n t a b Limites de formage pour chemins de déformation arbitraires

Limites de formage pour chemins de déformation arbitraires
Forming Limits for Arbitrary Strain-paths
R.Mesrar, H.Fatmaoui et J.Chaoufi
LGMP, Université Ibn Zohr, Faculté des Sciences, Agadir, Maroc
[email protected], [email protected], [email protected]
2.2 Surface de plasticité et loi d’écoulement associée
1. INTRODUCTION
De nombreuses études ont été réalisées afin de déterminer
les limites de formage des tôles : l’analyse de bifurcation de
Hill [1] qui prévoit l’apparition de la striction dans le
domaine du rétreint ; l’analyse de bifurcation de Stören et
Rice [2] qui, associée à la théorie de la déformation, permet
la détermination complète de la courbe limite de formage
(CLF) de la traction uniaxiale à la traction équibiaxiale ;
l’approche de localisation de Marciniak et Kuczynski [3]
(analyse de type MK) et enfin l’analyse de perturbation de
Molinari et Dudzinski [4].
Dans ce travail une analyse de localisation (type MK) est
développée pour des matériaux viscoplastiques à isotropie
planaire obéissant à la théorie de l’écoulement avec
écrouissage isotrope. Une représentation paramétrique de la
surface de charge proposée par Ferron et al. [5] est utilisée
dans cette analyse. Ce modèle est ensuite introduit dans des
calculs numériques pour déterminer les limites de formage
en contraintes et en déformations sous différents chemins
de déformation linéaires et complexes.
2. ANALYSE DE LOCALISATION
2.1 Formulation du problème de localisation
Il convient de rappeler que l’analyse de localisation de type
MK s’appuie sur l’hypothèse de l’existence d’un défaut de
sous-épaisseur sous forme d’une bande inclinée.
σ2
t b
a
2
n
ψa
σ1
1
Figure 1. Schéma d’un défaut d’épaisseur dans une tôle.
La taille initiale du défaut est définie par :
f =
h ( 0) − h ( 0)
h a ( 0)
a
b
(1)
Où h(t) est l’épaisseur à l’instant t, et les indices supérieurs
a et b se réfèrent à la zone homogène et à la zone de sousépaisseur. Les indices inférieurs n et t désignent les
directions normale et tangente à la bande, respectivement.
ψ est l’angle qui définit l’inclinaison de la bande par
rapport aux directions principales.
Les équations constitutives de plasticité orthotrope
proposées par Ferron et al. [5] sont utilisées ici dans le cas
d’un matériau à isotropie planaire. A partir de là,
l’expression de la fonction de charge peut être écrite sous la
forme :
f c = φ (σ 1 , σ 2 ) − σ = 0
(2)
Où σ est une mesure de la contrainte équivalente, prise ici
comme étant la contrainte d’écoulement en traction
équibiaxiale. En utilisant le changement de variables défini
par :
σ +σ2
σ −σ2
s1 = 1
et s 2 = 1
, on obtient :
2
2
f c = ψ ( s1 , s 2 ) − σ = 0
(3)
Une représentation paramétrique de la surface de charge
définie par :
 s1 = s1 (θ , σ ) = r (θ , σ ) cos θ
(4)

s 2 = s 2 (θ , σ ) = r (θ , σ ) sin θ
Est finalement adoptée, dans laquelle r (θ , σ ) représente la
longueur du rayon polaire d’un point de la surface de
charge représentée dans les axes (s1, s2) et le paramètre
θ est l’angle polaire associé. Dans l’hypothèse d’une
expansion isotrope des surfaces de charge, φ (σ 1 , σ 2 ) et
ψ ( s1 , s2 ) sont
des fonctions homogènes de degré un, et
r (θ , σ ) s’exprime par :
r (θ , σ ) = σ r (θ )
(5)
r (θ ) représente la longueur du rayon polaire d’un point de
la surface de charge normalisée par σ . En utilisant les
relations précédentes on obtient en particulier :
π

 σ 1 = σ r (θ ) 2 sin(θ + 4 )
(6)

π
σ 2 = σ r (θ ) 2 cos(θ + )
4

La loi de normalité permet d’exprimer les vitesses de
déformation plastiques :
π
π

r (θ ) sin(θ + ) − r ′(θ ) cos(θ + )

4
4 ε&
 ε&1 =

2 r 2 (θ )

