Elementare Funktionen - mathematik

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Potenzfunktion
Definition:
Die Funktion f: \ p \ definiert durch f(x):=xn mit x  \ variabel, n  ` fest, nennen wir Potenzfunktion
n-ter Ordnung (oder n-ten Grades). Der zugehörige Funktionsgraph ist die Parabel n-ter Ordnung.
Zu Beachten ist, dass n stets positiv ist.
Bemerkung: (Klassifizierung von Potenzfunktionen)
Ist n  ` , eine gerade Zahl, also y=xn=x2k mit x  \ variabel, k  ` fest, so gilt immer:
-
Die Punkte (-1/1), (0/0) und (1/1) gehören zum Graphen
Der Graph verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse. Für alle x  \ gilt daher: f (x)=f (-x) und
deshalb heißt die Funktion auch gerade.
Der Graph ist streng monoton fallend für x  \ 0 und streng monoton steigend für x  \+0
-
f: \ p \ 0
Ist n  ` , eine ungerade Zahl, also y=xn=x2k-1 mit x  \ variabel, k  ` fest, so gilt immer:
-
Die Punkte (-1/-1), (0/0) und (1/1) gehören zum Graphen
Der Graph verläuft punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Für alle x  \ gilt daher: f (x)=-f (-x) und deshalb heißt die Funktion auch ungerade.
Der Graph ist auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend
f: \ p \
Funktionen:
x2
x4
x6
Funktionen:
x3
x5
x7
Für n=0 erhalten wir f (x) = x0 =1, die konstante Funktion.
Für n=1 erhalten wir die f (x)=x1=x, also die identische Funktion.
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Hyperbelfunktion
Definition:
Die Funktion f: \ \{0} p \ definiert durch f(x):=x-n , n  ` fest, nennen wir Hyperbelfunktion n-ter
Ordnung (oder n-ten Grades). Der zugehörige Funktionsgraph ist die Hyperbel n-ter Ordnung.
Bemerkung: (Klassifizierung von Hyperbelfunktionen)
Ist n  ` , eine gerade Zahl, also y=
-
1
xn
1
mit x  \ \{0} variabel, k  ` fest, so gilt immer:
x2k
-
Die Punkte (1/1) und (-1/1) gehören zum Graphen
Der Graph verläuft symmetrisch zur y-Achse. Für alle x  \ \{0} gilt daher: f (x)=f (-x). und
deshalb heißt die Funktion auch gerade.
Der Graph zerfällt in zwei Hyperbeläste.
Der Graph ist streng monoton fallend für x  \+ und streng monoton steigend für x  \ -
f: \ \{0} p \ Ist n  ` , eine ungerade Zahl, also y=
-
1
xn
1
mit x  \ \{0} variabel, k  ` fest, so gilt immer:
x2k 1
Die Punkte (1/1) und (-1/-1) gehören zum Graphen
Der Graph verläuft punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Für alle x  \ \{0} gilt daher: f (x)= -f (-x) und deshalb heißt die Funktion auch ungerade.
De Graph zerfällt in zwei Hyperbeläste.
Der Graph ist auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend
f: \ \{0} p \ \{0}
Bemerkung:
Der Graph gerader Funktionen ist symmetrisch zur y-Achse; bei ungeraden Funktionen ist der Graph
symmetrisch um den Koordinatenursprung (0/0).
Graph von 1/x2
und 1/x3
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Exponentialfunktion
Potenz- und Exponentialfunktionen scheinen aufgrund der Wahl der Namen eng miteinander verbunden zu
sein, doch besteht hier ein beachtenswerter Unterschied. Bei der Potenzfunktion tritt die unabhängige
Variable, das sogn. Argument, in der Basis einer Potenz auf. Bei der Exponentialfunktion dagegen steht
jedoch das Argument der Funktion immer im Exponenten einer Potenz mit fest gewählter Basis.
Definition:
Eine Funktion f: \ p \ definiert durch f (x):=ax, x  \ , a  \ \{1}, heißt Exponentialfunktion zur Basis
a. Sie wird auch oft kurz mit expa (x) bezeichnet.
Die Exponentialfunktion hat nur für positive Basen a einen Sinn, deshalb verlaufen die Graphen aller
Exponentialfunktionen oberhalb der x-Achse (siehe Grafik).
Bemerkung: (Klassifizierung von Exponentialfunktionen)
Ist a>1, also f (x)=a
-
x
mit x  \ \{1} unabhängig, a  \ \{1} fest, so gilt immer:
Für Basen a>1 steigt die Funktion streng monoton im gesamten Definitionsbereich.
Die Steigungen der Tangente im Punkt x0 sind stets positiv.
x
⎛p⎞
Ist 0<a<1, also f (x)= a = ⎜ ⎟ mit x  \ \{1} unabhängig, p und q  ` fest, so gilt immer:
⎝ q⎠
x
-
Für Basen 0<a<1 fällt die Funktion streng monoton im gesamten Definitionsbereich.
Die Steigungen der Tangente im Punkt x0 sind stets negativ.
Der Graph von f(x)=2x geht
aus dem Graphen der Funktion
f’(x)=(1/2)x hervor durch
Spiegelung an der y-Achse hervor.
Für alle Exponentialfunktionen gilt:
-
Jede Exponentialfunktion verläuft durch den Punkt (0/1), da a0=1 a  \ .
-
Aus a-x =
-
zueinander bezüglich der y-Achse verlaufen. Es gilt also f (x)=f (-x).
Alle Funktionswerte für a  \ \{1} sind positiv.
1
ax
x
x
⎛1⎞
⎛1⎞
x
⎜ ⎟ , folgt, dass die Graphen der Funktion y=a und y= ⎜ ⎟ symmetrisch
⎝ a⎠
⎝ a⎠
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Bemerkung: (Verhältnis Tangentensteigung und Funktionswert)
Exponentialfunktionen haben die besondere Eigenschaft, dass Ihr Verhältnis aus der Kurvensteigung mx
und dem Funktionswert f (x) für alle x  \ identisch ist.
Beispiel:
Sei f(x):=2x, alle Tangentensteigungen
sind also positiv.
Das Verhältnis zwischen Tangentensteigung und Funktionswert wird wie folgt
bestimmt:
'x
mx
.
f(x)
Setze x=0, dann gilt:
'0
m0
0.6931
=
=0.6931
1
f(0)
Setze x=1, dann gilt:
'1
m1 1.3863
=
=0.6931
2
f(1)
Beachten Sie, dass hier jeweils gerundet
wurde.
Testet man weitere Exponentialfunktionen,
so würde man feststellen, dass jeder
Funktion f, sein ' x zugeordnet werden
könnte. Dieses Verhältnis ist konstant
für eine Funktion f.
Was ist, wenn das Verhältnis ' x =1
gilt?
Bei der Funktion f(x):=ex ist das Verhältnis ' x aus der Kurvensteigung und dem Funktionswert an jeder
Stelle konstant gleich 1. Die Zahl e heißt Eulersche Zahl mit e } 2.71828…!