Tagungsband - Fakultät für Mathematik und Informatik

Workshop Optimierung in Altenburg
12.-13. März 2013
Organisator: S. Dempe, TU Bergakademie Freiberg
Tagungsband
Contents
1 Eine praktische wirtschaftliche Anwendung – Modellierung
von Kundenverhalten und daraus abgeleitete Preisstrategien
Alexander Börsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 On Maximum Independent Sets in Graphs
Christoph Brause, Ingo Schiermeyer, Ngoc Le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3 Lifting approaches for quadratic traveling salesman
problems
Anja Fischer, Frank Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4 Dynamic Graph Generation for Shortest Path Problems in
Time Expanded Networks
Frank Fischer, Christoph Helmberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5 LP-basierte Heuristiken zum Streifenpackproblem
Isabel Friedow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6 Lokale Konvergenzeigenschaften von Levenberg-MarquardtVerfahren für restringierte nichtlineare Gleichungssysteme
Markus Herrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7 Models and optimization techniques for discrete receive
beamforming
Johannes Israel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8 Parameteroptimierung bei Support Vector Regression
Gerd Langensiepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9 Dipol- und Magnetortung
Willi Neudeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
ii
Contents
10 A New Branch-and-Cut Algorithm for the Orthogonal
Strip Packing Problem
Marat Mesyagutov, Guntram Scheithauer, Gleb Belov . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
11 Begriff der Optimalität für Zwei-Ebenen-Optimierung mit
einer mengenwertigen Lösung der unteren Ebene
Maria Pilecka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
Eine praktische wirtschaftliche Anwendung –
Modellierung von Kundenverhalten und daraus
abgeleitete Preisstrategien
Alexander Börsch
Technische Universität Chemnitz, Fakultät für Mathematik
Zusammenfassung Zahlreiche mathematische Optimierungsmodelle finden in
Praxis Anwendung. Oftmals liegt hierbei die Herausforderung nicht allein in der
Optimierung sondern ebenso in der angemessenen Modellierung des betrachteten
Sachverhalts. So verhält es sich auch mit dem hier zugrunde liegende Sachverhalt
aus der Wirtschaft; das Nachfrage-Verhalten der Kunden eines Einzelhändlers in
Bezug auf Preisänderungen der Produkte. Dabei wird das komplette Sortiment des
Händlers betrachtet. Es wird aufgezeigt, wie mittels linearer Ansatzfunktionen für
den Preis-Nachfrage-Zusammenhang der einzelnen Produkte ein komplexes Modell
entsteht. Der Preis-Nachfrage-Zusammenhang steht repräsentativ für das Verhalten
der Kunden. Da die Datenbasis welche einem Händler zur Verfügung steht es in
der Regel nicht zulässt, diesen Zusammenhang für jedes seiner Produkte separat zu
ermitteln, müssen Beziehungen zwischen den Produkten angenommen werden. Die
Produktbeziehungen untereinander werden modelliert, indem vorausgesetzt wird,
dass verschiedene Produkte die gleiche Elastizität in ihrem Referenzpreis haben.
D. h. es gibt Produktgruppen bei denen das Verhältnis von relativer Preisänderung
zu relativer Nachfrageänderung gleich ist. Hierdurch ergibt sich ein komplexes Ausgleichsproblem, welches sich durch Methoden der konvexen Optimierung lösen lässt.
Bei der Modellierung ist neben der Lösbarkeit auch die Performance, welche zur
Lösung bei einer großen bzw. realistischen Datenbasis von Nöten ist, zu berücksichtigen. Da diese Algorithmen für den Einsatz im Onlinehandel gedacht sind ist die
Rechenzeit auch in der theoretischen Entwicklung von Bedeutung. Neben der Lösung
von Ausgleichsproblemen werden auch Methoden zur Gruppierung in einzelne Elastizitätsgruppen vorgestellt. Diese Methoden basieren u. a. auf EntscheidungsbaumVerfahren. Mittels eines Regressionsbaumes können diese auch zur Funktionsapproximation verwendet werden. Mit den beschriebenen Modellen kann nun ein gewinnmaximierender Preisvektor ermittelt werden. Des Weiteren wird aufgezeigt, wie
Daten aus der Praxis um besondere Effekte, wie sie z. B. an Feiertagen auftreten,
bereinigt werden. Die geschieht ebenfalls durch die Lösung eines Ausgleichsproblems.
