Rappel :
On appelle racine d’une fonction polynôme
tout réel
Le réel est une racine de la fonction polynôme
polynôme de degré
telle que
Soit le polynôme défini par
polynôme défini par
tel que
.
(de degré
) si, et seulement si, il existe une fonction
. On dit aussi que est factorisable par
.
dont la racine est
. Ce polynôme de degré 2 est factorisable par le
si et seulement si
.
Or,
est factorisable par
si et seulement si
Exercice 3 (1 question)
.
Niveau : facile
Déterminer, suivant les valeurs du paramètre réel
, le degré de la fonction polynôme
définie par :
Correction de l’exercice 3
Soit la fonction polynôme
Pour tout
définie par :
Pour que soit de degré 4, il
faut en effet que
soit non nul.
réel,
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3
Par conséquent,



Pour tout
Pour
Pour
,
,
,
est de degré 4.
donc est de degré 3.
donc est de degré 2.
Exercice 4 (2 questions)
Niveau : difficile
1- Déterminer une fonction polynôme
2- En déduire une expression de
de degré 3 telle que
.
.
Correction de l’exercice 4
Rappel :
Deux fonctions polynômes non nulles sont égales si et seulement si :
 elles ont le même degré ;
 les termes de même degré ont des coefficients égaux.
1- Déterminons une fonction polynôme de degré 3 telle que
 Soit une fonction polynôme de degré 3.
Alors, pour tout
réel,

Pour tout

Il en résulte que, pour tout
avec , , et
.
réels tels que
.
réel, on a :
réel :
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 On souhaite trouver une fonction polynôme de degré 3 telle que
l’on souhaite trouver une fonction définie par
, c’est-à-dire que
telle que :
s’écrit aussi
Par identification des coefficients des termes de même degré, on obtient :
Il existe donc une infinité de fonctions polynômes
toute fonction définie par :
(avec
de degré 3 qui satisfont
)
2- Déduisons de ce qui précède une expression de
Pour tout entier naturel
. Convient
.
non nul,
Or, la première question a permis d’établir qu’il existe une fonction polynôme
de degré 3 telle que
donc que :
C’est-à-dire :
En additionnant ces égalités membre à membre, on obtient :
C’est-à-dire :
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Or,
Et
D’où :
Remarque : Il est possible de simplifier cette expression…
Comme
est une racine évidente du trinôme
Effectuons une division du polynôme
par
On obtient :
,
est factorisable par
.
.
. D’où :
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