CORRECTION BAC BLANC TERMINALE MERCA

CORRECTION BAC BLANC TERMINALE MERCA - CFE ------ MATHÉMATIQUES
Exercice 1
Le tableau ci-dessous résume partiellement les échanges extérieurs concernant le tourisme au cours des deux années 2004 et
2005. Il est constitué à partir des données de la banque de France.
2004
2005
Dépenses, en milliards d'euros, des touristes étrangers en France
32,8
33,9
Dépenses, en milliards d'euros, des touristes français à l'étranger
23
25
Solde, en milliards d'euros.
9,8
8,9
Pour chaque question donner les calculs effectués.
1. Calculer le taux d'évolution des dépenses des touristes français à l'étranger entre 2004 et 2005 (arrondir le résultat à 0,1 %
près).
On calcule le coefficient d'évolution de 2004 à 2005 C=
25
≈1,087 alors le taux d'évolution
23
t=C−1≈0,087 soit une hausse de 8,7 % à 0,1% près.
2. Sachant qu'entre 2004 et 2005 les dépenses des touristes étrangers en France ont augmenté de 3,5%, déterminer le montant
de ces dépenses en 2004 (arrondir le résultat au dixième).
Le coefficient d'évolution des dépenses des touristes étranger en France entre 2004 et 2005 est
33,9
C=10,035=1,035 , alors la dépense en 2004 est 1,035 ≈32,8 milliards d'euros.
3. a. Calculer le solde pour l'année 2004.
Le solde en 2004 est donc 32,8-23= 9,8 milliards d'euros.
b. Calculer le taux d'évolution de ce solde entre 2004 et 2005 (arrondir le résultat à 0,1%).
8,9
≈0,908 alors le taux d'évolution
On calcule le coefficient d'évolution du solde de 2004 à 2005 C=
9,8
est t=C−1≈−0,092 soit une baisse de 9,2% à 0,1%près
Exercice 2
Le coût moyen journalier, en euros d'un équipement industriel, en fonction de la durée d'utilisation est modélisé par la
fonction C m définie sur l'intervalle [200 ; 4 000]
par
C m  x=1 5002 x
2 000 000
, où x est exprimé en jours.
x
1. Sur la calculatrice faire apparaitre la courbe représentant C m
dans la fenêtre 200x4 000 et 5 000 y 12 000 .
Reproduire, sur la copie, l'allure de la courbe dans la fenêtre considérée.
C ' m la fonction dérivée de la fonction C m sur l'intervalle. [200 ; 4 000] Calculer C ' m  x  .
1
2000000
D'après les formules de calcul des fonctions dérivées : C ' m  x =22000000× − 2 =2−
2
x
x
 x−1 000 x1 000
b. Montrer que C ' m  x =2
x2
2 x 2−2000000
C
'

x
=
On réduit au même dénominateur
, on factorise par 2 au numérateur
m
x2
2
x −1000000
C ' m  x =2×
or
d'après
les
formules
sur
les
identités
remarquables
2
x
2. a. On note
 
x 2−1000000= x−1000 x1000
C ' m  x =2
donc
 x−1 000 x1 000
x2
Remarque: On aurait aussi pu développer l'expression proposée pour retrouver C ' m  x =2−
C ' m  x  sur l'intervalle [200 ; 4 000] .
est toujours positif alors on peut dresser le tableau de signes suivants
x
200
1000
2000000
x2
Déterminer le signe de la fonction
x
2
x-1000
0
−
x+1000
4000