2
On Maximum Independent Sets in Graphs
Christoph Brause, Ingo Schiermeyer, Ngoc Le
Department of Mathematics
Technical University of Freiberg
2.1 Introduction
A lot of graph-theoretical problems can be formulated as a special optimization problem. One of these is the Maximum Independent Set Problem (MISP).
We consider a graph G = (V, E) with finite vertex set V and edge set E. An
independent set in G is a subset of pairwise nonadjacent vertices and the
MISP asks for finding an independent set of maximum cardinality in G. The
problem is known to be NP-hard in general. In the first part of our joint talk,
we will present some polynomial heuristics and (if exists) their graph classes
where we can find a Maximum Independent Set (MIS). In the second part
we will give an introduction to reduction techniques and their relations to
pseudo-Boolean functions.
2.2 Polynomial heuristics
The well-known greedy algorithms VERTEX-ORDER, MIN, MAX for finding
a maximal independent set in a graph G are based on recursively choosing
(based on vertices’ degrees) and removing the closed neighbourhood or only
the vertex itself. For any of these three heuristics, we can find some graphs,
with them, the difference between its independence number and the cardinality of an independent set created can be arbitrarily large. Nevertheless,
Mahadev [5] et al. respectively Harant et al. [3] found some classes of graphs,
where VERTEX ORDER or MIN can produce a MIS. We want to present
some new heuristics and (if known) some graph classes where they find a
MIS.
2.3 Pseudo-Boolean functions
It is known that a pseudo-Boolean function f can always be written in a
polynomial form:
2 On Maximum Independent Sets in Graphs
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = K +
p
X
3
wi Ti
i=1
where Ti =
Q
j∈Ai
xj
Q
xk with Ai , Bi ⊆ {1, 2, . . . , n} and Ai ∩ Bi = ∅.
k∈Bi
Ebenegger et al. [1] have described the relation between the maximization
of a pseudo-Boolean function and the determination of a stable set having
maximum weight in a graph. In the same paper, the authors considered
the computation of the stability number of a graph G (unweighted case)
and describe a transformation, so-called STRUCTION, of an associated
pseudo-Boolean function which amounts to constructing another graph
G0 with α(G0 ) = α(G) − 1. The transformations BAT [4] and Magnet [2]
are some different examples of transformations based on pseudo-Boolean
function, in which a new graph G0 = (V 0 , E 0 ) is constructed with the same
stability number and |V 0 | = |V | − 1.
Moreover, graph transformations have been proved useful for many algorithmic problems, especially for the MISP. In our joint talk, we will
revise some classical graph transformations and show the relations with the
pseudo-Boolean function method.
References
1. C. Ebenegger, P. L. Hammer, D. Werra, Pseudo-Boolean Functions and Stability
of Graphs, Annals of Discrete Mathematics, 19 (1984) 83-98.
2. P. L. Hammer, A. Hertz, On a Transformation which Preserves the Stability
Number, ORWP 91/12, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Switzerland
1991.
3. J. Harant, Z. Ryáček, I. Schiermeyer, Forbidden subgraphs implying the MINAlgorithm gives a maximum independent set, Discrete Mathematics, 256 (2002),
193-201,
4. A. Hertz, On the Use of Boolean Methods for the Computation of the Stability
Number, Discrete Applied Mathematics, 76 (1997) 183-203.
5. N. V. R. Mahadev, B. Reed, A note on vertex orders for stability number,
Journal of Graph Theory, 30 (1999), 113-120,
3
Lifting approaches for quadratic traveling
salesman problems
Anja Fischer, Frank Fischer
TU Chemnitz, Fakultät für Mathematik
Abstract The symmetric quadratic traveling salesman problem (SQTSP) asks for
a cost minimal tour in an undirected graph where the costs depend on each three
nodes that are traversed in succession. It is an extension of the well-known symmetric traveling salesman problem (STSP) where the costs depend on each two nodes
traversed in the tour. The SQTSP can be formulated as an integer optimization
problem over the polytope associated with the STSP together with a quadratic cost
function. We study the polytope arising from a linearization of the quadratic integer
programming formulation. Valid inequalities of STSP remain valid for SQTSP but
in most cases they can be improved. We present two general lifting approaches for
strengthening inequalities of STSP. The first one can be applied to all inequalities
with nonnegative coefficients, the second to arbitrary clique tree inequalities, which
are known to be facet defining for STSP. Applying both approaches to the subtour
elimination constraints leads to the known facet-defining conflicting edges inequalities as well as to new facet classes for SQTSP. Furthermore we extend the presented
approach to the asymmetric quadratic traveling salesman problem (AQTSP) and
derive symmetric and non-symmetric strengthened clique tree inequalities.