π
π

r (θ ) cos(θ + ) + r ′(θ ) sin(θ + )
4
4 ε&
ε& =
 2
2 (θ )
2
r

(7)
Où ε& est la vitesse de déformation plastique équivalente
conjuguée de σ .
___________________________________________________________________________________________________
9ième Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech
565
Une expression de la fonction r (θ ) [6] permettent d’obtenir
un bon ajustement de résultats expérimentaux ou obtenus
par calculs micro-macro est donnée par :
r −6 (θ ) = A[sin(θ + θ u ) + sin(θ − θ u )]6 + B[(sin 6 (θ − θ u ) + sin 6 (θ + θ u )]
Où A et B sont des paramètres du matériau explicités sous la
forme :
α
R
A
A = ( 1 )6
Et B =
sin θ u R + 1
R
R est le coefficient de Lankford, α 1 est le rapport entre la
contrainte d’écoulement en traction équibiaxiale et la
contrainte d’écoulement en traction uniaxiale et θ u est un
paramètre dépendant du matériau et des conditions de
l’expérience.
La fonction de charge fc préalablement définie est finalement
utilisée comme potentiel plastique pour un matériau
viscoplastique dont la loi de comportement équivalente est
exprimée sous une forme multiplicative :
 ε&
 ε&0
σ = K (ε 0 + ε ) n 
Où