C ' m x 
0
−

c. Donner le tableau de variation de la fonction C m sur l'intervalle
[200 ; 4 000] .
C
On en déduit alors le tableau de variation de la fonction m sur l'intervalle [200 ; 4 000]
x
200
1000
signe C ' m  x 
–
0
+
11900
C m  x
4000
10000
5500
d. En déduire, en jours, la durée d'utilisation de l'équipement qui correspond à un coût moyen journalier minimum et
donner, en euros, ce coût moyen journalier minimum.
D'après le tableau de variations, il faut donc utiliser cet équipement 1000 jours pour obtenir le coût
moyen minimum de 5 500 euros.
Exercice 3
Paul possède 1 100 € d'économies.
Il décide de placer cette somme dans une banque qui lui propose deux placements :
• Proposition 1 : placement de totalité de la somme à intérêts composés sur un "livret jeune", au taux annuel de 4,5 % .
• Proposition 2 : placement de 900 euros à intérêts composés au taux 5,4 % par an et versement des 200 euros restants sur un
compte non rémunéré.
On note c n le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit la proposition 1 et u n le capital qu'il aura
acquis au bout de n années s'il choisit la proposition 2.
On définit ainsi deux suites c et u.
Il réalise la feuille de calcul ci-dessous et choisit un format d'affichage numérique à deux décimales.
A
1
B
C
Proposition 1
D
E
Proposition 2
2
Rang de l'année n
Capital disponible
Partie rémunérée
Partie non rémunérée
Capital disponible
3
0
1100,00
900,00
200,00
1100,00
4
1
1149,50
948,60
200,00
1148,60
5
2
1201,23
999,82
200,00
1199,82
6
3
1255,28
1053,81
200,00
1253,81
7
4
1311,77
1110,72
200,00
1310,72
8
5
1370,80
1170,70
200,00
1370,70
9
6
1432,49
1233,92
200,00
1433,92
10
7
1496,95
1300,55
200,00
1500,55
11
8
1564,31
1370,78
200,00
1570,78
c n
u n
1. a. Justifier que la suite c est une suite géométrique de premier terme 1 100 et de raison 1,045.
Le terme c n de la suite c désigne le capital sur le livret au bout de n années, mais il correspond aussi
à la valeur acquise au bout de 1 an du capital c n−1 de l'année précédente placé au taux annuel de
4,5% .
Le coefficient d'évolution est donc de C=10,045=1,045 . On a alors c n=1,045×c n−1
On reconnait donc que le terme c n est celui d'une suite géométrique de raison 1,045 et de premier
terme c 0=1100 c(0) étant le capital placé au départ.
b. Donner une formule à entrer dans la cellule B4 permettant par recopie vers le bas d'obtenir la plage B5:B11.
Pour calculer B4 il faut donc multiplier B3 par 1,045 et reproduire ce calcul pour toutes les celules de la
colonne B.
On entre donc en B4 la formule =B3*1,045.
u 1=1 148,60 .
Pour calculer u(1), il faut ajouter la part non rémunérée de 200 euros à la partie rémunérée de 948,60
euros. Celui ci étant la valeur acquise au bout de 1 année, du capital de 900 euros placés au taux annuel de
5,4% .
On a donc 948,60=900×1,054 donc u 1=1,054×900200
2. a. Donner une expression permettant de calculer le terme
b. Donner des formules, à recopier vers le bas, à entrer dans la cellule C4, D4 et E4 pour obtenir la plage C5:E11.
En C4 on entre la formule =1,054*C3 pour calculer les valeurs acquises du capital augmenté de 5,4%
En D4 on entre la formule =D3 car la part non rémunérée est la même d'une année sur l'autre
En E4 on entre la formule =C4+D4 le capital total somme de la part non rémunérée avec la part
rémunérée
3. Indiquer en fonction de la durée du placement la proposition la plus avantageuse. Justifier.
D'après le tableau de valeurs on remarque qu'au bout de 6 ans la proposition 2 (suite u(n)) devient plus
avantageuse que la proposition 1 (suite c(n)), alors que jusqu'à la 5eme année c'était le contraire, on
observe donc le renversement de tendance qui nous pousse donc à privilégier cette proposition.
Exercice 4
Une entreprise produisant des micro-ordinateurs a étudié l'évolution de la proportion des ordinateurs portables dans le total
de ses ventes d'ordinateurs.
Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre x d'années écoulées depuis 1998 ainsi que le pourcentage
y de portable parmi les micro-ordinateurs vendus.
Année
1999
2000
2001
2002
2003
2004
x
1
2
3
4
5
6
y
16
17,6
20,4
21,7
22,9
25,3
1. Dans un repère orthonormal  O ; i , j  d'unité graphique 1 cm, représenter le nuage des points M de coordonnées
 x ; y .
On graduera l'axe des ordonnées à partir de 13.
2. a. Soit le point G le point moyen du nuage. Calculer les coordonnées du point moyen G et placer G sur le graphique.
On calcule les coordonnées du point moyen
y=
G  x ; y
avec
x=
123456
=3,5 et
6
1617,620,421,722,925,3
=20,65
6
b. On appelle  la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés de ce nuage de points.
Déterminer une équation de  à l'aide de la calculatrice.
On arrondira les coefficients de l'équation au dixième le plus proche.
D'après la calculatrice on trouve l'équation de la droite de régression de y en x qui est
y=1,82 x14,28 en arrondissant au dixième près cela donne y=1,8 x14,3
 sur le graphique précédent.
Pour tracer  , on place le point de coordonnée B(0;14,3) puis on trace la (GB) car on sait que la droite
de régression linéaire passe par le point G.
Tracer la droite
3. Calculer à l'aide de l'équation de la droite  une estimation :
a. du pourcentage d'ordinateurs portables vendus en 2005;
Le rang de l'année 2005 est le rang 7, donc pour trouver l'estimation du pourcentage de la vente
d'ordinateurs on utilise l'équation de la droite pour calculer y=1,8×714,3=26,9 % .
En 2005 le pourcentage de vente d'ordinateurs est estimé à 26,9%
b. de l'année où le pourcentage de vente des ordinateurs portables atteindrait 30 %.
De même, pour trouver le rang de l'année connaissant le pourcentage on résout l'équation
15,7
≈8,6 .
30=1,82 x14,3 on trouve alors x=
1,82
Ce qui signifie qu'on estime que les 30% seront atteint au rang 9 soit en 2007.
4. Retrouver graphiquement les résultats de la question 3. en faisant apparaitre tous les tracés nécessaires sur le graphique.
On retrouve graphiquement les résultats en cherchant
pour le 3a : l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 7, on trouve le point de coordonnées (7;27) soit
27% de vente.
pour le 3b : l'abscisse du point de la droite d'ordonnée 30, et on trouve le point de coordonnée(8,6;30) soit
pour l'année au bout de l'année de rang 9 donc en 2007.