Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen
GS - 05.11.05 - gebro_05_Symmetrie.mcd
Gebrochenrationale Funktionen
- Symmetrische Funktionsgraphen 1. Achsensymmetrie zur y-Achse
u ( x)
∧ v ( x) ≠ 0.
v ( x)
Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse, wenn gilt:
f ( −x) = f ( x)
Gegeben ist die Funktion f ( x) =
oder: Zähler und Nenner enthalten nur gerade Hochzahlen
oder: Zähler und Nenner enthalten nur ungerade Hochzahlen
Beispiel 1:
2
f1 ( x) :=
x +4
ID = IR \ { −1 ; 1 }
2
x −1
Graph mit Asymptoten
8
Vertikale Asymptoten:
6
2
x − 1 = 0 auflösen , x →
4
1 
 
 −1 
2
y0 = 1
Horizontale Asymptote:
8
6
4
2
0
2
4
6
8
2
lim
2
2
lim
8
f ( −x) = f ( x)
x +4
x → ∞ x2 − 1
6
Zu zeigen:
→1
x → − ∞ x2 − 1
4
x ≠ −1
x +4
→1
x≠1
⇔
f ( −x) − f ( x) = 0
2
Beweis:
f1 ( −x) →
⇒
gebro_05.mcd
x +4
2
x −1
f1 ( −x) − f1 ( x) → 0
Der Graph Gf ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse.
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Gebrochenrationale Funktionen
Beispiel 2:
5
f2 ( x) :=
Funktionsterm:
x + 9⋅x
ID = IR \ { 0 }
3
x +x
4
f2_ ( x) := f2 ( x) vereinfachen →
Faktorisiert und gekürzt:
( )
Stetig behebbare Def.lücke: xD := 0
yD := f2_ xD → 9
x +9
2
x +1
D ( 0 / 9)
4
x +9
Polynomdivision:
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
2
2
x −1+
x +1
10
2
x +1
2
K ( x) := x − 1
Asymptotische Kurve:
Graph mit asymptotischer Kurve
14
12
10
D
Gf
8
6
4
GK
2
4
3
2
1
0
2
Zu zeigen:
f ( −x) = f ( x)
1
2
3
4
x≠0
⇔
f ( −x) − f ( x) = 0
5
Beweis:
f2 ( −x) →
⇒
gebro_05.mcd
−x − 9 ⋅ x
3
−x − x
f2 ( −x) − f2 ( x) vereinfachen → 0
Der Graph Gf ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse.
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Gebrochenrationale Funktionen
2. Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
u ( x)
∧ v ( x) ≠ 0.
v ( x)
Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs, wenn gilt:
f ( −x) = −f ( x)
Gegeben ist die Funktion f ( x) =
oder: Zähler enthält nur gerade Hochzahlen und Nenner enthält nur ungerade Hochzahlen
oder: Zähler enthält nur ungerade Hochzahlen und Nenner enthält nur gerade Hochzahlen
Beispiel 3:
2
f3 ( x) :=
Funktionsterm:
x
ID = IR \ { −1 ; 0 ; 1 }
3
x −x
f3_ ( x) := f3 ( x) vereinfachen →
Faktorisiert und gekürzt:
yD := f3_ xD → 0
2
Horizontale Asymptote:
2
x −1
( )
xD := 0
Stetig behebbare Def.lücke:
x
2
x
lim
D ( 0 / 0)
→0
x → − ∞ x3 − x
lim
x
x → ∞ x3 − x
→0
x-Achse
Punktsymmetrie
8
6
4
D
2
Gf
4
3
2
1
0
1
2
3
4
2
4
6
8
x ≠ −1 x ≠ 0
Zu zeigen:
f ( −x) = −f ( x)
Beweis:
f3 ( −x) →
⇔
x≠1
f ( −x) + f ( x) = 0
2
⇒
gebro_05.mcd
x
3
−x + x
f3 ( −x) + f3 ( x) vereinfachen → 0
Der Graph Gf ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs.
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Gebrochenrationale Funktionen
Beispiel 4:
3
f4 ( x) :=
Funktionsterm:
x
ID = IR \ { −2 ; 2 }
2
x −4
3
x
Polynomdivision mit Rest:
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
2
x −4
x+
2
x−2
+
2
x+2
g ( x) := x
Schiefe Asymptote:
Graph mit schiefer Asymptote
8
Gf
6
4
Gg
2
8
6
4
2
0
2
4
6
8
2
4
6
8
x ≠ −2
Zu zeigen:
f ( −x) = −f ( x)
Beweis:
f4 ( −x) →
x≠2
⇔
f ( −x) + f ( x) = 0
3
⇒
gebro_05.mcd
−x
2
x −4
f4 ( −x) + f4 ( x) vereinfachen → 0
Der Graph Gf ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs.
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3. Allgemeine Symmetrie (nicht im Lehrplan)
u ( x)
∧ v ( x) ≠ 0.
v ( x)
Der Graph der Funktion f ist entweder punktsymmetrisch bzgl. eines beliebigen Punktes
oder achsensymmetrisch bzgl. einer beliebigen zur y-Achse parallelen Achse.
Gegeben ist die Funktion f ( x) =
Der Nachweis der Symmetrie erfolgt über eine Koordinatentransformation vom
Koordinatensystem (X ; Y) in ein neues Koordinatensystem ( U , V).
Speziell bei gebrochenrationalen Funktionen:
Eine unecht-gebrochenrationale Funktion soll nur eine vertikale Asymptote und eine
horizontale bzw. schiefe Asymptote besitzen. Dann gilt:
Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der beiden Aymptoten
Beispiel 5:
2
x
f5 ( x) :=
4 ⋅ ( x − 2)
Funktionsterm:
ID = IR \ { 2 }
2
x
Polynomdivision mit Rest:
4 ⋅ ( x − 2)
Vertikale Asymptote:
x1 := 2
1
g ( x) :=
Schiefe Asymptote:
4
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
1
4
⋅x +
⋅x +
1
2
+
1
x−2
1
2
( )
Asymptotenschnittpunkt:
g x1 = 1
S ( 2 / 1)
Koordinatentransformation:
x=u+ 2
y=v+ 1
Transformationsgleichungen in die Funktionsterme eingesetzt:
v+1=
( u + 2)
2
4 ⋅ ( u + 2 − 2)
2
auflösen , v →
v+1=
Asymptote:
1
4
⋅ ( u + 2) +
1
2
1 u +4
⋅
4
u
auflösen , v →
1
4
⋅u
Funktionsterme im neuen Koordinatensystem (U ; V)
2
f_ ( u) :=
1 u +4
⋅
4
u
g_ ( u) :=
Nachweis der Punktymmetrie:
1
4
⋅u
Zu zeigen:
f_ ( −u) + f_ ( u) = 0
2
Beweis:
gebro_05.mcd
−1 u + 4
f_ ( −u) →
⋅
4
u
f_ ( −u) + f_ ( u) → 0
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Gebrochenrationale Funktionen
Graph mit Symmetriepunkt S
Graph im System (U;V)
8
8
6
6
Gf
4
2
6
4
2
S
0
4
6
8
6
4
2
2
4
4
6
x≠2
8
Gg_
0
2
6
gebro_05.mcd
2
Gg
2
Gf_
4
S_
2
4
6
8
u≠0
8
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