4
Dynamic Graph Generation for Shortest Path
Problems in Time Expanded Networks
Frank Fischer, Christoph Helmberg
TU Chemnitz, Fakultät für Mathematik
Abstract In discrete optimisation problems the progress of objects over time is frequently modelled by shortest path problems in time expanded networks, but longer
time spans or finer time discretisations quickly lead to model sizes that are intractable in practice. With typical objective functions, e.g. early completion time,
the arising shortest paths in convex relaxations often lie in a narrow corridor inside
these networks. Motivated by this observation, we develop a general dynamic graph
generation framework in order to control the networks’ sizes even for infinite time
horizons. It can be applied whenever objects need to be routed through a traffic
or production network with coupling capacity constraints and with a preference for
early paths. Without sacrificing any information compared to the full model, it includes a few additional time steps on top of arcs being used so far. This "frontier"
of the graphs can be extended automatically as required by solution processes such
as column generation or Lagrangian relaxation. The corresponding algorithm is efficiently implementable and linear in the arcs of the non-time-expanded network with
a factor depending on the basic time offsets of these arcs. We illustrate the benefits
of this technique on real world instances of a large scale train timetabling problem.
5
LP-basierte Heuristiken zum
Streifenpackproblem
Isabel Friedow
Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik und
Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik
Zusammenfassung Das 2-dimensionale Streifenpackproblem (2DSPP) besteht
darin, eine Menge von Rechtecken achsenparallel und überlappungsfrei so in einen
Streifen fester Breite und unbeschränkter Höhe anzuordnen, dass die benötigte
Streifen- höhe minimal wird. Das 1-dimensionale Cutting-Stock-Problem (1DCSP)
ist eine Relaxation des 2DSPP und liefert somit eine untere Schranke zum 2DSPP.
Außer der Information darüber, welche Streifenhöhe mindestens benötigt wird,
erhält man die verwendeten Zuschnittvarianten. Diese können als mögliche horizontale Rechteckkombinationen im Streifen interpretieren werden. Es wird eine
Heuristik vorgestellt, die auf Grundlage dieser Eigenschaften eine zulässige Streifenpackung bestimmt. Betrachtet wird das rotationsfreie 2DSPP ohne GuillotineSchnitt-Bedingung.
6
Lokale Konvergenzeigenschaften von
Levenberg-Marquardt-Verfahren für
restringierte nichtlineare Gleichungssysteme
Markus Herrich
Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik und
Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik
Zusammenfassung Betrachtet wird das Problem, eine Lösung des restringierten
nichtlinearen Gleichungssystems H(z) = 0 bei z ∈ Ω zu finden, wobei Ω ⊆ Rn
eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Menge sei. Unter der Voraussetzung,
dass Ω polyedrisch ist, muss beim restringierten Levenberg-Marquardt-Verfahren
in jedem Schritt ein quadratisches Optimierungsproblem gelöst werden. Es ist bekannt, dass dieses Verfahren lokal quadratisch gegen eine eventuell nicht isolierte
Lösung konvergiert, falls H hinreichend glatt ist und eine lokale Fehlerschrankenbedingung gilt. Im Vortrag wird eine Variante des restringierten Levenberg-MarquardtVerfahrens vorgestellt, die unter schwächeren Voraussetzungen quadratisch konvergiert. Insbesondere wird dabei nicht die Differenzierbarkeit von H gefordert.
Ein weiteres Verfahren zur Lösung restringierter Gleichungssysteme ist das projizierte Levenberg-Marquardt-Verfahren. Bei diesem muss pro Schritt ein lineares
Gleichungssystem gelöst und danach eine Projektion auf die Menge Ω durchgeführt werden. Auch für dieses Verfahren ist bekannt, dass es gegen eine eventuell
nichtisolierte Lösung konvergiert, falls H gewissen Differenzierbarkeitseigenschaften
genügt und eine gewisse Fehlerschrankenbedingung erfüllt ist. Diese Fehlerschrankenbedingung ist jedoch ziemlich scharf, denn sie impliziert insbesondere, dass die
Lösungsmengen des restringierten und des unrestringierten Systems lokal übereinstimmen. Im Vortrag wird ein Paar von schwächeren Fehlerschrankenbedingungen
vorgestellt, unter denen zumindest R-lineare Konvergenz des projizierten LevenbergMarquardt-Verfahrens gezeigt werden kann. Die R-lineare Konvergenz bleibt sogar
erhalten, wenn näherungsweise Projektionen verwendet werden, was erheblichen numerischen Aufwand sparen kann.
