Renditen von Obligationen und Obligationen

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Renditen von Obligationen und Obligationen Portfolios
Referenz- oder Benchmark-Portfolios spielen eine wichtige Rolle im Asset Management, denn sie sind oft der
Anfangspunkt der Renditemessung eines investierten Portfolios. Eine Arbeitsgruppe der Obligationenkommission Schweiz (OKS) stellte fest, dass für die Renditen eines Benchmark-Portfolios verschiedene Zahlen
ausgewiesen werden, obwohl der Renditemessung dieselbe Zeitspanne zugrunde liegt. Die Rendite einer
einzelnen Obligation wird in der Literatur oft ausführlich behandelt, doch auf den Übergang von einer einzelnen
Obligation zu einem Portfolio wird nicht eingegangen. Um diesen Übergang besser zu verstehen, diskutieren wir
zunächst die Renditedefinition.
Die Rendite auf Verfall ist ein wohlbekanntes Mass für eine Indikation der künftigen («ex ante») Rendite einer
Obligation. Sie wird vom Coupon, dem Nennwert (Nominal) und der Restlaufzeit der Obligation bestimmt. Der
Marktpreis einer Obligation und die mittels Diskontfaktoren errechneten Cash Flows werden einander
gegenübergestellt. Gesucht ist nun der Zinssatz, bei dem beide Seiten den gleichen Wert annehmen. Wir
betrachten also eine Bedingung, die an einem beliebigen Zeitpunkt gelten muss. Diese Gleichung hat mehrere
Lösungen, und die Rendite auf Verfall ist bloss eine Lösung dieser Gleichung. Die verschiedenen
Implementationen finden meistens die richtige Lösung. Im Allgemeinen kann die Gleichung für die Rendite auf
Verfall nicht durch einfache algebraische Operationen berechnet werden, sondern die Lösung muss numerisch
approximiert werden. Die angewandte Mathematik stellt dafür aber viele Rezepte zur Verfügung. In den letzten
Jahren sind indessen die Renditen auf Verfall gesunken und notieren heute nahezu bei null oder sogar leicht
negativ. Dieser Umstand wirft zwar in der Anlagepraxis viele Fragen auf, stellt allerdings das Konzept der
Rendite auf Verfall nicht grundlegend in Frage.
Bei der Berechnung der Rendite auf Verfall wird davon ausgegangen, dass die künftigen Coupons ausbezahlt
werden und kein Ausfall eintritt, der Schuldner also bis zum Verfall zahlungsfähig bleibt. Die direkte Rendite
verzichtet dagegen auf diese Annahme. Sie ist definiert als der Coupon geteilt durch den Preis der Obligation.
Derzeit ist die bereits erwähnte OKS-Arbeitsgruppe daran, das Verhalten von Portfolio-Kennzahlen wie der
Duration oder der Konvexität für negative Zinsen zu untersuchen und den Zusammenhang zwischen der direkten
Rendite und der Rendite auf Verfall darzustellen.
In der Portfolio-Analyse wird oft eine «Rendite» ausgewiesen. Die Frage ist: welche Rendite? Im Folgenden
betrachten wir nicht eine einzelne Obligation. Vielmehr befassen wir uns mit der ex-ante Rendite eines
Obligationen-Portfolios, d.h., es gehen ausschliesslich künftige Cash Flows in die Rechnung ein. Die Gleichung
für die Rendite auf Verfall wird auf eine Gleichung für Obligationen-Portfolio verallgemeinert (Internal rate of
Return). Diese Gleichung wird von den Programmen der meisten Software-Provider nicht exakt gelöst, sondern
es wird eine Kombination der Renditen auf Verfall der einzelnen Bonds betrachtet. Wir untersuchen drei
Approximationen für die Internal rate of Return. Die Gewichte basieren auf dem Nominal (Nom), dem Preis (lin)
oder der Macaulay Duration (MacDur) der einzelnen Obligationen. In der Abbildung wird die Internal rate of
Return mit diesen Approximationen anhand eines Modellportfolios verglichen.
yield spread (normal)
10.00%
9.50%
9.00%
IRR
8.50%
Nom
lin
8.00%
MacDur
7.50%
7.00%
9
10
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yield long maturity bond
Die Approximation des Internal Rate of return
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Das Portfolio umfasst drei Obligationen mit kurzer, mittlerer und langer Laufzeit. Damit die Effekte besser
sichtbar sind, unterstellen wir (nicht ganz marktgerechte) substantiell positive Renditen auf Verfall. Für gleiche
Renditen auf Verfall sind alle Approximationen gleich und zeigt die Approximationen bis zu einem Rendite
Spread 4%–14% zwischen kurzer und langer Laufzeit der Obligationen im Portfolio (normale Renditestruktur).
Wir deuten damit an, dass die Approximationen immer schlechter werden, je mehr sich die Zinskurve von einer
flachen Zinskurve wegbewegt. Unsere Untersuchungen zeigen zudem, dass die Approximation mit der Macaulay
Duration den anderen Approximationen überlegen ist. Deshalb wird diese Approximationsmethode auch von der
Europäischen Bondkommission (EBC) empfohlen.
Ein ähnliches Problem wie bei der Renditekalkulation liegt bei der Berechnung der Macaulay Duration vor. Die
meisten Softwares ermitteln die Macaulay Duration als eine gewichtete Summe der Macaulay Duration der
einzelnen Obligationen. Die Frage ist: Welche Rendite wird für die Berechnung verwendet? Meistens werden die
Renditen der einzelnen Obligationen verwendet, doch korrekt wäre auch hier die Internal rate of Return. Wir
stellen wieder fest, dass die Resultate gleich sind, falls die Zinskurve flach ist. Je steiler die Zinskurve wird,
desto stärker unterscheiden sich die Resultate. Eine Publikation mit dem Titel «The approximation of the internal
rate of the return (IRR) of a portfolio» wird von der OKS-Arbeitsgruppe vorbereitet, und Resultate wurden in
den Meetings der EBC mehrmals vorgestellt.
Referenzen:
Bond Analytics. Präsentation EBC Meeting,
London, Wolfgang Marty, 2015
Portfolio Analytics, Springer, 2th Edition, Wolfgang Marty, 2015
Construction & calculating Bond Indices, 2th Edition Patrick J. Brown, 2002
Autor:
Dr. Wolfgang Marty ist bei AgaNola als Investment Strategist tätig. Er ist Mitglied
der Bond Indexkommission von SIX Swiss Exchange und ist Präsident der SFAA
Obligationen Kommission. Seine Arbeitsgebiete sind Portfolio Optimierung und
Performance Messung.