m
(9)
ε& 0 est une vitesse de déformation de référence, n est le
coefficient d’écrouissage et m le coefficient de la sensibilité à
la vitesse de déformation, K et ε 0 sont des constantes.
2.3 Résolution des équations de localisation
Les équations d’équilibre et l’équation de compatibilité
peuvent être exprimées sous la forme :
b
a
σ ntb / σ nn
= σ nta / σ nn
=αa
b b
σ nn
h
b
∆ε tt =
a a
= σ nn
h
a
∆ε tt
=
Fna
(8)
l’influence des chemins de déformation sur les CLF [4]
[7] [8] [9] que la prédéformation de la traction
équibiaxiale fait baisser généralement la CLF entière,
alors que la prédé- formation de la traction uniaxiale fait
monter le côté droit de la CLF sans trop changer le côté
gauche, lorsque la direction de la déformation principale
majeure ne varie pas.
Nous présentons dans ce qui suit, les résultats de
simulations de différents trajets bilinéaires de
déformation, correspondant à des prédéformations de
directions données, suivie du balayage de tout le
domaine (traction uniaxiale – traction équibiaxiale). Les
prédéformations ont été choisies en traction plane, en
traction uniaxiale et en traction équibiaxiale, pour
différents niveaux : 5%, 8% et 10%. Les résultats sont
présentés dans les deux diagrammes (ε 2 , ε 1 ) et
( β , σ ) afin de mettre en évidence le rôle joué par la
contrainte équivalente.
3.1.1 Chemins séquentiels réalisés avec une
1
:
2
Dans ce premier cas, le matériau a subi d’abord une
prédéformation en traction uniaxiale avant de subir un
balayage total de tout le domaine (expansion + retreint).
Les résultats de ces simulations sont illustrés par les
figures 2 et 3.
prédéformation en traction uniaxiale ρ I =
(10)
(11)
(12)
a
Où Fn est la force normale à la bande. Le chemin imposé
dans la zone homogène peut être caractérisé par l’angle
θa
sur
la surface de charge ( θ constant pour un chemin linéaire ou
variable pour un chemin non linéaire). Les équations (10)-(12)
sont résolues de façon incrémentale en imposant un incrément
de déformation dans la zone homogène, ce qui permet de
déterminer tous les incréments relatifs à la zone homogène, et
d’obtenir les seconds membres de (10)-(12). Ces équations
représentent alors un système d’équations non linéaires pour
les inconnues dans la bande.
a
Figure 2. CLF en (ε 2 , ε 1 ) pour des chemins bilinéaires,
prédeformation en traction uniaxiale
3. RESULTATS ET DISCUSSIONS
3.1 Limites de formage en contraintes pour des
chemins non linéaires
Depuis leur apparition dans le milieu des années soixante, les
spécialistes de la mise en forme savent que les CLF
représentées dans les axes (ε 2 , ε 1 ) présentent un handicape
majeur celui de leur caractère non intrinsèque c'est-à-dire leur
incapacité à rendre compte des déformations limites pour des
chemins non linéaires. En effet, il ressort des analyses de
___________________________________________________________________________________________________
9ième Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech
566
Figure 3. CLF en ( β , σ ) pour des chemins bilinéaires
Prédeformation en traction uniaxiale
Tout d’abord, en examinant les deux figures, ce qui attire
l’attention de prime abord est le caractère non intrinsèque de la
représentation classique (ε 2 , ε 1 ) par comparaison avec l’autre
représentation ( β , σ ) où la courbe limite σ coïncide avec la
courbe directe. Par ailleurs la valeur de la déformation limite
est obtenue en traction plane et est égale à ε 1 ≈ 0.14 .
3.1.2 Chemins séquentiels réalisés avec une prédéformation
en traction équibiaxiale : ρ I = 1
Dans ce deuxième cas, on a fait subir au matériau une
prédéformation en traction équibiaxiale, avant de lui appliquer
un balayage de tout le domaine (traction uniaxiale – traction
équibiaxiale). Les résultats sont représentés par les figures 4 et 5.
On remarque qu’une prédéformation en expansion
induirait une réduction de la formabilité du matériau en
déplaçant sa CLF vers le bas et vers le domaine
d’expansion. Par ailleurs le caractère non intrinsèque de
la représentation usuelle des limites de formage
(ε 2 , ε 1 ) est encore confirmé dans ce deuxième cas.
Toutefois, par comparaison avec le cas précédent, on
constate que pour des valeurs importantes de
prédéformation (8% et 10%) les CLF « séquentiels » se
détachent légèrement de la courbe limite directe. Cette
constatation est valable uniquement dans le domaine du
retreint (voir figure 4). Ce qui laisse à penser que cette
nouvelle représentation garde son caractère intrinsèque
tant que les prédéformations ne dépassent pas un certain
seuil.
4. CONCLUSION
L’analyse des résultats pour des chemins de
déformation non linéaires montre que la courbe usuelle
des limites de formage dans les axes de déformations
principales peut être remplacée avantageusement par la
courbe représentant la contrainte équivalente limite en
fonction du rapport des contraintes principales. La
courbe limite obtenue dans ces axes peut être
considérée, avec une bonne précision, comme une
courbe intrinsèque définissant la limite de ductilité
indépendamment du chemin de déformation suivi par le
matériau.
5. REFERENCES
1.
2.
3.
4.
5.
Figure 4. CLF en (ε 2 , ε 1 ) pour des chemins bilinéaires,
prédeformation en traction equibiaxiale
6.
7.
8.
9.
R.Hill, On discontinuous plastic states, with special
reference to localized necking in thin sheets. J.
mech.Phys.Solids, 1, 19 (1952).
S.Stören and J.R.Rice, Localized necking in thin
sheets. J.Mech.Phys.Solids, 23, 421 (1975).
Z.Marciniak and K.Kuckzynski, Limit strain in
the processes of stretch-forming sheet metal.
Int.J.Mech.Sc., 9, 609 (1967).
D.Dudzinski and Molinari, Perturbation analysis
of thermoviscoplastic instabilities in biaxial
loading. Int.J.Solids Structures, 27, 601 (1991).
G.Ferron, R.Makkouk and J.Morreale, A
parametric description of orthotropic plasticity in
metal sheets.Int.J.Plasticity, 10, 431 (1994).
H.Fatmaoui. Modélisation de la plasticité
orthotrope. Application à l’étude des limites de
formage. Thèse de Doctorat d’État Es Sciences.
Université Ibn Zohr, Agadir, 2007.
A.Graf and W.F.Hosford, The influence of strainpath changes on forming limit diagrams of Al 6111
T4. Int.J.Mech.Sci., 36, 897 (1994).
T.B.Stoughton and X.Zhu, Review of theoretical
models of the strain-based FLD and their relevance
to the stress-based FLD. Int.J.Plasticity, 20, 1463
(2004).
P.D.Wu, A.Graf, S.R.MacEwen, D.J.Lloyd and
K.W.Neale. on forming limit stress diagram
analysis. Int.J.Solids Structures, 42, 2225 (2005).
Figure 5. CLF en ( β , σ ) pour des chemins bilinéaires,
prédeformation en traction equibiaxiale
___________________________________________________________________________________________________
9ième Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech
567