7
Models and optimization techniques for discrete
receive beamforming
Johannes Israel
Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik und
Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik
Abstract Beamforming is a technique used in wireless communications to adjust
the radiation pattern of an antenna array. The radiation pattern (or beam pattern)
describes the radiated power of an antenna as a function of the direction. Depending
on the mode of operation it is distinguished between transmit and receive beamforming and we focus on the latter case. The antenna array consists of several antenna
elements which receive an incoming signal with a certain time difference due to the
array geometry. All of the received signals are phase shifted, amplified and finally
summed up. Changing the beamforming weights, i.e. the values of the phases and
amplitudes, changes the radiation pattern of the antenna. The aim is to steer the
mainbeam towards the desired direction and to place nulls in directions of interference.
A measure for the communication quality is the Signal-to-Interference-plus-Noise
Ratio (SINR). The maximization of this ratio leads to a non-convex optimization
problem. Nonetheless, in the case where the beamforming weights are continuous an
analytical solution can easily be derived with the help of the Capon method.
In practice the phase shifters and amplifiers might be controlled with finite
resolution, i.e. the beamforming weights are discrete. Concerning this constraint we
end up with a discrete optimization problem where the goal function (SINR) is nonconvex. A possible approach to this problem is an approximation based on the Capon
method. We focus on branch-and-bound principles to solve this approximation and
show how this could be done with a reasonable computational effort.
8
Parameteroptimierung bei Support Vector
Regression
Gerd Langensiepen
Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik und
Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik
Zusammenfassung Support Vector Regression ist eine Technik des Machine Learning, die aus einer Menge von Trainingsdaten eine Regressionsfunktion bestimmt.
Diese Funktion hängt von zwei oder auch mehr Hyperparametern ab, die die Güte
der Regression beeinflussen. Es wird im Vortrag gezeigt, wie die bisher überwiegend
heuristisch bestimmte Wahl der Hyperparameter durch eine kontinuierliche Optimierung effizient ersetzt werden kann. Außerdem wird ein spezieller Optimierungsansatz
zur Reduktion der Dimension der Trainingsdaten diskutiert.
9
Dipol- und Magnetortung
Willi Neudeck
Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik und
Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik
Zusammenfassung In technischen Anwendungen muss oft die Relativlage zweier
Festkörper zueinander gemessen werden. Eine berührungslose Messmethode basiert
auf der Magnetsensorik: An einem der Festkörper werden ≥ 1 Magnetfeldsensoren
angebracht, und an dem anderen Festkörper wird ein Dauermagnet befestigt. Die
von dem Magnetfeldsensoren gelieferten Messwerte hängen dann (i.A. nichtlinear)
von der Lage des Magneten relativ zu den Sensoren ab [1].
Wenn die Sensoren unbeweglich sind und der Magnet nur auf einer Geraden
bewegt oder nur um eine feststehende Achse gedreht werden kann, lässt sich die
Relativlage von Magnet und Sensor meist leicht aus den Magnetfeldmesswerten rekonstruieren [1].
Auch für den allgemeinen Fall sind verschiedene Lösungsansätze bekannt, bei
denen der Magnet oft als Dipolmagnet idealisiert wird:
•
•
•
•
Bei geeigneter Anordnung mehrerer Magnetfeldsensoren lässt sich der Gradient des Magnetfeldes am „Ort der Sensoren“ schätzen. Sind der Gradient und
ein gemessener Magnetfeldvektor bekannt, kann die Aufgabe geschlossen gelöst
werden [7, 4].
Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften usw. des idealen Dipolfeldes wird
die Lage des Magneten durch geometrische Überlegungen ermittelt [2].
Ein gegenüber Störfeldern relativ unempfindliches Iterationsverfahren basiert auf
einer Multipolentwicklung des Magnetfeldes [5].
Die Aufgabe wird als Optimierungsproblem formuliert und dieses numerisch gelöst [3]. Dabei kann ausgenutzt werden, dass die Magnetfeldmesswerte linear von
den sog. Dipolmomenten abhängen [8]. Die Formulierung als Optimierungsproblem ist auch für andere Magnetformen möglich.
Für die Forschung ergeben sich folgende Fragestellungen: Wie muss die Anordnung
der Magnetfeldsensoren gewählt werden bzw. welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, sodass die eindeutige Lösbarkeit der Aufgabe sichergestellt ist? (Vgl. [6].)
Welche Lösungsalgorithmen sind geeignet, wenn nur wenig Rechenzeit und Speicher
zur Verfügung stehen?
9 Dipol- und Magnetortung
11
Literatur
1. J. Bretschneider, A. Wilde, P. Schneider, H.-P. Hohe, and U. Koehler. Design
of multi-dimensional magnetic position sensor systems based on HallinOne(R)
technology. In 2010 IEEE International Symposium on Industrial Electronics,
pages 422–427, July 2010.
2. G. Cauffet, P. Villemain, J. P. Bongiraud, and J. L. Coulomb. Geometric contruction technic to localization of a magnetic dipole. In COMPUMAG 2001,
volume 3, pages 28–29, 2001.
3. M. C. Costa, G. Cauffet, J. L. Coulomb, J. P. Bongiraud, and P. L. Thiec. Localization and identification of a magnetic dipole by the application of genetic
algorithms. In Workshop on Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism (OIPE 2000), Turin, Sept. 2000.
4. C. P. Frahm. Inversions of the magnetic field gradient equations for a magnetic
dipole field. Technical Report NCSL 135-72, Naval Coastal Systems Laboratory,
Nov. 1972.
5. B. Hilgenfeld and J. Haueisen. Simultaneous suppression of disturbing fields and
localization of magnetic markers by means of multipole expansion. BioMagnetic
Research and Technology, 2(6), Sept. 2004.
6. S. I. Kasatkin, O. P. Polyakov, N. E. Rusakova, and A. E. Rusakov. On uniqueness
of solution of a reverse problem of magnetic location. Journal of Magnetism and
Magnetic Materials, 305:361–364, 2006.
7. T. Nara, S. Suzuki, and S. Ando. A closed-form formula for magnetic dipole
localization by measurement of its magnetic field and spatial gradients. IEEE
Transactions on Magnetics, 42(10):3291–3293, Oct. 2006.
8. D. O. Walsh, W. Avrin, S. Kumar, P. V. Czipott, B. Whitecotton, and R. T.
Kinasewitz. A quadrature approach to detection, localization and estimation of
magnetic dipoles. In Symposium on the Application of Geophysics to Engineering
and Environmental Problems 2008, pages 1070–1082, 2008.
10
A New Branch-and-Cut Algorithm for the
Orthogonal Strip Packing Problem
Marat Mesyagutov, Guntram Scheithauer, Gleb Belov
TU Dresden, Institute for Numerical Mathematics and University of
Duisburg-Essen, Faculty of Mathematics
Abstract We consider the 2D strip packing problem (SPP-2). Given a set of rectangular items, SPP-2 is to find a packing of all items occupying the minimal height
of the given semi-infinite strip. SPP-2 is considered without items rotation. We
develop an integer linear programming model and determine non-overlapping constraints which are facet-defining for the convex hull of the integer solutions. Based on
the proposed formulation we develop a new branch-and-bound algorithm. Numerical
results as well as theoretical investigations are discussed.
Key words: linear programming, branch-and-cut, facet-defining inequalities
11
Begriff der Optimalität für
Zwei-Ebenen-Optimierung mit einer
mengenwertigen Lösung der unteren Ebene
Maria Pilecka
TU Bergakademie Freiberg, Fakultät für Mathematik und Informatik
Zusammenfassung In
Optimierungsproblem :
diesem
Vortrag
wird
das
folgende
F (x, y) → min,
x
Zwei-Ebenen-
(11.1)
G(x) ≤ 0,
y ∈ S(x),
wobei
m
n
S(x) := arg min{f (x, y) : g(x, y) ≤ 0},
y
m
mit F (x, y) : R × R → R, G(x) : R → R, f (x, y) : Rm × Rn → R und g(x, y) :
Rm × Rn → R als ein Optimierungsproblem mit einer mengenwertigen Zielfunktion
betrachtet:
[
F(x) :=
F (x, y) → min,
x
y∈S(x)
G(x) ≤ 0,
mit
S(x) := arg min{f (x, y) : g(x, y) ≤ 0}.
y
Einige Optimalitätsbegriffe der mengenwertigen Optimierung werden für dieses Problem dargestellt. In diesem Zusammenhang werden die Beziehungen zwischen den Definitionen sowie den Begriffen einer optimistischen und
pessimistischen Lösung der Aufgabe (11.1) diskutiert. Dabei wird zusätzlich die Zielfunktion der Aufgabe (11.1) als eine vektorwertige Zielfunktion
F (x, y) : Rm × Rn → Rp aufgefasst.
Title Suppressed Due to Excessive Length
15